Equations differentielles second ordre

Bonjour antonio: x"(t)-2x'(t)+x(t)=t² est une équation différentielle linéaire du 2ème ordre avec second membre t² qui est de la formeP(t)ou P(t)=t² polynome . Pour résoudre cette équation ,je te présente une marche à suivre :

1°)Chercher une solution générale sans second membre .Pour cela :a1)tu détermines d'abord l'équation caractéristique qui est une équation du 2ème degré en r ,dont tu calcules le discrimnant (ici =0 donc racine double r1=r2=?) et puis tu en déduis la solution généralede l'équation  sans second membre :x=? .

2°)Chercher la solution particulière avec second membre .a2)Tu cherches une solution de la meme forme que la forme du second membre t² c'est à dire de la forme Q(t).e ou Q(t) est aussi un polynome de la forme t².Q(t) avec degréQ=degré de t² (autrement dit la forme du polynome Q(t)=at²+bt+c ,car est  racine double du polynome caractéristique donc il suffit simplement de poser que x=(a.x +b.t +c.t).e puis calculer x' et x" et qu'il faut porter ses valeurs dans l'équation générale donnée : x"(t)-2x'(t)+x(t)=t² et par comparaison tu détermineras les valeurs des coefficients a=?,b=? et c=? D'ou tu en déduis la solution particulière de l'équation avec second membre x=?

3°)La solution générale avec second membre s'obtient par addition de la solution générale sans second membre et de la solution particulière de l'équation avec second membre : x= solution générale sans second membre + solution particulière de l'équation avec second membre .

*Je te conseille de suivre et d'appliquer ce processus de raisonnement en prétant toute l'attention necessaire au calcul et nous transmettre tes résultats .

Bon courage et bonne continuation .

Bonsoir :Je m'attendais à ce que tu appliques et
dans l'ordre la méthode que je t'avais proposée précédemment pour la
simplicité et la clarté des réponses et des résultats .Ce n'est pas
grave .J'apporte quelques remarques et précisions à ta réponse .
1)Dans l'équation donnée ,il ne s'agit pas de y(t) mais de x(t)
2)La réponse y(t)=q(t)exp(t)=(at²+bt+c)exp(t)est malheureusement fausse .Tu
as oublié de donner d'abord la solution particulière sans le second
membre (voir recommandations données au 1))de l'équation homogène
y"-2y'+y=o .Je te rappelle qu'elle possède deux solutions exp(t)et
t.exp(t)d’où la solution générale de cette équation x(t)=(A.t +B)exp(t).
Il y'a lieu de noter que le second membre de cette équation donnée est "exponentielle polynôme de forme P(t).exp(t) par conséquent et dans ce cas là je te rappelle le cours "la solution pratique et particulière se cherche sous la meme forme Q(t)exp(t) où Q(t) serait un polynome de la maniére suivante et dans ce cas précis où =1 et racine double de r²-2r+1=0 alors le degré de Q(t)=degré de P +2 ,c'est à dire que Q(t) sécrira Q(t)=t²(a.t²+b.t+c)=a.t + b.t + c.t .d'ou la forme à retenir de x(t)=(a.t + b.t + c.t).e .Maintenant tu travailles avec cette forme de x(t) ,x'(t),x"(t) que tu remplaces dans l'équationx"-2x'+x=t².e
pour trouver les constantes réelles a,b et c .Réponds donc à cette
question ? (le résultat final est facile).Bonne continuation .