Suite arithmétique
Cours gratuits > Forum > Forum maths || En basMessage de kikicekela posté le 23-05-2013 à 14:31:54 (S | E | F)
Bonjour
J'ai un probleme sur lequel je bute depuis un moment.
je cherche à comptabiliser des tirages de la facon suivante:
1 1
2 2
3 3
4 4
à partir de la 1ere colonne je choisis le 1 et fais tous les liens possibles avec la 2eme colonne : 1-1 1-2 1-3 1-4
ensuite je passe au 2 toujours de la 1ere colonne mais sans remonter au 1 de la 2eme colonne: 2-2 2-3 2-4
puis au 3 de la 1ere colonne: 3-3 3-4
enfin le 4: 4-4
ce qui donne 4 + 3 + 2 + 1 = 10 arrangements possibles
donc avec 2 colonnes je peux utiliser la suite arithmetique qui somme les n premiers nombres entiers: n(n+1)/2 = 10
jusque la pas de probleme.
Maintenant je veux rajouter une troisieme colonne:
1 1 1
2 2 2
3 3 3
4 4 4
et calculer le nombre d'arrangements possibles suivant le meme principe que pour les deux premieres colonnes.
Quelle formule permet de calculer le nombre d'arrangements? (10 + 6 + 3 + 1 = 20??)
Comment généraliser ensuite à n colonnes et n lignes?
merci d'avance
Réponse: Suite arithmétique de wab51, postée le 23-05-2013 à 20:51:28 (S | E)
Bonsoir kikicekela :Effectivement ,la comptabilisation des tirages avec deux colonnes et quatre lignes est juste soit comme vous l'aviez trouvée égale à 10 arrangements possibles .Seulement et si vous me permettez ,je ne suis pas d'accord sur l'ordre de l'écriture écrite sous la forme:4+3+2+1 .A mon avis et comme cela est déjà bien indiqué dans le titre "suite arithmétique",ce serait peut-être beaucoup mieux d'inverser cette écriture en commençant par le plus petit terme au plus grand terme :
1+2+3+4 (là on voit bien que c'est une suite numérique finie de premier terme 1 et de raison 1.(c'est important).
2)Pour le cas de l'arrangement cette fois trois colonnes et quatre lignes . Même que l'on tient compte que le résultat de 20 est juste ,il me semble qu'en appliquant la même procédure de raisonnement que précédemment ,l'ordre 10+6+3+1
est faux . pour la simple raison logique que cette somme "n'est pas écrite sous une forme d'une suite arithmétique".Je vous laisse le soin de reprendre cette question pour vérifier que tu tomberas sur cette forme :2+4+6+8 qui est aussi égale à 20 et de plus 1er terme 2 et la raison 2 .
*Pour le dernier cas "Trouver une formule générale lorsqu'on a n lignes égales à n colonnes ?
A mon avis et en s'amusant à respecter l'ordre des termes et en écrivant à chaque fois la série arithmétique pour 2lignes et 2colonnes ,puis 3let 3c et puis 4l et 4c ,vous découvrez certaines astuces qui vous mèneront à établir une relation donc une formule générale .
Je vous laisse donc réfléchir et vous accompagnerez pour corriger vos résultats et vous orienter au fur et à mesure .Bon courage
Réponse: Suite arithmétique de laorans, postée le 23-05-2013 à 23:07:19 (S | E)
Bonjour,
Le fait que la résolution du premier exemple ressemble à une suite arithmétique est une "coïncidence". Il n'y a pas moyen de généraliser votre ébauche de comptabilisation avec cette méthode.
Ce problème est de la combinatoire. Il s'agit du tirage de p éléments parmi n éléments.
Votre problème se formule ainsi : Soit un dé à n faces, et p lancers. On cherche X = nombre de tirages possibles "avec remise" et "sans ordre".
On apprend au lycée (ou on retrouve facilement sur papier)
* avec ordre, avec remise : X = n^p
* avec ordre, sans remise : X = n! / (n-p)! (c'est un arrangement)
* sans ordre, sans remise : X = n! / [ p! * (n-p)! ] (c'est une combinaison)
Par contre, votre problème est plus compliqué, et je vous donne juste la formule :
* sans ordre, avec remise : X = (n+p-1)! / [ p! * (n-1)! ]
L'accent circonflexe signifie "puissance", le point d'exclamation "factorielle", l'étoile "multiplication" et le slash "division".
-------------------
Modifié par laorans le 23-05-2013 23:08
Réponse: Suite arithmétique de kikicekela, postée le 24-05-2013 à 06:48:59 (S | E)
en fouillant et grace à vos précieuses indications j'ai réussi à trouver la solution:
p
C n+p-1
il s'agit d'une p-liste avec répétitions, non ordonnée:
pour 5 colonnes et 4 valeurs:
5
C 5+4-1 = 8! / 5!3! = 56 combinaisons
merci en tout cas infiniment pour votre aide et longue vie à votre site indispensable!
je continue mon développement..
bruno
Réponse: Suite arithmétique de wab51, postée le 24-05-2013 à 18:07:21 (S | E)
Bonjour kikicekela ,bonjour laorans : Pour Pour laorans :Oui , d'accord avec vous .A
kikicekela :Vous avez parfaitement bien choisi un contre exemple avec 5
colonnes et 4lignes (4 valeurs).D'une part ,et en appliquant la formule
donnée par laorans ,vous trouvez le résultat 56 et d'autre part et
c'est ce que vous n'aviez pas fait ,ni vérifié en utilisant la 2ième
méthode par le comptage celle donnée par l'énoncé et qui donne le
résultat 40 (4+8+12+16=40) et c'est le résultat le plus exact .Bien sur
,il y'a d'autres contre exemples comme 4 colonnes et 5 lignes(5
valeurs),......., autrement dit et à mon avis ce n'est donc pas la bonne
formule pour aller vers le bon chemin du bon résultat ? Contrairement à
ce qu'il avait compris laorans de mon précédent message
,personnellement je n'avais pas parlé de cette question et que j'ai
laissé ouverte .
première vue ,j'ai pensé moi ausi raisonner en utilisant l'analyse
combinatoire mais j'ai choisi de suivre la méthode de l'énoncé et
chercher à trouver une conjecture pour s'en sortir avec une formule
générale dont il faut bien sur "démontrer par le principe du
raisonnement par récurrence" en s'appuyant sur les suites arithmétiques
.Cette méthode que j'ai proposé ne répond qu'à la dernière question
"Comment généraliser ensuite à n colonnes et n lignes? Autrement dit
,cette méthode à l'appui des suites arithmétiques existe dont les
démonstrations mènent facilement au résultat et à la formule générale
suivante et dans le cas ou le nombre de colonnes =le nombre de lignes =n
et pour tout entier naturel supérieur ou égal à 2 ,alors le nombre de
possibilités ou de combinaisons possibles est : . Merci et bonne chance .
Réponse: Suite arithmétique de mardep, postée le 26-05-2013 à 11:34:54 (S | E)
premièrement,votre pb concerne l'analyse combinatoire et Non les suites ;
ensuite tu cherches des combinaison de p éléments dans n, et c'est n!/(n-p)!p! cad pour ton pb:
4!/(4-3)!3! cad 4
Si tu cherches à calculer le nbre d'arrangements cad que 1,2 est différent de 2,1 alors le nombre est
4!/(4-3)! égal à 4 fois 3 fois 2 fois 1 égal 24
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