DM de 2nde (équations de droites)

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DM de 2nde (équations de droites)
Message de lolly123 posté le 07-03-2013 à 15:05:26 (S | E | F)
Bonjour, je suis en 2nde et j'ai un DM que je n'arrive pas à faire... Lien internet

Voici mon sujet :
ABCD est un carré de centre O ; I est le milieu du segment [AB], J le milieu du segment [BC] et G le point d'intersection des droites (AJ) et (CI). On se place dans le repère (A,B,D).

1.a. Déterminer les équations des droites (AJ) et (CI).

b. Déterminer les coordonnées du point G.

2. Montrer que les points O, G et B sont alignés.
Voilà, merci d'avance pour votre aide

Réponse: DM de 2nde (équations de droites) de nick94, postée le 07-03-2013 à 15:18:28 (S | E)
Bonjour,
ok pour t'aider pas pour le faire à ta place.
Que proposes-tu ?
remarque : ton lien ne fonctionne pas

Réponse: DM de 2nde (équations de droites) de lolly123, postée le 07-03-2013 à 15:43:08 (S | E)
D'accord, merci de proposer de l'aide!
Alors j'ai tout d'abord tracé la figure (mon carré ABCD a pour périmètre 10carreaux x 10carreaux)
Voici ensuite mon début de recherche :

1.a. Comme (AJ) et (CI) ne sont pas parallèles à l'axe des ordonnées alors elles ont une équation du type y=ax+b

Pour (AJ) :
Sachant que A(0;0), que J(10;5) et donc que xA est différent de xJ on peut calculer le coefficient directeur a :
a=yJ-yA/xJ-xA
a=5-0/10-0
a=5/10
a=1/2

Donc l'équation de la droite (AJ) est y=1/2x+b
Mais je ne sais pas comment on arrive à trouver ce nombre b...

Pour (CI) :
Sachant que C(10;10) , que I(5;0) et donc que xC est différent de xI on peut calculer le coefficient directeur a :
a=yI-yC/xI-xC
a=0-10/5-10
a=-10/-5
a=2

Donc l'équation de la droite (CI) est y=2x+b

La encore je ne sais pas comment on obtient b.

Pourriez vous me donner la méthode pour y arriver, svp?
Merci d'avance.

PS : J’espère que la réponse à cette question va m'aider pour les suivantes, parce que je n'y arrive pas...

Réponse: DM de 2nde (équations de droites) de lolly123, postée le 07-03-2013 à 15:44:51 (S | E)
PS : je sais pour le lien, mais en fait il s'agit d'une erreur, je ne voulais pas en mettre...
Mais merci de l'avoir noté.

Réponse: DM de 2nde (équations de droites) de nick94, postée le 07-03-2013 à 15:54:16 (S | E)
Peux- tu me préciser le repère, les coordonnées des points étaient-elles données ?

Réponse: DM de 2nde (équations de droites) de nick94, postée le 07-03-2013 à 15:57:29 (S | E)
Je peux quand même répondre à ta question.
Une fois le coefficient directeur déterminé, il suffit de dire que pour qu'un point appartienne à une droite il faut et il suffit que ses coordonnées vérifient l'équation de cette droite.
l'équation de la droite (AJ) est de la forme : y = 1/2x + b
A(0 ; 0) est sur (AJ) donc ....

Réponse: DM de 2nde (équations de droites) de lolly123, postée le 07-03-2013 à 16:54:32 (S | E)
Concernant le repère, les coordonnées n'étaient pas données. Mon sujet comporte juste un schéma mais ce dernier ne comprend pas de nombres. La consigne précise qu'il faut se place dans le repère (A,B,D) j'ai donc tracé moi même ce repère en plaçant les points comme l'indiquait mon sujet...(j'ai juste choisi une unité)
Pour le nombre b, vous avez écrit :
"- l'équation de la droite (AJ) est de la forme : y = 1/2x + b
A(0 ; 0) est sur (AJ) donc"
Mais je ne vois pas où vous voulez en venir... (Plus précisément, je ne vois pas ce qu'implique l'affirmation "A(0;0) est sur (AJ)"...) Pourriez vous me donner d'autres indices svp?

Réponse: DM de 2nde (équations de droites) de nick94, postée le 07-03-2013 à 17:40:22 (S | E)
Le fait de te dire que l'on se place dans le repère (A,B,D) signifie que A est l'origine du repère ; B est le point de l'axe des abscisses ayant pour abscisse 1 ; D est le point de l'axe des ordonnées ayant pour ordonnée 1.
Pour comprendre ce que je t'ai indiqué, je te propose la lecture suivante :
Lien internet

Réponse: DM de 2nde (équations de droites) de lolly123, postée le 07-03-2013 à 19:12:11 (S | E)
Merci pour les explications sur le repère, je n'avais en effet pas compris cela. Merci aussi pour le lien internet, je crois que j'ai compris pour le calcul de b, maintenant!
D'après ce que vous dites, si B a pour abscisse 1, j'imagine que mes calculs précédents sont faussés...
J'ai réalisé un nouveau travail (avec le calcul de b) et constaté que les résultats correspondaient...

Voici donc mon nouveau travail :
1.a. Comme (AJ) et (CI) ne sont pas parallèles à l'axe des ordonnées alors elles ont une équation du type y=ax+b

Pour (AJ) :
Sachant que A(0;0), que J(1;0.5) et donc que xA est différent de xJ on peut calculer le coefficient directeur a :
a=yJ-yA/xJ-xA
a=0.5-0/1-0
a=0.5/1
a=1/2

Donc l'équation de la droite (AJ) est y=1/2x+b
Calcul de b :
A(0;0) est sur (AJ) donc on peut dire que :
b est la solution de l'équation yA=axA+b
soit b=yA-axA
b=0-1/2x0
b=0
Donc la droite (AJ) a pour équation y=1/2x+0, soit y=1/2x

Pour (CI) :
Sachant que C(1;1) , que I(0.5;0) et donc que xC est différent de xI on peut calculer le coefficient directeur a :
a=yI-yC/xI-xC
a=0-1/0.5-1
a=-1/-0.5
a=2

Donc l'équation de la droite (CI) est y=2x+b
Calcul de b :
C(1;1) appartient à (CI) donc on peut dire que :
b est la solution de l'équation yC=axC+b
soit b=yC-axC
b=1-2x1
b=-1
Donc la droite (CI) a pour équation y=2x+(-1)

Pouvez vous me dire si c'est correct, et m'aider pour les questions 1.b. et 2, svp?

(Pour la 1.b., je crois qu'il faut montrer que (AJ) et (BC) sont sécantes, mais pour déterminer les coordonnées de leur point d'intersection... je n'y arrive pas... Et pour la 2. faut-il comparer les équations des droites (OG) et (GB)?)

Réponse: DM de 2nde (équations de droites) de nick94, postée le 07-03-2013 à 19:45:54 (S | E)
, c'est parfait!
Une remarque cependant, b représente l'ordonnée à l'origine, c'est à dire la valeur où la droite coupe l'axe des ordonnées donc lorsqu'une droite passe par l'origine du repère son équation est de la forme y = ax ( ce qui était le cas de (AJ))
Pour 1)b), G est le point d'intersection des droites (AJ) et (CI), ses coordonnées vérifient donc les 2 équations et sont solutions du système formé par ces 2 équations. A toi de le résoudre !
Pour 2) comparer les équations des droites (OG) et (GB) peut être une idée mais ce sont surtout les coefficients directeurs qui sont intéressants, vois-tu pourquoi ?

Réponse: DM de 2nde (équations de droites) de lolly123, postée le 07-03-2013 à 20:11:46 (S | E)
Oh, super!
Si j'ai bien compris pour cette histoire d'ordonnée à l'origine, les droites passent par l'origine d'un repère si l'ordonnée à l'origine est nulle, c'est bien cela? (un peu comme les fonctions linéaires et affines alors? même si je sais évidemment qu'on ne peut pas comparer droites et fonctions!...)

Voici donc la suite de mon travail :
Les droites (AJ) et (CI) d'équations respectives y=1/2x et y=2x+(-1)sont sécantes car elles possèdent un coefficient directeur différent (en effet, 1 est différent de 2).
On cherche maintenant les coordonnées du point G d'intersection des droites (AJ) et (CI).
Comme G apparient à (AJ) alors les coordonnées de G vérifient l'équation de (AJ). De même, comme G appartient à (CI), alors les coordonnées de G vérifient aussi l'équation de (CI).
On a donc un système de deux équations à deux inconnues (xG et yG).

Mais je ne vois pas quelles sont les deux équations que comprend ce système... Est ce qu'il faut remplacer le "x" des équations des deux droites par xG et y par yG ? (je ne sais pas si ma question est très claire...)

Par contre pour le 2., je ne vois pas en quoi les coefficients directeurs sont intéressants... Doit on trouver qu'ils sont égaux?

Merci encore de votre aide.

Réponse: DM de 2nde (équations de droites) de nick94, postée le 07-03-2013 à 21:36:13 (S | E)
On ne peut pas comparer droites et fonctions mais la représentation graphique d'une fonction linéaire ou d'une fonction affine est une droite d'équation y = f(x).
Les deux équations que comprend ce système sont les deux équations des droites, tu peux donc remplacer le "x" et le "y" des équations des deux droites par xG et y par yG ou conserver x et y et savoir que ce que tu obtiens sont les coordonnées de G.
Des infos pour 2)
Lien internet

Réponse: DM de 2nde (équations de droites) de lolly123, postée le 07-03-2013 à 23:03:18 (S | E)
Merci de votre réponse.
D'accord, j'ai essayé de résoudre le système que j'ai trouvé, mais je n'y arrive pas... Voici ma recherche :

(AJ) a pour équation y=1/2x+0, soit y=1/2x et (CI) a pour équation y=2x+(-1)
On peut écrire :
yG=1/2xG+0 soit yG=1/2xG
et
yG=2xG+(-1)
Résolution du système :
yG=1/2xG
yG=2xG+(-1)
<=>
yG=1/2xG
1/2xG=2xG+(-1)
<=>
yG=1/2xG
(1/2xG) x 1/2 = 2xG x 1/2
Mais à partir de là, je ne sais pas comment faire car la dernière égalité aboutirait à xG=xG donc je pense bien que ma façon de résoudre le système est fausse. (à moins que le système lui même soit faux?...)Pourriez vous me dire à quel endroit je me suis trompée, svp?

Pour le 2., merci pour le lien. Si j'ai bien compris, je dois me servir de la propriété suivante : A, B et C sont trois points deux à deux distincts. (ici pour les points O, G et B)
Les points A, B et C sont alignés si, et seulement si, les droites (AB) et (AC)
ont le même coefficient directeur ou bien si A, B et C ont la même abscisse.
Donc je cherche si (OG) et (OB) ont le même coefficient directeur, c'est bien ça? (et pour cela, j'ai besoin des coordonnées de G...)

Réponse: DM de 2nde (équations de droites) de nick94, postée le 07-03-2013 à 23:11:16 (S | E)
(Pour simplifier l'écriture, je supprime les G)
Tu dois résoudre :
1/2 x = 2x - 1
ta 2eme ligne est incorrecte, voici un petit rappel :
Lien internet

Réponse: DM de 2nde (équations de droites) de lolly123, postée le 08-03-2013 à 08:05:41 (S | E)
Merci pour cette information. J'ai bien lu tout le rappel et j'ai essayé de rédiger le suite mais je ne suis pas du tout sure de moi... (Je pense que c'est le "1/2" qui me gêne, et j'ai du mal à isoler "x" dans la 2e équation)

y=1/2x
1/2 x = 2x - 1
<=>
y=1/2x
(1/2x)/2x = -1
<=>
y=1/2x
1/4x=-1
<=>
y=1/2x
x=-1/(1/4)
<=>
y=1/2x
x=4
<=>
y=1/2 x 4
x=4
<=>
y=2
x=4

La solution du système est donc le couple (4;2).
Ainsi les coordonnées du point G sont (4;2).

Réponse: DM de 2nde (équations de droites) de nick94, postée le 08-03-2013 à 10:04:57 (S | E)
Lorsque tu résous une équation (ou un système d'équations), il est toujours intéressant de vérifier que la solution que tu proposes satisfait bien l'énoncé ;
Tu obtiens x=4 ; y=2
ceci satisfait bien : 1/2 * 4 = 2
en revanche : 2 * 4 - 1 = 7 et pas 2 ; ta réponse est donc fausse et tu pouvais le vérifier seule.
Je ne vais pas recopier le système à chaque fois mais uniquement m'intéresser à l'équation en x.
1/2 x = 2x - 1
tu écris :
(1/2x)/2x = -1
tu pense donc que(2x - 1) / (2x) vaut -1, c'est faux
quelle opération fait-on lorsque l'on écrit : 2x - 1 ?

Réponse: DM de 2nde (équations de droites) de lolly123, postée le 08-03-2013 à 10:43:13 (S | E)
Je ne suis pas sure d'avoir bien compris comment procéder à la vérification ; est ce que cela consiste à remplacer les valeurs de x et de y dans les deux équations des droites que l'on a obtenu avant le système et vérifier si ces équations sont bien justes?
Je cherche donc à résoudre 1/2 x = 2x - 1
Pour répondre à votre question, quand on écrit 2x - 1, on doit soustraire 1 (ou ajouter -1) au produit de 2 par x, c'est bien cela?
Mais je ne vois pas en quoi cela peut nous aider à isoler x...
Pouvez vous m'aider, ou m'indiquer une méthode, svp?
Merci d'avance.

Réponse: DM de 2nde (équations de droites) de lolly123, postée le 08-03-2013 à 10:51:41 (S | E)
PS : est il correct d'écrire cela :
1/2 x = 2x - 1
<=>
1/2x - 2x = -1 ?

Réponse: DM de 2nde (équations de droites) de nick94, postée le 08-03-2013 à 22:38:15 (S | E)
C'est bien cela (désolée pour le temps de réponse)!

Réponse: DM de 2nde (équations de droites) de lolly123, postée le 09-03-2013 à 08:30:02 (S | E)
Ne vous excusez pas, ce n'est pas grave ; et c'est déjà très gentil de votre part de m'aider.

J'ai donc refait le système pour trouver les coordonnées du point G, mais après avoir terminé, j'ai constaté qu'elles ne correspondaient pas du tout avec les coordonnées qui seraient possibles sur mon schéma... Par exemple, yG est un nombre négatif, or, les deux droites se coupent bien dans la partie positive du repère... Je suppose donc que mon travail est encore faux...

Pouvez vous encore m'aider, svp?

Mon travail :

y=1/2x
1/2 x = 2x - 1
<=>
y=1/2x
1/2x=(2x-1) x 2/2
<=>
y=1/2x
x=2x-1
<=>
y=1/2x
x-2x=-1
<=>
y=1/2x
-x=-1
<=>
y=1/2 x (-1)
-x=-1
<=>
y=-1/2
-x=-1
<=>
y=-0.5
x=1

Donc la solution du système est le couple (1 ;-1/2), soit (1 ;-0.5) : ce sont les coordonnées du point G.

Réponse: DM de 2nde (équations de droites) de nick94, postée le 09-03-2013 à 14:33:02 (S | E)
Tu écris
1/2 x = 2x - 1
1/2 x =(2x-1) x 2/2 ce n'est pas faux puisque 2/2 = 1 mais cela ne simplifie pas grand chose
puis : x = 2x-1 où est passé 1/2 ?
Ce que tu m'avais proposé hier :
1/2x - 2x = -1 était correct
peux-tu repartir de là ?
combien font 1/2x - 2x ?

Réponse: DM de 2nde (équations de droites) de lolly123, postée le 10-03-2013 à 12:05:23 (S | E)
Je vais essayer de recommencer avec 1/2x - 2x = -1 :

1/2x-2x=-1
-3/2x-2x=-1
-7/2x=-1
7/2x=1
x=1/(7/2)A partir de là, je ne suis pas sûre de moi, j'ai du mal pour me débarrasser du "/2"
x=2/7
x [= environ] 0.286

J'imagine que c'est faux étant donné qu'en théorie, xG > xO soit xG > 0.5 ... (en tout cas vu mon schéma...)
Est ce que vous pouvez encore m'aider, svp?
Et merci beaucoup pour toutes les informations et conseils que vous m'avez déjà donnés!!!

Réponse: DM de 2nde (équations de droites) de nick94, postée le 10-03-2013 à 13:27:01 (S | E)
Je pense que ton problème vient des fractions.
Peux-tu répondre à ces 2 questions ?
Combien font :
2 x - 5 x ?
1/2 - 2 ?

Réponse: DM de 2nde (équations de droites) de lolly123, postée le 10-03-2013 à 14:43:45 (S | E)
C'est vrai que je ne suis pas à l'aise avec les fractions...

Voici mes réponses :
2 x - 5 x = -3x

1/2 - 2 = 1/2 - 2/1 = 1/2 - (2 x 2)/(1 x 2) = 1/2 - 4/2 = -3/2

Réponse: DM de 2nde (équations de droites) de lolly123, postée le 10-03-2013 à 15:14:23 (S | E)
PS : ainsi, pourrait on écrire ce qui suit? :

1/2x-2x=-1
-3/2x=-1
3/2x=1
x=1/(3/2)
x=2/3
x [= environ] 0.667

(Puis comme y=1/2x, alors on fait :
y=1/2 x 2/3
y=1/3
y [= environ] 0.333
Donc la solution du système est le couple (2/3 ; 1/3), ce sont les coordonnées du point G.
(ces coordonnées là pourraient correspondre avec mon schéma!!!)

Puis, pour le 2., on peut donc écrire cela :

Propriété : A, B et C sont trois points deux à deux distincts.
Les points A, B et C sont alignés si, et seulement si, les droites (AB) et (AC) ont le même coefficient directeur ou bien si A, B et C ont la même abscisse.

Pour savoir si les points O, G et B sont alignés, on cherche à savoir si les droites (OG) et (OB) ont le même coefficient directeur a.
Pour (OG) :
Sachant que O(0.5 ;0.5), que G(1 ;-0.5) et donc que xO est différent de xG on peut calculer le coefficient directeur a :
a=yG-yO/xG-xO
a=(1/3)-0.5/(2/3)-0.5
a=(-1/6)/(1/6)
a= -1/6 x 6/1
a=-1

Donc le coefficient directeur de (OG) est égal à -1.

Pour (OB) :
Sachant que O(0.5 ;0.5), que B(1 ;0) et donc que xO est différent de xB on peut calculer le coefficient directeur a :
a=yB-yO/xB-xO
a=0-0.5/1-0.5
a=-0.5/0.5
a=-1

Donc le coefficient directeur de (OB)et celui de (OG) sont identiques, on peut par suite affirmer (d'après la propriété) que les points O, G et B sont alignés.)

Pouvez vous me dire si cela est correct, svp?

Réponse: DM de 2nde (équations de droites) de nick94, postée le 10-03-2013 à 20:20:38 (S | E)
Tout cela me parait parfait !
Je n'ai pas pu me connecter plus tôt mais je vois que tu as très bien géré toute seule.
(As-tu bien remarqué que tes solutions satisfaisaient les deux équations ?)
Bon courage pour la reprise.

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