Aire et dérivée
Cours gratuits > Forum > Forum maths || En basMessage de alcino7 posté le 10-02-2013 à 23:19:30 (S | E | F)
Bonsoir à tous,
Je suis actuellement en première S et j'ai pour la fin de la semaine un DM de maths à rendre, cela fait plus de trois heures que je travaille dessus et je rencontre des difficultés pour l'achever, c'est pourquoi j'aimerais que vous puissiez me venir en aide. Voici l'énoncé :
On considère la courbe C d'équation y=4-x², avec P le point de C d'abscisse L appartenant à 0 (exclu), 2 inclus.
La tangente à C en L coupe l'axe des abscisses en A et l'axe des ordonnées en H.
Déterminer les coordonnées de point L pour que l'aire du triangle OAH soit minimale.
J'essaie d'utiliser la dérivée afin de calculer l'extremum local dans l'intervalle de définition pour mener cette tâche à bien.
J'ai tout d'abord calculer A et H. Pour ce faire j'ai calculer l'équation de la tangente avec la formule et j'ai trouvé y=-2Lx+L²+4,
j'ai ensuite calculé les coordonnées de H, étant donné que c'est la valeur atteinte pour x=0, H a pour coordonnées ( 0,L²+4)
, pour ce qui est de A j'ai calculé 0=-2Lx+l²+4 et j'ai trouvé x=(L²+4)/2L, donc A a pour coordonnées ((L²+4)/2L,0).
Ensuite je considère qu'on se base dans un repère orthonormés de cette manière OAH est un triangle rectangle, et les longueurs OA et OH vaillent respectivement L²+4, et (L²+4)/2L. Ainsi l'aire du triangle vaut 1/2(L²+4)((L²+4)/2L, soit (L²+4)²/4L.
C'est là que je ne sais plus comment faire. Je sais que c'est une dérivée de forme u/v, v' vaut 4 mais u' je ne sais pas du tout. Est ce qu'on considère que cela est de la forme x² avec x= (L²+4) ce qui donnerait 2(L²+4) ? J'ai fait pleins de tentatives infructueuses et chacune me donnait un forme qui n'était pas du second degré et dont je ne sais pas trouver les racines.
Pourriez vous me dire si le raisonnement et ce que j'ai fait précédemment est juste ? Et pourriez vous m'expliquez comment trouver la dérivée de u, et comment trouver les racines de la dérivée que je puisse tracer un tableau de signes et de variations afin de trouver l'extremum et ainsi les coordonnées de P correspondant à l'aire minimale.
Merci d'avance pour votre précieuse aide.
Au revoir,
Réponse: Aire et dérivée de wab51, postée le 11-02-2013 à 12:34:55 (S | E)
Bonjour alcino Tu as fait un excellent .Ton raisonnement est judicieux .Tes résultats sont justes .Bravo et félicitations .
. Pour calculer la dérivée
.Tu as à faire à la dérivée d'un quotient
qui est
.
en posant : d'ou tu calccules
et puis tu poses que
et tu calcules
Après ,tu remplaces dans la formule ,puis tu développes ,puis tu réduis l'expression du numérateur .
Enfin ,tu cherches les valeurs de L ( qui appartiennent à l'intervalle de L )pour lesquelles le numérateur est nul ?
Transmets tes résultats ,fais bien attention au calcul? Nous t'accompagnerons ,et nous portons les corrections necessaires .Bon courage
Réponse: Aire et dérivée de wab51, postée le 11-02-2013 à 15:07:41 (S | E)
Lors de ton calcul de la dérivée ,tu constateras que tu obtiendras un numérateur qui est équation bicarrée de la forme: (voici donc un lien qui t'aidera comment résoudre ce type d'équations :http://fr.wikiversity.org/wiki/%C3%89quations_et_fonctions_de_second_degr%C3%A9/Exercices/%C3%89quations_bicarr%C3%A9es . Il ne t'ai pas demandé de tracer la courbe représentative mais seulement à titre provisoire et pour vérifier vos calculs !Courage
Réponse: Aire et dérivée de alcino7, postée le 11-02-2013 à 22:43:06 (S | E)
Bonsoir,
Merci beaucoup wabi 51 pour votre aide, grâce à cette dernière il me semble que je suis arrivé à mes fins. Voici ce que j'ai fait :
u=(t²+4)² pour calculer u' j'ai développé cette expression ce qui m'a donné L^4+8L²+16, ensuite je sais trouver la dérivée de cette expression vu que la dérivée de L^4 est 4L^3, celle de 8L² est 16L et celle de 16 est 0, la dérivée de cette expression est:
4L^3+16L.
V=4L et donc V'=4, si l'on fait le calcul (u'v-v'u)\v², on trouve la fonction dérivée y=(12L^4+32L²-64)/(16L²).
Ensuite grâce au lien que vous m'avez donnée, j'ai pu résoudre le numérateur en posant X=L², cela donne la fonction 12X²+32X-64.
J'ai calculé le discriminant et les racines et je trouve que les 2 racines sont X=-4 et X=4/3, étant donné que X=L² la première racine est impossible, car un carré ne peut pas donner un nombre négatif, les 2 racines résolvant l'équation sont:
racine(4/3) et - racine(4/3) soit 2/racine(3) et -2/racine(3).
16L²=0 pour L=0, donc 0 est une valeur interdite, grâce à cela je peux tracer le tableau de variation ci-joint:
Lien internet
Dans l'intervalle qui nous intéresse soit 0(exclu) 2 la fonction atteint un minimum en 2/racine(3), étant donné que la dérivée change de signe, cela confirme bien la présence de ce minimum. Ainsi sur l'intervalle 0 exclu,2 la fonction de l'aire du triangle atteint un minimum en L= 2/racine(3), donc l'aire minimum du triangle est atteint pour un point P ayant les cordonnées (2/racine(3);8/3), car l'ordonnée de P est f(L) donc 4-(2/racine(3)², cela donne 4-(4/3) soit 12/3-4/3 soit 8/3. Pourriez-vous me dire si cela est correct ?
La deuxième question qu'on me pose est si on peut déterminer les coordonnées de P pour que l'aire soit maximale. Je répondrais non, car sur notre intervalle il n'y a aucun maximum. De plus l'aire maximale, selon le tableau tracé ci-dessus est située en 2 ( fonction croissante) ou bien vers 0, car c'est là que l'aire est maximale pour L compris entre 0 exclu et 2/racine(3). Étant donné que 0 est interdit, cela sera une valeur qui se rapproche de 0, mais ne l'atteindra jamais, on ne peut donc pas calculer l'aire en ce point et ainsi pas comparer les 2 aires qui sont potentiellement les plus grandes. Est-ce juste ?
Je tiens en tout cas vous remercier grandement wabi 51 pour l'aide que vous m'avez apporté,
Encore merci,
Au revoir
NB: Merci beaucoup d'avoir pris la peine de tracer la figure, je l'avais également tracé mais à mains levée.
Réponse: Aire et dérivée de wab51, postée le 11-02-2013 à 23:20:04 (S | E)
Excellent travail .Tu as le sens des mathématiques :la rigueur-la précision - l'analyse -l'organisation ...Toutes mes félicitations .
pour tout ce merveilleux travail,pour ta pertinence et ta patience .
*Juste quelques petites remarques :
Le signe de la dérivée est le signe du numérateur parce que le dénominateur est un carré et par conséquent il est strictement toujours positif .
*tableau de variation ,c'est 2/V3 et non 4/V3 (faute d'inattention ,c'est tout) .Ce n'est pas obligatoire on peut rendre le dénominateur irrationnel 2/V3 = (2V3)/3 .
Encore une fois mes sincères félicitations .Je te souhaite d'excellentes études avec d'excellentes résultats .
Tu as beaucoup travailler .Repose toi bien -Tu peux être content de toi -Bonne nuit et à une prochaine fois
Réponse: Aire et dérivée de mariejoa, postée le 12-02-2013 à 00:02:28 (S | E)
Bonjour,
Très bien pour toute l'étude menée , le calcul de la dérivée ainsi que le tableau de variation (vu avec le lien).Bravo à wab51 pour le tracé de la courbe avec la tangente et le triangle qui en découle.
Mais pour la conclusion de la dernière question, on demande la valeur de L pour que l'aire soit minimale et non maximale.
Sachant que la fonction décroît sur l'intervalle ]o,2],je pense que l'on peut répondre à la question et qu'elle est minimale pour L=2
Bon ,j'espère avoir encore les idées claires malgré l'heure tardive.
Réponse: Aire et dérivée de mariejoa, postée le 12-02-2013 à 00:16:56 (S | E)
J'ai oublié quelque chose, le numérateur de la dérivée peut s'écrire sous forme de produit :
4(l² +4)(3l²-4) en utlisant la méthode de Wab51, on y arrive facilement, cela évite un changement de variable et l'étude du signe est facile.
Bonsoir à tous,il est l'heure de dormir!
Réponse: Aire et dérivée de wab51, postée le 12-02-2013 à 12:27:35 (S | E)
Bonjour :Que mariejoa m'excuse .Pour ce qui est des réponses de la
1ère partie du problème ,elles sont correctes et alcino a bien répondu
tout en détaillant bien ses résultats.Pour la 1ère Q ?Il s'agit bien de
déterminer l'aire minimale A(L) et le minimum est la plus petite des
valeurs de A(L) sur l'intervalle ouvert I à 0 et fermé à 2 .Le minimum
est 2v3 / 9 atteint pour L=2/V3 dans cet intervalle .,soient pour les
coordonnées de L(2/V3;8/3) (dans cet intervalle I ,A(L) A(2/V3) pour tout Lde I .
*Pour
ce qui est des calculs de la dérivée ,le calcul et la méthode sont
corrects ,et la dérivée ne s'annule et ne change de sens que pour les
deux valeurs opposées trouvées 2/V3 et -2/V3 .
Pour la réponse à
la 2ème Q .dont je n'avais donnée aucune remarque (c'était tard la
nuit).La question est " si on peut déterminer les coordonnées de P pour que l'aire soit maximale?" . 'On obtient une aire maximale égale à 8 dans cet intervalle I pour L=2 (fonction positive et croissante dans I et par conséquent P(2,0) .
Dans cet intervalle I = ]0;2] ,la plus grande valeur de L est L=2 .Je pense que d'autres intervants peuvent peut etre intervenir pour donner plus de précisions .
Bravo à alcino et Bonne journée à tous
Réponse: Aire et dérivée de mariejoa, postée le 12-02-2013 à 14:34:59 (S | E)
Mille excuses, j'ai fait une erreur,il était tard et effectivement wab51 a raison .
Encore toutes mes excuses.
Réponse: Aire et dérivée de mariejoa, postée le 12-02-2013 à 14:46:35 (S | E)
L'aire minimale est donc bien atteinte pour L=2/V3 .
Avec la fatigue, il était tard, j'ai enregistré 2V3 au lieu de 2/V3 .
je ne sais comment m'excuser!!!!!
Réponse: Aire et dérivée de wab51, postée le 12-02-2013 à 15:47:57 (S | E)
Je vous en prie mariejoa .Pas à ce point .Il nous arrive tous de se tromper surtout qu'on était tous épuisés , en une heure si tardive de la nuit .Impossible de garder la faculté de raisonner et de réfléchir .Ce n'est pas du tout grave .Et c'est moi qui vous demande des excuses ,chère professeur mariejoa et avec mes sincères considérations .Je reconnais humblement vos innombrables contributions que vous portez inlassablement pour apporter de la lumière aux autres .et honorer ce beau site .Bon courage -Bonne continuation -meilleures réussites .Bonne journée et pour un nouveau rendez-vous au site .
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