BTS Equation différentielle
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Message de mikaku posté le 30-01-2013 à 08:11:54 (S | E | F)
Bonjour j'ai un soucis de résolution pour une équation différentielle avec un discriminant négatif, voici mon l'énoncé:
A. Résolution d’une équation différentielle
L’étude du système mécanique conduit à considérer l’équation différentielle
(E) : y'' +4y' +104y = −10,1e^−t
où y est une fonction de la variable réelle t , définie et deux fois dérivable sur [0 ; +∞[,
y'sa fonction dérivée et y'' sa fonction dérivée seconde.
1. a. Montrer que les solutions complexes de l’équation r^2+4r+104 = 0 sont
r1 = −2+10i et r2 = −2−10i.
b. En déduire l’ensemble des solutions de l’équation différentielle (E0) :
y'' +4y' +104y = 0.
Voici mon parcours:
C'est une équation différentielle du second ordre.
r^2+4r+104=0 --> Équation caractéristique
Discriminant = b^2-4ac
4^2-4x1x104=-400
Discriminant < 0 donc il y a deux solutions complexes et conjuguées:
r1= (-b-i√r)/2a r2= (-b+i√r)/2a
= (-1-i√400)/a = (-1+i√400)/a
Je suis bloqué ici je ne comprends pas comment on arrive à : r1 = −2+10i et r2 = −2−10i.
En attente de votre aide.
Cordialement,
Message de mikaku posté le 30-01-2013 à 08:11:54 (S | E | F)
Bonjour j'ai un soucis de résolution pour une équation différentielle avec un discriminant négatif, voici mon l'énoncé:
A. Résolution d’une équation différentielle
L’étude du système mécanique conduit à considérer l’équation différentielle
(E) : y'' +4y' +104y = −10,1e^−t
où y est une fonction de la variable réelle t , définie et deux fois dérivable sur [0 ; +∞[,
y'sa fonction dérivée et y'' sa fonction dérivée seconde.
1. a. Montrer que les solutions complexes de l’équation r^2+4r+104 = 0 sont
r1 = −2+10i et r2 = −2−10i.
b. En déduire l’ensemble des solutions de l’équation différentielle (E0) :
y'' +4y' +104y = 0.
Voici mon parcours:
C'est une équation différentielle du second ordre.
r^2+4r+104=0 --> Équation caractéristique
Discriminant = b^2-4ac
4^2-4x1x104=-400
Discriminant < 0 donc il y a deux solutions complexes et conjuguées:
r1= (-b-i√r)/2a r2= (-b+i√r)/2a
= (-1-i√400)/a = (-1+i√400)/a
Je suis bloqué ici je ne comprends pas comment on arrive à : r1 = −2+10i et r2 = −2−10i.
En attente de votre aide.
Cordialement,
Réponse: BTS Equation différentielle de tiruxa, postée le 30-01-2013 à 09:11:15 (S | E)
Bonjour,
Tout est bon sauf l'utilisation des formules à la fin.
On a a=1 et b =4
donc 2a = 2 et racine (400) = 20
et r1 = (-4 -20i)/2 = -2 -10i
idem pour l'autre
Cordialement
Réponse: BTS Equation différentielle de mikaku, postée le 30-01-2013 à 09:38:08 (S | E)
Simple erreur d'inversion de a et b... Je me sent bête.
Merci en tout cas.
Je continue la suite en prenant soin de bien me relire ^^
Réponse: BTS Equation différentielle de mikaku, postée le 30-01-2013 à 10:51:55 (S | E)
J'ai de nouveau un soucis, voici la question suivante:
2.Montrer que la fonction h, définie sur [0 ; +∞[ par h(t ) = −0,1e^−t , est une solution de l’équation différentielle (E)
-Voici mon parcours:
Étant une équation différentielle du 2nd ordre on fait:
h(t)= -0.1e^-t
h'(t)= 0.1e^-t
h''(t) = -1
(E) devient h''(t)+4h'(t)+104h(t) = -10.1e^-t
donc je remplace par ce que j'ai trouver plus haut:
-1+4x0.1e^-t+104x(-0.1e^-t) = -10.1e^-t
Mais comment montrer que la fonction h(t) est bien solution ?
Que faire avec mon:
-1+4x0.1e^-t+104x(-0.1e^-t) = -10.1e^-t
En attente de vos réponses.
Cordialement.
Réponse: BTS Equation différentielle de mikaku, postée le 30-01-2013 à 11:16:35 (S | E)
Exact j'ai bien fait une erreur, sur la dérivé seconde...
Merci je corrige mon erreur et continue l'exo.
Réponse: BTS Equation différentielle de mikaku, postée le 30-01-2013 à 11:47:38 (S | E)
J'ai un doute sur votre dernière réponse walidim, je suis d'accord que h(t) n'est pas solution particulière mais ce n'est pas ce qui est demander dans la question si je ne me trompe pas.
2.Montrer que la fonction h, définie sur [0 ; +∞[ par h(t ) = −0,1e^−t , est "une solution" de l’équation différentielle (E)
L'énoncé nous demande de montrer une solution peut-être que h(t) en est une de même pour h''(t) (car ce sont les mêmes)
En faîtes voilà si h(t) n'est pas une solution je suis bloqué pour les questions suivantes:
3. En déduire l’ensemble des solutions de l’équation différentielle (E).
4. Montrer que la solution f de l’équation différentielle (E) définie sur [0 ; +1[
par :
f (t ) = −0,1[e^−t−cos(10t)e^−2t]
vérifie les conditions initiales f(0) = 0 et f'(0) = −0,1.
Car pour la question 3 c'est facile je prends l'ensemble des solutions de (E0) + la solution de la question 2.
f(t)=(K1cos(10t)+K2sin(10t)e^-2t + h(t) est l'ensemble des solutions.
Après dans la question 3 il me restera juste à trouver K1 et K2 avec l'aide des conditions initiales et je devrais retomber sur:
f(t)= f (t ) = −0,1[e^−t−cos(10t)e^−2t]
Mon raisonnement est-il bon ?
Que faire pour la question 2 ?
Je vous remercie d'avance pour votre implication et votre action.
Cordialement,
Réponse: BTS Equation différentielle de tiruxa, postée le 30-01-2013 à 20:19:57 (S | E)
Pas de soucis pour la question 2
4h'(t)=0.4e^-t
h"(t)+104h(t)=105h(t)=-10.5e^-t car h = h"
Donc en ajoutant
h"(t)+4h'(t)+104h(t) = -10.1e^-t
h est donc solution de (E)
Réponse: BTS Equation différentielle de mikaku, postée le 31-01-2013 à 08:43:10 (S | E)
Merci de ton aide.
J'ai encore un soucis pour la suite --'
Voici mon parcours :
Pour la question 3, l'ensemble des solutions est donc f(t)+h(t):
[K1 cos(10t)+K2 sin(10t)]-0.1
4.
-f(0)=0
f(0)=[K1 cos(10x0)+K2 sin(10x0)]=0
=(K1x1+0)x1-0.1
=K1-0.1=0 <==> K1=0.1
-f'(0)=-0.1
On fait d'abord:
f'(t)= [K1 -10sin(10t)+K2 10cos(10t)]-2+0.1
f'(0)= [K1 -10sin(10x0)+K2 10cos(10x0)]-2+0.1
=-0.1
= (0+ 10K2)-2+0.1=-0.1
= 10K2-1.9=-0.1
=10K2=1.8 <==> K2 = 1.8/10 = 0.18
Donc K1 = 0.1 et K2= 0.18
Alors f(t) =
[0.1 cos(10t)+0.18 sin(10t)]-0.1
J'ai un problème à ce niveau là, je n'arrive pas à retrouver comme il est marqué dans l'énoncé:
f(t)=-0.1[]
(Je ne vais pas vous reécrire mon brouillon ça va dans tout les sens, en gros c'est le sin qui me bloque...)
Je vous remercie encore pour vos réponse et votre action.
En attente de votre lecture et votre aide.
Cordialement.
Réponse: BTS Equation différentielle de tiruxa, postée le 31-01-2013 à 10:08:32 (S | E)
Bon il y a un gros problème de dérivation !
La dérivée d'un produit s'obtient par la formule : (uv)' = u'v + v'u
Ici on a u(t)= K1 cos(10t)+K2 sin(10t)
et v(t) = exp(-2t)
Donc il faut refaire la dérivée et tu trouveras bien le résultat voulu.
Autre problème , un oubli de parenthèses :[K1 cos(10t)]' = K1 * (-10) * sin(10t) = -10K1 sin(10t)
Allez un petit effort et c'est OK.
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Modifié par tiruxa le 31-01-2013 10:09
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