Fonction exponentielle
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Message de rihab91 posté le 03-01-2013 à 15:53:22 (S | E | F)
Bonjour;
j'ai un devoir de maths à rendre pour la rentrée. xxx
Merci pour votre aide.
Voici le sujet et ensuite les quelques reponse que j'ai pu donner ^^"
On considère la fonction f définie par
f(x)= (e^x-1)/(e^x-x)
1.a
Démontrer que, pour tout x, e^x-x >= 1
justifier alors que f est definie sur R
b. determinez les limites de f en -infini et en + infini
c. calculez f'(x)
2.Etude du signe d'une fonction auxiliaire P. On considère la fonction P définie sur R par P(x)= (2-x)e^x-1
a Etablir le sens de variations de P
b Démontrer qeu l'equation P(x)=0 admets exactement deux solutions que l'on nommera "a" et "b" avec "a
3. Etudier le sens de variation de f
Mes réponses"
juste pour le 1.
Pour demontrer que e^x-x >= 1
on étudie les variations de la fonction g définie par
g(x)= e^x-x-1 on a alors:
g'(x)= (e^x-1)
sur R+* f(x)>0, f'(0)= 0 donc f est strictement croissante sur R+
sur R-* f(x)<0, f'(0)= 0 donc f est strictement décroissante sur R-
la fonction f présente un minimum absolu égal a 0. pour tout x appartenant a R, f(x) >=0, donc e^x-x>= 1
voilà. Pour ce qui est des limites je n'ai pas compris grand choses donc si vous avez des cours ou des sites à me conseiller, n'hesitez pas!
Merci
------------------
Modifié par bridg le 03-01-2013 15:54
Message de rihab91 posté le 03-01-2013 à 15:53:22 (S | E | F)
Bonjour;
j'ai un devoir de maths à rendre pour la rentrée. xxx
Merci pour votre aide.
Voici le sujet et ensuite les quelques reponse que j'ai pu donner ^^"
On considère la fonction f définie par
f(x)= (e^x-1)/(e^x-x)
1.a
Démontrer que, pour tout x, e^x-x >= 1
justifier alors que f est definie sur R
b. determinez les limites de f en -infini et en + infini
c. calculez f'(x)
2.Etude du signe d'une fonction auxiliaire P. On considère la fonction P définie sur R par P(x)= (2-x)e^x-1
a Etablir le sens de variations de P
b Démontrer qeu l'equation P(x)=0 admets exactement deux solutions que l'on nommera "a" et "b" avec "a
3. Etudier le sens de variation de f
Mes réponses"
juste pour le 1.
Pour demontrer que e^x-x >= 1
on étudie les variations de la fonction g définie par
g(x)= e^x-x-1 on a alors:
g'(x)= (e^x-1)
sur R+* f(x)>0, f'(0)= 0 donc f est strictement croissante sur R+
sur R-* f(x)<0, f'(0)= 0 donc f est strictement décroissante sur R-
la fonction f présente un minimum absolu égal a 0. pour tout x appartenant a R, f(x) >=0, donc e^x-x>= 1
voilà. Pour ce qui est des limites je n'ai pas compris grand choses donc si vous avez des cours ou des sites à me conseiller, n'hesitez pas!
Merci
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Modifié par bridg le 03-01-2013 15:54
Réponse: Fonction exponentielle de wab51, postée le 03-01-2013 à 16:38:08 (S | E)
Bonsoir rihab :Pour la question b)
Voici un lien pour t'aider à trouver les limites de f quand x tend vers + ou - l'infini .
Lien internet
*C'est une forme indéterminée ,pour trouver la limite ,il faut lever l’indétermination .Postez vos résultats .Bon courage .
Réponse: Fonction exponentielle de rihab91, postée le 04-01-2013 à 11:23:37 (S | E)
Bonjour, je voudrais savoir si le 1 est correct pour pouvoir passer a la suite et je voudrais aussi savoir si
exp(a)+b equivaut a exp(a+b)?
merci!
Réponse: Fonction exponentielle de wab51, postée le 04-01-2013 à 13:37:03 (S | E)
Bonjour rihab: *Pour ta question "si le 1 est correct?" .Ce n'est pas clair et précis parce que tu ne dis pas à quoi correspond ce résultat :est ce pour la limite de f quand x tend vers + l'infini ou vers - l'infini? .Tu sais qu'on te demande de calculer deux limites ,pour + l'infini et pour - l'infini.En fait ,le 1 est bien la limite de f quand x tend vers + .Il ne suffit pas de le dire mais le démontrer et le prouver ? .
Alors tu peux continuer et calculer la 2ème limite de f quand x tend vers -l'infini .?
*Pour la question " (e^a )+b équivaut à ae^(a+b) ?" .C'est faux .Tu peux voir le lien que je t'ai transmis .Bonne continuation
Réponse: Fonction exponentielle de rihab91, postée le 04-01-2013 à 14:07:09 (S | E)
Bonjour wab51
je te remercie pour tes réponses!
Mais je ne comprends pas très bien cet exercice! Donc je voudrais bien que tu m'éclaire un peu la dessus pour mes réponses du 1. J'ai répondu a la totalité du 1 sans faire attention au petit a, b ,et c de l'énoncé!
Donc j'aimerai bien des pistes a suivre
merci
Réponse: Fonction exponentielle de wab51, postée le 04-01-2013 à 15:02:45 (S | E)
Je m'excuse pour mon retard .Pas de problème ,je t'accompagnerai pour le travail de ce problème avec les supports et les orientations
Pour le calcul de la 2ème limite .Elle est plus facile .Elle ne se présente pas comme une forme inderminée et par conséquent sa détermination ne présente aucune difficulté .Pour cela ,je te demande :
1)Vers quelle limite tend le numérateur (e^x - 1)de f quand x tend vers - l'infini? (sachant que lim e^x = 0 )quand x tend vers -l'infini )
2)Vers quelle limite tend le dénominateur (e^x - x)de f quand x tend vers - l'infini?
*Pour la question "Calcul de la dérivée f'(x)"?
Applique "la formule de la dérivée d'un quotient : (u(x)/v(x))'= (u'(x).v(x)-v'(x).u(x))/ (v(x))² en posant
u(x)=e^x -1 et v(x)=e^x - x ( sachant que la dérivée de e^x est e^x - voir lien). Bon courage et bonne continuation
Réponse: Fonction exponentielle de rihab91, postée le 05-01-2013 à 12:10:18 (S | E)
Bonjour,
alors pour les limites je trouve
pour - l'infini sa tend vers 0
pour + l'infini sa tend vers 1
pour la dérivée je trouve
(2(e^x)-(x*(e^x))-((e^x)-1)²)le tout divisé par ((e^x)²)
voila je ne sais pas comment simplifié cela j'ai essayer avec les formule du cours mais j'obtient des résultats incoherent
Réponse: Fonction exponentielle de wab51, postée le 05-01-2013 à 13:12:32 (S | E)
Bonjour rihab :*Pour le résultat des limites :résultats corrects .
alors pour les limites je trouve
pour - l'infini sa tend vers 0 correct )
pour + l'infini sa tend vers 1 correct
pour la dérivée je trouve
(2(e^x)-(x*(e^x))-((e^x)-1)²)le tout divisé par ((e^x)²)
*Malheureusement ,la dérivée est fausse. Pour cela à reprendre le calcul de la dérivée f'(x) en procédant ainsi pour éviter les erreurs de calcul et sûre d'avoir bien appliquer la formule que je t'ai donné dans le précédent message :
1)Calcul la dérivée u'(x)=? de u(x)=e^x -1 .
2)Calcul la dérivée v'(x)=? de v(x)=e^x - x .
3)Remplace les expressions de u(x) ,de u'(x) ,de v(x) et de v'(x) dans la formule f'(x)=(u(x)/v(x))'= (u'(x).v(x)-v'(x).u(x))/ (v(x))²
4)Développe puis réduit l'expression du numérateur .(Compare cette expression du numérateur de f'(x) avec P(x)=(2-x)e^x -1 ? Que peux tu en déduire ?
5)Donne l'expression réduite de f'(x) .Bonne continuation .
Réponse: Fonction exponentielle de wab51, postée le 05-01-2013 à 22:06:04 (S | E)
Bonsoir rihab :Pardon.J'avais toujours oublié de te répondre à ta 1ère réponse 1-a). Il y'a quand même quelques petites corrections et quelques précisions à faire comme l'exige la rigueur des mathématiques mentions portées en bleu).
Mes réponses"
juste pour le 1.
Pour demontrer que e^x-x >= 1
on étudie les variations de la fonction g définie par
g(x)= e^x-x-1 on a alors: (non sans le -1, la fonction g(x)=e^x-x )
g'(x)= (e^x-1)(sans parenthèse -l'expression de g'(x)est exacte)
sur R+* f(x)>0 , f'(0)= 0 donc f est strictement croissante sur R+
Sur R+,g(x)> ou =1 ,et g croissante,g'(o)=0 et g'change de signe
sur R-* f(x)<0, f'(0)= 0 donc f est strictement décroissante sur R-
Sur R- ,g(x)< ou = 1 et g est décroissante
la fonction f (g et non f) présente un minimum absolu égal a 0(faux c'est 1 pour x=0 ).
pour tout x appartenant a R, f(x) >=0, donc e^x-x>= 1
Pour tout x appartenant à R ,g(x)>ou=1 c'est à dire que le dénominateur de la fonction n'est jamais nul ,pas de valeur interdite et meme chose pour le numérateur de f et par conséquent f est définie sur R.
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