Exercice vecteurs et droites

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Exercice vecteurs et droites
Message de hahahey posté le 30-12-2012 à 19:25:31 (S | E | F)
Bonjour à tous;
J'ai un exercice ou je suis bloqué dès la 2e question . Sans savoir la 2e partie de cette question je ne peux pas avancer pour les autres questions .

L'énoncé de l'exercice : Soit ABC un triangle quelconque . Une droite (d) coupe(AB) en K , (AC) en L et (BC ) en M On se place dans le repère (A;AB(vecteur);AC(vecteur)). On note P le milieu de [BK] et R le milieu de [BL]

La figure pour l'exercice se trouve ici : Lien internet
. Désolé pour la qualité de l'image .

Voici les questions:
1)Faire 2 figures distinctes . Que pouvez vous conjecturer quant au point P, Q , R ?
2)Justifiez que le vecteur AK= a du vecteur AB , et que le vecteur AL = b du vecteur AC avec a et b des réels . En déduire les coordonnées de K et L en fonction de a et b
3)Montrez qu'une équation cartésienne de(KL) est bx+ay-ab=0.
4)Déterminez les coordonnées du vecteur BC . En déduire que le problème existe si et seulement si a-b différents de 0 .
5) En remarquant que M est l'intersection des droites (BC) et (KL) , montrez que les coordonnées de M sont M((ab-a)/(b-a);(b-ab)/(b-a))
6)Déterminez les coordonnées de P ,Q , R en fonction de a et b
7) Démontrez la conjecture faite au 1 .

Ce que j'ai fait :
1) Voici une des figures Lien internet
, (c'est pas très bien fais mais c'est pour que vous voyez au moins la figure ) Nous pouvons conjecturer que les points P, Q , R sont alignés .

2)Nous savons que K appartient à la droite AB . Nous pouvons dire alors que AK est une droite et B appartient a cette droite . Les vecteurs AB et AK sont parallèles confondues.Les vecteurs AB et AK sont alors colinéaires . Donc le vecteur AK = a du vecteur AB. Nous pouvons faire la même démarche pour la droite AL. Nous arrivons a la même conclusion vecteurAL = b vecteurAc .

Je suis bloqué à partir d'ici je ne vois pas comment on peut trouver les coordonnées de K et de L.
Si vous pouvez me donner une piste s'il vous plaît ?
Merci pour vos réponses.
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Modifié par bridg le 30-12-2012 19:34
Ne recommencez pas ça, s'il vous plaît !
D'autre part, merci de regarder les corrections de français et de ne pas refaire les mêmes fautes, je vous corrige les mêmes dans tous vos topics, ce n'est pas pour faire joli !
Cordialement.

Réponse: Exercice vecteurs et droites de djamel, postée le 31-12-2012 à 12:44:43 (S | E)
BONJOUR HAHAHEY
concernant la première question je vois pas le point Q
pour 2
il faut faire très attention lorsque l'exercice indique que le repère est (A,vect(AB),vect(AC)) cela veut dire que vect(AB) a comme coordonnés (1;0) et que vect(AC) a comme coordonnés (0;1).
les points K,A et B sont alignés donc il existe un réel a tel que on a vect(AK)=a*vect(AB) donc les coordonnés de vect(AK) sont (a;0) la même chose pour vect(AL)=b*vect(AC) et les coordonnés sont (0;b)

pour l'équation de la droite (KL)
il faut trouver les coordonnés de vect(KL)
on va dire que:
soit N un point quelconque de la droite (KL) de coordonnés (x;y)
donc vect(KN) et vect(KL) sont colinéaires donc on applique la définition qui utilise les coordonnés des deux vecteurs pour qu'ils soient colinéaires.
à la fin on déduit l'équation de la droite (KL)

Réponse: Exercice vecteurs et droites de hahahey, postée le 31-12-2012 à 13:54:50 (S | E)
Bonjour djamel ,

concernant la première question je vois pas le point Q:
le point Q est sur la droite (AK).
pour 2
il faut faire très attention lorsque l'exercice indique que le repère est (A,vect(AB),vect(AC)) cela veut dire que vect(AB) a comme coordonnés (1;0) et que vect(AC) a comme coordonnés (0;1).
les points K,A et B sont alignés donc il existe un réel a tel que on a vect(AK)=a*vect(AB) donc les coordonnés de vect(AK) sont (a;0) la même chose pour vect(AL)=b*vect(AC) et les coordonnés sont (0;b)
D'accord , donc pour la question les coordonnées de K sont (a;0) et les coordonnées de L sont (0;b) ?

pour l'équation de la droite (KL)
il faut trouver les coordonnés de vect(KL)
on va dire que:
soit N un point quelconque de la droite (KL) de coordonnés (x;y)
donc vect(KN) et vect(KL) sont colinéaires donc on applique la définition qui utilise les coordonnés des deux vecteurs pour qu'ils soient colinéaires.
à la fin on déduit l'équation de la droite (KL)
J'ai trouvé que les coordonnés de (KL) sont (a;b) Est ce cela ?
Ensuite j'arrive pas a retrouver l'équation cartésienne demandé :
y=mx+p
y= (b/a)x+p
ya=bx+p
ya-bx=p
y=(b/a)x+ya-bx
ay=bx+ay-bx
ay-bx-ay+bx = 0

Ou est mon erreur ? Est ce dans les coordonnés du vecteur KL ou autre ?

Merci de m'avoir répondu

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Modifié par hahahey le 31-12-2012 14:43

Réponse: Exercice vecteurs et droites de djamel, postée le 31-12-2012 à 16:48:08 (S | E)
pour les coordonnés de vect(KL) est (0-a,b-0) donc c'est (-a,b)
en général
soit deux points A(Xa,Ya) et B(Xb,Yb)alors vect(AB) a comme coordonnés (Xb-Xa,Yb-Ya).

et pour l'équation je te donne la définition
soient U(a,b) et V(a',b') deux vecteurs colinéaires si et seulement si a*b'-b*a'=0
applique ça pour les deux vecteurs KN(x-a,y-0) et KL(-a,b) avec N(x,y) un point quelconque qui appartient à (KL).

je pense c'est claire
bonne courage

Réponse: Exercice vecteurs et droites de hahahey, postée le 31-12-2012 à 18:20:34 (S | E)
pour les coordonnés de vect(KL) est (0-a,b-0) donc c'est (-a,b)
en général
soit deux points A(Xa,Ya) et B(Xb,Yb)alors vect(AB) a comme coordonnés (Xb-Xa,Yb-Ya).
Pour la première partie j'ai bien compris
et pour l'équation je te donne la définition
soient U(a,b) et V(a',b') deux vecteurs colinéaires si et seulement si a*b'-b*a'=0
applique ça pour les deux vecteurs KN(x-a,y-0) et KL(-a,b) avec N(x,y) un point quelconque qui appartient à (KL).
Pour l'équation cartésienne en cours on a vu la formule y= mx + p . Pour trouver m on prend un vecteur de la droite et on applique m = (y/x). Pour trouver p , on remplace y et x par un point appartenant a la droite. Puis enfin on met tout = à 0. La méthode que tu as donné n'a pas été vu en cours mais est très simple a appliquer et je trouve bien l'équation . Merci pour cette méthode .

Ensuite , j'ai répondu a la question 4 :

vecteur(BC)= (XC-XB;YC-YB) =( 0-1 ;1-0 )= (-1 ;1)
Nous retrouvons pas de 0 dans les coordonnés du vecteur BC donc Le probleme existe si et seulement si a-b différent de 0 .

Est ce cela , s'il vous plaît ?

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Modifié par hahahey le 31-12-2012 18:20

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Modifié par hahahey le 31-12-2012 18:33

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Modifié par hahahey le 31-12-2012 18:36

Réponse: Exercice vecteurs et droites de djamel, postée le 01-01-2013 à 11:57:25 (S | E)
bonjour
pour l'équation y=mx+p c'est l'équation réduite
par contre l'exercice demande l'équation cartésienne c'est pas pareil mais on peut basculer de l'une vers l'autre facilement.

je pense qu'il manque d'autre(s) données car il faut savoir c'est quoi "le problème" citer dans l'exercice.
je pense peut être quand la droite (BC) et la droite (KL)sont sécantes?:
vect(BC) a comme coordonnés (-1,1) donc on peut le considérer comme vecteur directeur de la droite (BC) et que la droite (KL) a comme vecteur directeur (-a,b)

donc les deux droites sont sécantes si et seulement si a-b soit différente à 0.

cette hypothèse que j'ai fait c'est d'après la question 5 il introduit le point d'intersection de (BC) et (KL).

Réponse: Exercice vecteurs et droites de hahahey, postée le 01-01-2013 à 12:57:03 (S | E)
Bonjour ,

pour l'équation y=mx+p c'est l'équation réduite
par contre l'exercice demande l'équation cartésienne c'est pas pareil mais on peut basculer de l'une vers l'autre facilement.

oui on partait de l'équation réduite pour donner l'équation cartésienne mais votre méthode fonctionne bien aussi .

je pense qu'il manque d'autre(s) données car il faut savoir c'est quoi "le problème" citer dans l'exercice.
je pense peut être quand la droite (BC) et la droite (KL)sont sécantes?:
vect(BC) a comme coordonnés (-1,1) donc on peut le considérer comme vecteur directeur de la droite (BC) et que la droite (KL) a comme vecteur directeur (-a,b)

Non j'ai marqué l'énoncé complet il y a aucune autre informations .Oui surement quand la droite (BC) et la droite( KL)sont sécantes .Oui , bien vu pour l’hypothèse . Ça doit être cela alors .

Merci dé m'avoir aidé , je vais essayer d'aller faire les questions 5 , 6 et 7 .
Pour la question 5 comment faut'il faire pour calculer les coordonnées de M ?
Il faut peu etre calculer l'équation de (KL) ?

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Modifié par hahahey le 01-01-2013 13:04

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Modifié par hahahey le 01-01-2013 13:05

Réponse: Exercice vecteurs et droites de djamel, postée le 01-01-2013 à 20:44:52 (S | E)
bonsoir
pour la 5 il faut utiliser le fait que M(Xm,Ym) est l'intersection de (KL) et (BC) donc le point M(Xm,Ym) vérifie les deux équations cartésiennes de ces deux droites.
il faut trouver l'équation cartésienne de (BC) c'est facile.
et pour l'équation de (KL) c'est déjà fait question3
après il faut résoudre le système avec les inconnues Xm et Ym.
et en fin les solutions de ce système c'est les valeurs de Xm et Ym
demandées.

Réponse: Exercice vecteurs et droites de hahahey, postée le 01-01-2013 à 23:39:42 (S | E)
Bonsoir , pour trouver l'équation cartésienne . Il faut connaitre un autre vecteur . On connais déjà le vecteur BC (-a;a)c'est cela ? Apres faudrait calculer le vecteur BP ? Mais comment faire ?

Merci

Réponse: Exercice vecteurs et droites de djamel, postée le 02-01-2013 à 08:59:48 (S | E)
bonjour
non vect(BC) a comme coordonnés (-1,1) voir au début comment on trouve les coordonnés d'un vecteur.
après tu fait comme on a fait pour la droite (KL)
et tu doit trouver comme équation :
x+y-1=0

Réponse: Exercice vecteurs et droites de hahahey, postée le 02-01-2013 à 12:55:14 (S | E)
Avec ta méthode il faut un autre vecteur non ? Lequel?

Réponse: Exercice vecteurs et droites de djamel, postée le 02-01-2013 à 15:15:28 (S | E)
tu fais comme j'ai fais pour la droite (KL)
soit N(x,y) un point quelconque qui appartient à (BC) donc vect(BN) de coordonnés (x-1,y) et vect(BC) de coordonnés (-1,1) sont colinéaires donc (x-1)*1- y*(-1)=0 d'où x+y-1=0
je pense que c'est Claire maintenant

Réponse: Exercice vecteurs et droites de hahahey, postée le 02-01-2013 à 17:18:32 (S | E)
re , Merci j'ai fini la question 5 j'ai trouvé les coordonnées de M grave a ton aide . Maintenant la 6 l'énoncé me demande de déterminez les coordonnées de P , Q et R .

Je pense avoir réussi a calculer les coordonnées de P qui sont (1/2ab -1/2a -1/2; 1/2b-1/2ab) C'est cela ? (jai calculer le vecteur BM puis j'ai divisé par 2 ) .

Comment faire pour calculer P et Q ?

merci

Réponse: Exercice vecteurs et droites de djamel, postée le 02-01-2013 à 18:51:18 (S | E)
bonsoir
pour la question 6 c'est facile
je te donne la formule:
en général:
soient deux points A(Xa,Ya) et B(Xb,Yb) et soit C(Xc,Yc) le milieu de [AB] alors:
Xc= (Xa+Xb)/2
Yc= (Ya+Yb)/2

pour 7 je pense que le point Q c'est le milieu de [BM] car le point Q n'est pas indiqué sur ton énoncé.
et la conjecture à conclure c'est: les points P, R et Q sont alignés et pour cela il faut trouver par exemple vect(PQ)= un réel * vect(PR)
pour cela il faut trouver les coordonnés de vect(PQ) et vect(PR)

Réponse: Exercice vecteurs et droites de hahahey, postée le 02-01-2013 à 19:06:52 (S | E)
Bonsoir , pour la 6 j'ai trouvé :

P= (1/2 + (1/2 (ab-a/b-a) ; b-ab/2(b-a))
R= (1/2;b/2)
Q= (1/2a;0)

C'est cela ?

Pour la 7 , si le point Q c'est le milieu de BK .
Le milieu de BM c'est P .

Ensuite j'ai calculé les vecteurs PQ et PR :

PQ = (1/2)a + (ab-a/2(b-a));-(b-ab/2(b-a))
PR=(1/2)-(ab-a/2(b-a);b/a-(b-ab/2(b-a))

On peut simplifier je pense , mais comment ?

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Modifié par hahahey le 02-01-2013 19:18

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Modifié par hahahey le 02-01-2013 19:22

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Modifié par hahahey le 02-01-2013 19:24

Réponse: Exercice vecteurs et droites de djamel, postée le 02-01-2013 à 21:39:28 (S | E)
BONSOIR
si on considère que:
Q milieu de [BK]
P milieu de [BM]
et R milieu de [BL]
et on a aussi les coordonnés des points suivants:
K(a,0) L(0,b) M( (ab-a)/(b-a),(b-ab)/(b-a))et B(1,0)
donc applique ce que je t ai donné avant concernant les coordonnés de milieu.
après applique la règle pour trouver les coordonnés des vecteurs suivants par exemple:
vect (PR) et vect (PQ) et je te donne une autre méthode qui m'apparaît facile par rapport à l'autre pour vérifier la colinéarité des vecteurs:
soient U(a,b) et V(a',b') sont colinéaires si et seulement si a*b'-b*a'=0.
et en enfin si ces deux vecteurs sont colinéaires alors les point P,Q et R sont alignés.

Réponse: Exercice vecteurs et droites de hahahey, postée le 02-01-2013 à 23:12:12 (S | E)
Merci super la formule me permettra de vérifié mes calculs d’après la méthode vu en cours ou encore d'aller plus vite .

Je vais donc détailler mes calculs si tu peux me dire si il y a des erreurs ou s'il y en a pas .

B=(1;0)
M=[(ab-a/b-a);(b-ab)/(b-a)]
K=(a;0)
L=(0;b)

xP= (xB+xM) /2 = ((1+(ab-a/(b-a))/2= 1/2+(1/2(ab-a/b-a))= 1.2+ (ab-a)/(2(b-a))
Yp=(yB+yM)/2 = (0+(b-ab/b-a))/2 = (b-ab/b-a)/(2/1)= (b-ab/b-a )*(1/2)= (b-ab)/(2(b-a))
P= (1/2 + (ab-a/(2(b-a))) ; (b-ab)/2(b-a))

xQ= (xB+xK)/2 = (1+a)/2 = (1/2)a = (1a)/2 = a/2
YQ= (yB+YK)/2 = (0+0)/2 = 0
Q= a/2;0

xR = (xB+xL)=(1+0)/2 = 1/2
yR= (yB+yL)( 0+b)/2=b/2
R= (1/2;b/2)

PQ= [(xQ-xP) ;(yQ-yP)] = [(a/2)- ((1/2)+ (ab-a/(2(b-a)));(0- (b-ab/2(b-a))]=[(a/2)-(ab-a)/(2(b-a));- (b-ab/2(b-a)].

PR= [(xR-xP);(yP-yR)] = [(1/2) -(1/2 + (ab-a/(2(b-a));(b-ab)/2(b-a) -(b/2)].

Peu - t' on simplifier cela ?
Ensuite , je ferrais la démonstration pour montrer qu'ils sont colinéaires .

Merci

Réponse: Exercice vecteurs et droites de djamel, postée le 03-01-2013 à 09:48:37 (S | E)
bonjour
pour le point P il faut développer et tu dois trouver comme coordonnés:
P( (ab-2a+b)/2(b-a), (b-ab)/2(b-a) )
pour Q c'est ( (a+1)/2 , 0)
pour R c'est juste c'est à dire (1/2,b/2)

pour le vecteur PR tu dois trouver ( (a-ab)/2(b-a) , (b^2-b)/2(b-a) )
tu peux choisir le vectQR au lieu de PQ car QR est moins long pour trouver ses coordonnés
vect(QR )a comme coordonnés: (-a/2 , b/2).
remarque: pour le choix des vecteurs il faut toujours choisir les moins long car ils donnes le même résultat.

donc pour vérifier la colinéarité de vect(PR) et et vect(QR) il suffit de vérifier si :

[(a-ab)/2(b-a)]*(b/2) - (-a/2)*[(b^2-b)/2(b-a)] égale à 0.
lorsque on développe tout ça on trouve 0.
d'où la colinéarité des vecteurs PR et QR
d'où aussi l'alignement des point P,Q et R.

Réponse: Exercice vecteurs et droites de hahahey, postée le 03-01-2013 à 10:04:55 (S | E)
Bonjour ,

Pour le point P c'est sur qu'il faut développer ? (car on une addition est non une multiplication ) Sinon en devellopant j'ai bien retrouvé cela .
Pour Q j'ai trouvé mon erreur .

Réponse: Exercice vecteurs et droites de djamel, postée le 03-01-2013 à 11:19:37 (S | E)
bonjour
développer pour réduire le maximum possible et aussi pour éliminer certains termes car avec les deux réels a et b c'est pas facile car il faut faire très attention lorsque on fait des opérations. souvent on fait des erreurs sans faire attention.
est ce que c'est bon pour le reste?

Réponse: Exercice vecteurs et droites de hahahey, postée le 03-01-2013 à 12:03:28 (S | E)
Oui pour ton aide . Tu m'a vraiment bien aidé . La prochaine fois j'y arriverais a le faire tout seul .

Encore

Réponse: Exercice vecteurs et droites de djamel, postée le 03-01-2013 à 15:33:51 (S | E)
de rien.
je te souhaite une bonne continuation et bon courage pour la suite.
pour les exercices de la géométrie il ne faut pas ignorer les leçons des années passées car on les utilise souvent.

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