Cherche Limite

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Cherche Limite
Message de anthonyob posté le 01-06-2012 à 11:35:03 (S | E | F)
Bonjour, Je suis en Terminale S et je n'arrive pas à trouver la limite suivante :
$\lim_{n->0} \frac{(1+n)^{b}-1}{b}$
Merci d'avance Anthony.
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Modifié par bridg le 01-06-2012 11:58

Réponse: Cherche Limite de frapedur, postée le 01-06-2012 à 11:48:10 (S | E)
Bonjour,

Pars du principe que

1)

1 + n quand n -> 0 tend vers 1, autrement dit c'est quasiment équivalent à 1+0 = 1

2)

1 à la puissance b est toujours égal à 1, autrement dit: 1^b = 1

Que pouvez-vous donc déjà dire de ton numérateur ?

Voyez si vous arrivez à alors conclure

Réponse: Cherche Limite de anthonyob, postée le 02-06-2012 à 13:56:12 (S | E)
Je ne comprends pas, le professeur nous a dis que la réponse était b ?

Réponse: Cherche Limite de milarepa, postée le 02-06-2012 à 21:44:34 (S | E)
Salut Anthony,

Tu n'as pas précisé dans ton énoncé à quels ensembles appartiennent n et b : sont-ils des entiers ? Des réels ? Etc.
En math, IL FAUT TOUJOURS PRÉCISER cet aspect du problème : c'est fondamental, même si ça te paraît évident.

Admettons que n soit un réel et b un entier naturel.
Je traite ta question de limite dans le cas particulier où b > 1, et il t'appartiendra de le généraliser.
Les indices de frapedur sont judicieux. En conséquence, tu vois bien que le numérateur vaut sensiblement 0, tout en étant légèrement supérieur à 0, donc positif.
Et 0 divisé par quelque chose d'entier > 1 tend vers 0.

Si la réponse est b, selon ton professeur, c'est que ton énoncé comporte une erreur, ou... qu'il s'est trompé, ou.. que tu as mal compris, etc. Bref, ya un bug quelque part !

Une autre façon d'aborder ce calcul de limite - tel que tu le poses - est de considérer le binôme de Newton (voir Lien internet
, ou encore Lien internet
). Dans ce cas (1 + n)b est approximativement égal à 1 + bn, le reste des puissances de n étant négligeable quand n tend vers 0.
Dans ce cas, l'expression [(1+n)b-1]/b = n, et tend donc vers 0 quand n tend vers 0.

Merci de nous tenir au courant.
Bon week-end à toi.

Réponse: Cherche Limite de anthonyob, postée le 03-06-2012 à 18:18:23 (S | E)
Merci de votre aide, je crois plutôt que c'est la limite quand b tend vers 0.

Mais dans ce cas on a une forme indéterminée du type "0/0" car (1+n)^b - 1 tend vers 0 et b aussi, comment on fait alors pour résoudre cette limite ?

Réponse: Cherche Limite de milarepa, postée le 03-06-2012 à 18:49:01 (S | E)
Rebonjour, Anthony,

1- Si tu as bien lu mon message, tu as sûrement parfaitement compris qu'on attend encore que tu veuilles bien préciser les domaines de définition de n et de b...

2- Si ce qu'on cherche est la limite quand b tend vers 0, la réponse ne peut pas être b.
Ton hypothèse de bug a donc peu de chance d'être la bonne.
Il faudrait que tu trouves un pote de ta classe à qui demander l'énoncé exact.

Bon courage et bonne soirée.

Réponse: Cherche Limite de anthonyob, postée le 06-06-2012 à 09:19:46 (S | E)
Bonjour, excusez-moi la limite est la suivante : $\lim_{x\rightarrow0}\frac{(1+n)^{x}-1}{x}$ , avec n un entier et x un réel.

Je n'arrive pas à la résoudre car on a une forme indéterminée de la forme "0/0". Pouvez-vous m'aider ? Merci

Réponse: Cherche Limite de milarepa, postée le 06-06-2012 à 19:31:00 (S | E)
Bonjour,

Certes le numérateur et le dénominateur tendent respectivement vers 0, mais pas de la même façon !
Personnellement, je te recommande de passer par le binôme de Newton (voir mes deux liens plus haut dans les messages), de développer ce binôme en x, puis de ne conserver que les membres de degré 0 et 1 en x, les membres de degrés plus élevés en x devenant négligeables quand x tend vers 0. Attention, ce sont des calculs délicats, et donc à écrire soigneusement pour ne pas se tromper. Cela te permettra d'éliminer x dans le calcul global de ta limite.

Bon courage.

Réponse: Cherche Limite de anthonyob, postée le 06-06-2012 à 20:18:08 (S | E)
Sur les liens que vous m'avez envoyé il est dit que le binôme de Newton marche pour un exposant entier or ici x est un réel, on ne peut donc pas utiliser le binôme de Newton, comment peut-on faire ?

Réponse: Cherche Limite de milarepa, postée le 07-06-2012 à 11:53:05 (S | E)
Bonjour Anthony,
Oui, tu as tout à fait raison, bravo à toi pour cette remarque judicieuse.
En passant par les développements limités (DL, Lien internet
: regarde au § 5-1 le développement de exp(x)=1+x+o(x) quand x-->0, qu'on exploite en considérant que (1+n)x = exp(x.ln(1+n))), on trouve ln(1+n) comme limite, mais je ne crois pas qu'en terminale S tu aies encore appris cette méthode.
Pour l'instant, je n'ai pas de piste au niveau terminale S.
On se tient mutuellement au courant (le premier qui trouve informe l'autre).
Bonne journée.

Réponse: Cherche Limite de anthonyob, postée le 07-06-2012 à 19:47:12 (S | E)
Merci de votre aide, j'ai réussi a faire cela de manière analogue:

$\frac{(1+n)^{x}-1}{x}=\frac{e^{xln(1+n)}-1}{x}$
Or, on a vu en cours que $e^{x}-1\sim x$ quand $x\rightarrow0$ et $\lim_{x\rightarrow0}xln(1+n)=0$
Donc $e^{xln(1+n)}-1\sim xln(1+n)$
Ainsi $\frac{(1+n)^{x}-1}{x} \sim \frac{xln(1+n)}{x} \sim ln(1+n)$
Donc $\lim_{x\rightarrow0}\frac{(1+n)^{x}-1}{x}=ln(1+n)$

Par contre en refaisant des calculs je suis arriver à un résultat absurde, pouvez me dire où j'ai fait l'erreur s'il vous plait?
$\frac{(1+n)^{x}-1}{x}=\frac{e^{xln(1+n)}-1}{x}$
$\frac{(1+n)^{x}-1}{x}=\frac{e^{xln(1+n)}}{x}-\frac{1}{x}$
$\frac{(1+n)^{x}-1}{x}=\frac{e^{xln(1+n)}}{e^{ln(x)}}-\frac{1}{x}$
$\frac{(1+n)^{x}-1}{x}={e^{xln(1+n)-{ln(x)}}-\frac{1}{x}$
Or $\lim_{x\rightarrow0}xln(1+n)-{ln(x)} = +\infty$ car $xln(1+n)\rightarrow0$ et $\lim_{x\rightarrow0}ln(x) = -\infty$
Or $\lim_{x\rightarrow+\infty}e^{x}=+\infty$
On a : $\lim_{x\rightarrow0}{e^{xln(1+n)-{ln(x)}}=+\infty$
Or $\lim_{x\rightarrow0}\frac{1}{x}=0$
Donc $\lim_{x\rightarrow0}\frac{(1+n)^{x}-1}{x}=\lim_{x\rightarrow0}{e^{xln(1+n)-{ln(x)}}-\frac{1}{x}=+\infty$ Ce qui est absurde.

Réponse: Cherche Limite de steve1, postée le 07-06-2012 à 20:26:55 (S | E)
Bonsoir à tous.
Ton erreur vient de $\lim_{x\rightarrow0}\frac{1}{x}=0$ ce qui est faux ! En fait $\lim_{x\rightarrow0}\frac{1}{x}=+\infty$ . Tu aboutis donc à une forme indéterminée...

Réponse: Cherche Limite de anthonyob, postée le 08-06-2012 à 08:30:22 (S | E)
Ah oui effectivement, merci

Réponse: Cherche Limite de wab51, postée le 10-06-2012 à 13:21:09 (S | E)
Bonjour anthonyod :je voulais apporter un petit plus concernant le calcul de limite de l'expression : $\lim_{x\rightarrow0}$ $\frac{(1+n)^{x}-1}{x}$ .et qui s'écrit aussi $\lim_{x\rightarrow0}$ $\frac{e^{x.ln(1+n)}-1}{x}$ .
En fait le quotient (ou le rapport) $\tau=$ $\frac{e^{x.ln(1+n)}-1}{x}$ représente le taux d'accroissement de la fonction $f$ au point d'abcisse $x_{0}$ =0 ,avec $f$ définie par : $f(x)=e^{x.ln(1+n)}$ .
La valeur de $\tau$ est la pente de la droite passant par les points du graphe $(x;f(x)) et (x_{0};f(x_{0)})$ c.a.d. $(x;f(x))$ et $(0;1)$ et elle s'appelle une sécante à la courbe de $f$ .
Maintenant ;et c'est le cas de la question si la limite de $\tau$ existe quand $x$ → $_{0}$ ,cette limite représente le nombre dérivé de $f$ au point $x_{0}$ =0 et qu'on symbolise par :
$f'(0)$ et par définition , n'est autre que le coefficient angulaire (la pente ) de la tangente au point d'abcisse $x_{0}$ =0 .Ce qui se traduit par le calcul :
$\lim_{x\rightarrow0}$ $\frac{(1+n)^{x}-1}{x}$ = $\lim_{x\rightarrow0}$ $\frac{e^{x.ln(1+n)}-1}{x}$ = $f'(0)$ .Pour trouver la valeur de cette limite ,il suffit donc de calculer directement $f'(0)$ sachant que la fonction dérivée de
$f(x)=e^{x.ln(1+n)}$ est $f'(x)=ln(1+n)e^{x.ln(1+n)}$ et qui vaut pour $x=0 ,la valeur f'(0)=ln(1+n)$ .( determination de la valeur de la limite basée sur l'application directe de la définition du calcul du nombre dérivé ) .A titre d'information,cette méthode plus générale pourra te servir à l'avenir ,et s'ajoute à la méthode du D.L.que tu as bien fait et developpé.Bonne chance ,bonne réussite au bacc .

Réponse: Cherche Limite de kemgang, postée le 17-06-2012 à 19:12:15 (S | E)
salut à tous , je pense qu'il aurait été plus simple de constater que (1+n)^b = 1+n*b à l'ordre 1 du développement limité et en remplaçant cela pour calculer la limite, on obtient n comme résultat.

Réponse: Cherche Limite de milarepa, postée le 17-06-2012 à 21:21:07 (S | E)
Bonsoir kemgang,
Si tu veux bien te donner la peine de lire tout ce qui a été soigneusement et patiemment écrit par les autres contributeurs, tu t'apercevras que :
1- Ce que tu suggères a déjà été évoqué en détail.
2- Il y avait une erreur dans l'énoncé, et que la solution exacte a été trouvée.
Et ça n'est pas n...
Bonne soirée.

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