Cours gratuits > Forum > Forum maths || En bas
Système d'équations Votre avis SVP
Message de jtho165 posté le 17-05-2012 à 10:07:18 (S | E | F)
Bonjour,
Voici ce qui m'amène...J'ai le devoir ci-dessous à faire je voudrais juste avoir votre avis sur mes conclusions...Merci par avance.
Voilà l'énoncé:
Sarah a dessiné des triangles et des pentagones (polygones ayant cinq côtés). Elle en a compté en tout 32. Elle a également compté tous les côtés : elle en a trouvé 125.
Que peut-on penser des comptes de Sarah?
Voilà ce que j'ai fait:
Soit x le nombre de triangles et y le nombre de pentagones
x+y=32-->x=32-y
3x+5y=125
3(32-y)+5y=125
96-3y+5y=125
2y=125-96
y=29/2=14,5
x=32-29/2=(64-29)/2
x=35/2=17,5
Je crois que c'est juste...Non?
Alors pour la question suivante, Que peut-on penser des comptes de Sarah?, j'aurais tendance à dire qu'elle s'est trompée! Qu'elle a MAL COMPTÉ le nombre de côtés puisque sinon, elle aurait dessiné 17 triangles et demi et 14 pentagones et demi, ce qui n'a aucun sens! Elle a dû oublier 1 côté!!! Avec 126 côtés, ça marche très bien...(17 triangles et 15 pentagones).
Merci pour vos commentaires...
Message de jtho165 posté le 17-05-2012 à 10:07:18 (S | E | F)
Bonjour,
Voici ce qui m'amène...J'ai le devoir ci-dessous à faire je voudrais juste avoir votre avis sur mes conclusions...Merci par avance.
Voilà l'énoncé:
Sarah a dessiné des triangles et des pentagones (polygones ayant cinq côtés). Elle en a compté en tout 32. Elle a également compté tous les côtés : elle en a trouvé 125.
Que peut-on penser des comptes de Sarah?
Voilà ce que j'ai fait:
Soit x le nombre de triangles et y le nombre de pentagones
x+y=32-->x=32-y
3x+5y=125
3(32-y)+5y=125
96-3y+5y=125
2y=125-96
y=29/2=14,5
x=32-29/2=(64-29)/2
x=35/2=17,5
Je crois que c'est juste...Non?
Alors pour la question suivante, Que peut-on penser des comptes de Sarah?, j'aurais tendance à dire qu'elle s'est trompée! Qu'elle a MAL COMPTÉ le nombre de côtés puisque sinon, elle aurait dessiné 17 triangles et demi et 14 pentagones et demi, ce qui n'a aucun sens! Elle a dû oublier 1 côté!!! Avec 126 côtés, ça marche très bien...(17 triangles et 15 pentagones).
Merci pour vos commentaires...
Réponse: Système d'équations Votre avis SVP de ludwig59, postée le 17-05-2012 à 10:40:36 (S | E)
Bonjour,
Je pense que ce n'est pas possible qu'il y ait 14,5 et 17,5, ce doit forcément être un nombre rond...
Mais je viens de faire le calcul avec une technique différente, et effectivement, je trouve le même résultats que toi...
Soit x le nombre de triangles et y le nombre de pentagones.
x+y = 32 (on multiplie par -3)
3x+5y = 125 (on multiplie par 1)
-3x-3y = -96
3x+5y = 125
2y=29
3x+5y = 125
y = 14,5
x+y = 32 (on multiplie par -5)
3x+5y = 125 (on multiplie par 1)
-5x-5y = -160
3x+5y = 125
-2x = -35
x = 17.5...
Désolé, je ne vois pas... Bon courage !
Mais par contre je pense que ton raisonnement consistant à dire qu'elle s'est trompée est le bon !
Réponse: Système d'équations Votre avis SVP de den29, postée le 17-05-2012 à 10:44:06 (S | E)
bonjour,
Je pense que ton raisonnement est correcte.
Réponse: Système d'équations Votre avis SVP de milarepa, postée le 17-05-2012 à 11:36:30 (S | E)
Bonjour à vous trois,
Apparemment sans vous en douter, vous partez tous les trois de l'hypothèse (dite implicite dans ce cas) que les triangles et les pentagones sont séparés !!! Or rien ne le précise dans l'énoncé.
Ce problème a donc deux solutions :1- Dans le cas où Sarah a dessiné des t et des p séparés, voici les calculs (les vôtres) et les résultats montrent qu'elle s'est trompée.
2- Dans le cas où certains t ou/et p ont au moins un côté commun, le système d'équations s'écrit :
x + y = 32
3x + 5y - n = 125, où n est un entier positif et représente le nombre de côtés communs.
On obtient :
x = 1/2 (35 - n)
y = 1/2 (29 + n)
On retrouve bien vos résultats si l'on prend le cas particulier n = 0.
S'il y a n = 1 côté commun, on a 17 t et 15 p.
Si n = 2, pas possible et Sarah s'est trompée (c'est le cas de toutes les valeurs paires de n).
Si n = 3, 16 t et 16 p.
Etc.
Je vous laisse poursuivre, sachant qu'à partir d'une certaine valeur de n, il sera géométriquement impossible d'avoir plus de côtés communs ; je n'ai pas calculé si cette valeur de n est < ou > à 33.
Bonne journée.
Réponse: Système d'équations Votre avis SVP de wab51, postée le 17-05-2012 à 12:00:06 (S | E)
Bonjour jth165:La partie calcule est parfaitement juste .Le système de deux équations traduit mathématiquement les données du problème.
D'abord une petite erreur à corriger tu dis :"elle devrait prendre 1 coté de moins si elle prend 126cotés" c'est 124 cotés .
La question "Que peut-on penser des comptes de sarah ? est bien délicate .
Ce qui est certain et juste de dire "qu'elle s'est effectivement trompée dans le nombre total des cotés .
S'est-elle trompée en donnant un nombre total de plus que 124 cotés ? ou en donnant un nombre de moins de 124 cotés?
Pour cela et pour être plus rationnel dans le jugement ,je pense qu'il faudrait penser à raisonner sur ce nombre total de cotés que j'appelle N .(étant donné que le coeur du problème se situe évidemment là avec le nombre 124).Pour cela ,tu rétablis ton système d'équations avec x+y=32 et 3.x+ 5.y= N .Tu résous ce nouveau système et tu obtiens x en fonction de N et y en fonction de N .
De ses deux relations de x et de y en fonction ,il ressort les conditions suivantes :
*- x et y ne peuvent être que des entiers pairs .
*- et que 96 < N < 160 .
CONCLUSION G2N2RALE :Sarah s'est effectivement trompée lors de sa comptabilisation du nombre total des cotés.mais elle n'a le droit de se tromper que 59 fois si son comptage est pris entre 97 compris et 159 compris .Dans les autres cas ,les solutions ne répondent plus aux hypothéses de travail du problème .Merci et bon courage
Réponse: Système d'équations Votre avis SVP de wab51, postée le 17-05-2012 à 13:05:09 (S | E)
Bonjour milarepa et bonjour jth165 :Je voulais faire savoir à milarepa qu'il n'y avait pas son message lorsque j'ai pris en mains le problème .Pendant que je rédigeais mon précédent message ,c'est certainement là que milarepa avait transmis son message et bien sur je ne pouvais le savoir (étant donné que j'étais encore occupé à rédiger ma réponse ).Comme dit le proverbe " on ne peut regarder par la fenêtre et se voir marcher dans la rue ".
Pour ce qui ait de mon message ,le cas est traité dans le cas de triangles et de pentagones séparés .
Je trouve que la réponse de milarepa est plus complète .Bonne continuation .
Réponse: Système d'équations Votre avis SVP de milarepa, postée le 17-05-2012 à 14:12:41 (S | E)
No problem, Wab51, you are
Réponse: Système d'équations Votre avis SVP de jtho165, postée le 17-05-2012 à 16:02:16 (S | E)
Merci a Milarepa et Wab51 pour leur réflexion
Juste 2 commentaires...
Milarépa, ce problème vient d'un livre de maths de 3ème (Transmaths édition 2008). Bravo d'avoir envisagé qu'il pouvait y avoir des côtés communs MAIS, je pense que cette éventualité aurait été envisagée. Il aurait en plus fallu qu'on précise que tous les côtés avaient même mesure, que tous les triangles étaient semblables (équilatéraux)ou non, que les pentagones étaient réguliers ou non, qu'elle n'avait pas dessiné plusieurs figures en les superposant etc...(les ambiguïté de ce genre sont rarement abordées dans les manuels de 3ème... Non?
Bref, je pense tout simplement qu'elle a mal compté les côtés (en en ayant compté 125), c'est à dire en a oublié 1 (ce qui ferait 126... Avec 15 Pentag.+ 17 Triang. = 32 figures ET 15X5+17X3=126 côtés) OU comme dit Wab51 qu'elle en a compté 1 de trop (ce qui ferait 124... Avec 14 Pentag.+ 18 Triang. = 32 figures ET 14X5+18X3=124 côtés). Ou pourquoi pas qu'elle a mal compté les figures...! En tout cas, Sarah S'EST TROMPÉE, LA VILAINE...
Wab51, tu as écrit: x et y ne peuvent être que des entiers pairs .
Je pense que tu veux dire des nombres entiers!
D'autre part, tu as écrit et que 96 < N < 160 avec beaucoup de N à exclure (Cf. le compte de Sarah (125))
Réponse: Système d'équations Votre avis SVP de jtho165, postée le 17-05-2012 à 16:37:28 (S | E)
Juste un dernier truc, en fait, si je ne me trompe pas et pour reprendre la piste de Wab51 il nous faut un nombre de côtés N=2n donc pair tel que 96 < N < 160 c'est à dire 96 < 2n < 160 et 48 < n < 80. C'est bien ça?....
Réponse: Système d'équations Votre avis SVP de wab51, postée le 17-05-2012 à 19:59:16 (S | E)
Bonsoir jth165:Parfaitement d'accord ,tes objections sont excellentes et objectives .Mais comme il l'a bien signalé milarepa ,il faudrait penser à travailler sur deux hypothèses : cas ou les triangles et les pentagones séparés et le cas ou il y'aurait des cotés communs entre triangles et pentagones ,c'est à dire raisonner en prenant le nombre 125 dans le 1er cas et puis dans le 2eme cas séparément parce que rien de concret sur le nombre de cotés 125.Est ce qu'il a été pris avec des cotés distincts séparés ou mixtes .
C'est pourquoi , on devrait étudier et analyser ses 2 cas :
1ER CAS :ce cas a été fait par tous et bien compris .Donc pas de problème .
Dans ce même cas et pour voir "de combien a t elle ajouté ou diminué de nombre de cotés lors de sa comptabilisation ? Pour répondre à cette question discrète et délicate il faudrait se pencher sur la parité de x et de y .Ceci dit x+y=32 explique que x et y ne peuvent être que soient simultanément des nombres entiers pairs ou bien simultanément des nombres entiers impairs d'une part.D'autre part voyons ce que dit l'équation 3.x+5.y=125 .Le nombre 3.x peut être pair ou impair selon la parité de x .Le nombre 5.y est soit pair ou impair selon la parité de y donc on conclue que si x est pair alors la somme 3.x+5.y est forcément paire d'ou contradiction avec 125 de sarah .Cela montre qu'elle s'est trompée de calcul"elle a mal comptée " mais de combien? Pour cela ,et pour voir toutes les possibilités
il suffit de décomposer 125 en la somme d'un nombre pair et un un nombre impair :
125=124+1(compté 1de plus );125=122+3(3 de plus);125=120+5(5 de plus);......;125=0+125 (125 de plus pas normal)
CONCLUSION :la pauvre sarah et avec tout ce verdict n'a pas de chance de nier qu'elle ne s'est pas trompée au moins une fois .Mais soyons indulgent et humain et tout le monde se trompe ,sarah est libre .Je prends une petite relaxe pour donner prochainement le 2cas
Bonne continuation - et merci à tous et à très bientôt .
Réponse: Système d'équations Votre avis SVP de jtho165, postée le 17-05-2012 à 20:43:25 (S | E)
Merci encore pour ta réponse,
Ah!...Pauvre Sarah!!! Elle a encore trompé!!!
Bye et à bientôt....
Réponse: Système d'équations Votre avis SVP de jtho165, postée le 18-05-2012 à 12:08:07 (S | E)
Hello
Wab51, je vais t'avouer que ce problème finit par me "prendre" un peu la tête! Il aura au moins eu le mérite de faire fonctionner nos neurones et de nous permettre d'échanger un moment...
Quant à notre chère Sarah, on pourrait aussi imaginer qu'elle a un problème de vue (strabisme convergent ou divergent), ou qu'elle a dessiné des figures de tailles différentes, qu'elle a dessiné plusieurs figures superposées, ou même qu'elle s'est trompée sur le nombre de figures!!!
Bref, si on devait envisager tous les "cas de figure" (toutes les ambiguïtés possibles), on y serait encore dans 15 ans....
À+ jtho
Réponse: Système d'équations Votre avis SVP de wab51, postée le 18-05-2012 à 22:22:34 (S | E)
Bonsoir jthoo165 .D'abord je vous remercie et vous félicite pour votre choix à ce sujet que je pense vraiment passionnant , intéressant attractif et plus intuitif.Il sollicite le sens de la recherche ,de l'analyse et de la discussion .C'est donc un problème de situation.
et pour résoudre ce genre de problème ,les données doivent être précises et claires et bien sur d'autres peuvent se déduire par la logique et l'intuition mathématique .En effet dire " des triangles et des pentagones " ,intuitivement ce sont des triangles et des pentagones "réguliers" dont tous les cotés sont égaux (une unité est bien donc 1 coté donc indivisible).Je pense que l'enjeu de la problématique se situe dans la phrase " Elle a également compté tous les côtés : elle en a trouvé 125 ".C'est là ,je pense où se situe toute "la faille "du problème " tous les cotés 125"..Je pense qu'il n'y a que 2 explications donc 2 hypothèses :
*1er cas d'hypothèse :le compte 125 de sarah représente le nombre total des cotés séparés et le nombre total des cotés communs .(personne n'a traité ce cas dans cette hypothèse forte probable "triangles et pentagones non séparés" .
*2ième cas d'hypothèse :le compte 125 de sarah représente uniquement le nombre total des cotés séparés .(ce cas le plus probable fut explicitement bien traité par milarepa - nos félicitations à milarepa ).
Pourquoi donc toute cette analyse ? D'abord ,pour la cohérence et la concordance des données pour bien traduire en langage mathématique c.a.d. en système d'équations les données d'une part et d'autre part pour se permettre de se prononcer objectivement sur le jugement du comptage de sarah .Personnellement et j'en suis maintenant convaincu et sur la base de l'hypothèse la plus forte (celle de milarepa),sarah est très intelligente .Elle ne s'est pas trompée .Merci à vous et à toute l'équipe .C'était vraiment un plaisir.
A la prochaine .
Cours gratuits > Forum > Forum maths
