DM sur un parallï¿½logramme

DM sur un parallélogramme

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DM sur un parallélogramme
Message de dora33 posté le 04-05-2012 à 09:28:02 (S | E | F)
Bonjour, j'ai un problème pour résoudre l'exercice 1 de mon devoir de mathématiques.
Voici l'énoncé:
1/ Tracer un parallélogramme ABCD (c'est fait)
2/ Placer les points M et P milieux respectifs des côtés [AB] et [DC]. (C'est fait)
3/ Placer K le point d'intersection de [MD] et [AC]. (c'est fait)
4/ Placer L intersection de [PB] et [AC]. (c'est fait)
5/ Prouver que les droites (MD) et (PB) sont //.
6/ Prouver que AK/AL= 1/3

Voici ce que j'ai écrit:

5/ ABDC = un parallélogramme, M est le milieu de [AB], P est le milieu de [DC]
[AB] est le côté opposé au sommet D et [DC] est le côté opposé au sommet B
Or dans un parallélogramme, les segments joignant 2 sommets opposés aux milieux des côtés opposés sont parallèles et partagent la diagonale en trois parties égales.
Donc [MD] et [BP] sont parallèles.
6/ La diagonale [AC] est divisée en trois parties égales; donc AK=LK=LC
AK+KL+LC=AC. AK/AC=1/3; AC/AC=3/3; AL/AC= 2/3
Si AC/AC - AL/AC=AK/AC
Alors, 3/3 - 2/3 = 1/3
Donc AK/AC= 1/3 ou AK/AL= 1/2
AK/AL= 1/3 est faux.

Qu'en pensez-vous ? Est-ce juste? Il y a une erreur dans l'énoncé;fallait-il peut-être montrer que c'était faux.
Je vous remercie beaucoup encore pour votre aide.

Réponse: DM sur un parallélogramme de logon, postée le 04-05-2012 à 09:58:59 (S | E)
Bonjour Dora,

pourquoi ne tracez vous pas l'autre diagonale du parallélogramme, ce qui vous permettrait d'avoir 2 triangles ABD et BDC avec des médianes????
Bon courage,

Réponse: DM sur un parallélogramme de dora33, postée le 04-05-2012 à 10:02:35 (S | E)
Ah ok, je vais essayer mais je pensais que l'on pouvait démontrer que avec ce que l'on avait sur la figure ou l'énoncé. merci!

Réponse: DM sur un parallélogramme de dora33, postée le 04-05-2012 à 10:56:54 (S | E)
Alors je propose:

je sais que ABCD est un parallélogramme.
Un parallélogramme a deux diagonales qui se coupent en leur milieu et qui sont perpendiculaires.
[AC] et[BD] sont les diagonales de ABCD et se coupent en O.
Soit les triangles ADB et DBC, DM et BP sont les médianes des deux triangles respectifs.
Si une droite passe par un sommet et par le milieu du côté opposé à ce sommet, c'est une médiane. et là je bloque!
M étant le milieu de AB et P le milieu de DP et que AB = DP, alors MB=DP
Donc M est le symétrique de P par rapport à O et B est le symétrique de D par rapport à D, donc MD est symétrique à BP.
Si deux droites sont symétriques par rapport à un point, alors elles sont //.
Donc MD//BP par rapport au centre O des diagonales AC et DB du parallélogramme ABCD.

Je vous remercie pour votre aide.

Réponse: DM sur un parallélogramme de dora33, postée le 04-05-2012 à 15:38:35 (S | E)
J'ai refait ma démonstration. Est-ce plus juste?

1/ ABCD étant un parallélogramme, on sait que ses diagonales ont le même milieu O, le milieu des diagonales est le centre de symétrie du parallélogramme.
O est le milieu de [DB], donc B et D sont symétriques par rapport à O.
O esl le milieu de [AC], donc A et C sont symétriques par rapport à O.
M est le milieu de [AB], et P le milieu de [DC], donc M est le symétrique de P par rapport à O.
Dans la symétrie ce centre O, MD et BP sont symétriques et si deux droites sont symétriques par rapport à un point alors elles sont parallèles.
Donc MD//BP

2/ ABCD est un parallélogramme de milieu O. M est le milieu de [AB] et P est le milieu de [DC].
O est le milieu commun de la diagonale [AC] et de la médiane [BD] dans les triangle ABL ou KDC.
M est le milieu de AB, donc dans le triangle AB, le point K est le milieu de [AL].
P est le milieu de [DC], donc dans le triangle CDK, le point L est le milieu de [KC] et [KL] = [LC]
K et L partagent [AC] EN TROIS SEGEMENTS 2GAUX;
donc AK/AL= 1/2 et non 1/3.

Est-ce plus correct? Je vous remercie pour votre réponse.

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Modifié par dora33 le 04-05-2012 16:42

Réponse: DM sur un parallélogramme de toufa57, postée le 05-05-2012 à 00:54:53 (S | E)
Bonjour,
dora, il est évident que le rapport AK/AL = 1/2. Prouvons-le de 2 façons:

1- Considérons le triangle ABL
A,M,B et A,K,L sont alignés dans le même ordre; KM et LB sont //; On est donc dans une configuration de Thalès qui nous permet d'écrire que AM/AB = AK/AL = KM/BL = 1/2 puisque AM = MB et KM = 1/2 BL.

2- Considérons maintenant la diagonale AC. On a:
AK = 1/3 AC
AL = 2/3 AC
AK/AL = (1/3 AC)/(2/3 AC) = 1/3 AC * 3/2 AC = 1/2

Remarque: On ne peut pas travailler dans le triangle ABC puisqu'on n'a pas la configuration de Thalès qui exige 2 // et 2 sécantes

Tout compte fait, il n'y a aucun doute quant au rapport AK/AL = 1/2

Réponse: DM sur un parallélogramme de dora33, postée le 05-05-2012 à 08:42:35 (S | E)
Je vous remercie pour votre explication par rapport à la question 6 pour prouver que AK/AL= 1/2. Pour le prouver je dois choisir une des deux démonstations ou mettre les deux: par rapport au triangle ABL et par rapport à la diagonale AC.

Est-ce que vous êtes d'accord avec moi par rapport à la démonstration que j'ai proposée pour démontrer que MD//BP.

Je vous remercie encore beaucoup pour votre aide.

Réponse: DM sur un parallélogramme de toufa57, postée le 05-05-2012 à 14:47:41 (S | E)
Bonjour,

Ton problème est simple, tu as versé beaucoup d'encre comme on dit et tu compliques les démonstrations au point d'en douter...Je ne vois pas pourquoi tu passes par O, les diagonales, etc....alors qu'en 3-4 lignes, ton problème est résolu.

ABCD est un parallèlogramme, donc AB = DC.
M et P sont les milieux respectifs de AB et DC, donc AM = MB; DP = PC, ce qui revient à dire que MB = DP.
On conclut que MD//BP ( même écart).

Pour le rapport AK/AL, l'une ou l'autre est valable. Prends la 1ère où tu pourras parler non seulement de Thalès mais aussi du théorème des milieux. En effet, si MK//BL et que M est milieu de AB, alors K est milieu de AL. Ce qui prouve encore une fois que AK/AL = 1/2.

Bonne journée.

Réponse: DM sur un parallélogramme de dora33, postée le 05-05-2012 à 21:15:47 (S | E)
Je vous remercie pour votre aide. J'essaierai de faire moins compliqué la prochaine fois. Merci encore beaucoup! Je vous souhaite une très beau week-end. A bientôt.

Réponse: DM sur un parallélogramme de toufa57, postée le 06-05-2012 à 05:10:38 (S | E)
Avec plaisir !

Réponse: DM sur un parallélogramme de logon, postée le 06-05-2012 à 15:45:00 (S | E)
Bonjour Dora, bonjour Toufa,

il est assez rare qu'on demande de prouver une équation qui s'avère fausse.

Le 1/3 évoque pourtant des médianes qui se coupent au tiers de leur longueur.....

Mais ok, si la reproduction de l'énoncé est juste, alors vous avez raison.
Si vous avez la correction, donnez la nous, merci.

Réponse: DM sur un parallélogramme de toufa57, postée le 06-05-2012 à 17:13:37 (S | E)
Bonjour logon,

Oui, effectivement, les médianes se coupent au 1/3 de leur longueur, mais ici il s'agit de rapport !!
Si on travaille dans les triangles ABD et BDC, les points L et K sont respectivement à l'extérieur de ces triangles et ne peuvent en aucun cas être pris en considération dans le rapport recherché.
En outre, en supposant que AK/AL = 1/3, cela veut dire que AK = 1/3 AL, ce qui est faux !

Il est probable qu'on ait eu à demamder de prouver le rapport AK/AC = 1/3, auquel cas il y a eu donc erreur dans l'énoncé.

On attendra la correction du professeur ....

Bonne journée.

Réponse: DM sur un parallélogramme de logon, postée le 06-05-2012 à 17:53:35 (S | E)

D'accord avec vous, Toufa.

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