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Les deux disques
Message de caromline67 posté le 18-02-2012 à 12:22:02 (S | E | F)
Bonjour à tous !
Voici un DM que je dois rendre lundi, mais je n'y comprends rien du tout !
Merci d'anvance de m'aider !
Deux disques D et D', de rayon R=10 et R'=5, tournent dans le même sens autour de leur centre respectif O et O'. M et M' sont deux points de la circonférence de ces disques. A l'instant t=0, M et M' sont respectivement en A et A'. On admet qu'à chaque instant les points M et M' ont parcouru des distances identiques. (Il y a une figure avec une barre où O, O', A et A' se trouvent sur cette barre, A se trouvant à droite du cercle D et A' se trouvant à droite du cercle D')
Le but de ce problème est de voir si M et M' peuvent se retrouver à nouveau dans la même position à un autre moment.
Partie A
1. Soit x et x' le nombre de tours effectués respectivement par le disque D et D' à un instant donné t.
a) Montrer qu'à un instant t la distance parcourue par le point A est égale à 2xRπ.
b) Montrer que 2πxR=2πx'R'.
c) Que représentent les nombres 2πxR et 2πx'R' pour les angles (OA;OM) et (OA';OM') ?
2. Supposons qu'à l'instant t le point M se trouve en A et le point M' en A'.
a) Montrer qu'il existe alors deux entiers naturels k et k' tels que 2πxR=2kRπ et 2πx'R'=2k'R'π.
b) En déduire qu'il existe alors deux entiers naturels k et k' tels que kR=k'R'.
3. Réciproquement, supposons qu'il existe deux entiers naturels k et k' tels que kR=k'R'. Démontrer qu'il existera un instant t différent de 0 où les points M et M' de ces deux disques se trouverons en même temps respectivement en A et A'.
Partie B
Dans chacun des cas suivants, indiquer après combien de tours les points M et M' se trouverons en A et A' pour la première fois.
a) R=10 et R'=5
b) R=12 et R'=18
c) R=1 et R'= racine de 2
Partie C
Considérons la situations où R=12 et R'=18. Mais cette fois-ci à l'instant 0, le disque de rayon R a un quart de tour d'avance sur le disque de rayon R'. Est-il possible que les points M et M' se trouvent respectivement en A et A' un peu plus tard ?
Message de caromline67 posté le 18-02-2012 à 12:22:02 (S | E | F)
Bonjour à tous !
Voici un DM que je dois rendre lundi, mais je n'y comprends rien du tout !
Merci d'anvance de m'aider !
Deux disques D et D', de rayon R=10 et R'=5, tournent dans le même sens autour de leur centre respectif O et O'. M et M' sont deux points de la circonférence de ces disques. A l'instant t=0, M et M' sont respectivement en A et A'. On admet qu'à chaque instant les points M et M' ont parcouru des distances identiques. (Il y a une figure avec une barre où O, O', A et A' se trouvent sur cette barre, A se trouvant à droite du cercle D et A' se trouvant à droite du cercle D')
Le but de ce problème est de voir si M et M' peuvent se retrouver à nouveau dans la même position à un autre moment.
Partie A
1. Soit x et x' le nombre de tours effectués respectivement par le disque D et D' à un instant donné t.
a) Montrer qu'à un instant t la distance parcourue par le point A est égale à 2xRπ.
b) Montrer que 2πxR=2πx'R'.
c) Que représentent les nombres 2πxR et 2πx'R' pour les angles (OA;OM) et (OA';OM') ?
2. Supposons qu'à l'instant t le point M se trouve en A et le point M' en A'.
a) Montrer qu'il existe alors deux entiers naturels k et k' tels que 2πxR=2kRπ et 2πx'R'=2k'R'π.
b) En déduire qu'il existe alors deux entiers naturels k et k' tels que kR=k'R'.
3. Réciproquement, supposons qu'il existe deux entiers naturels k et k' tels que kR=k'R'. Démontrer qu'il existera un instant t différent de 0 où les points M et M' de ces deux disques se trouverons en même temps respectivement en A et A'.
Partie B
Dans chacun des cas suivants, indiquer après combien de tours les points M et M' se trouverons en A et A' pour la première fois.
a) R=10 et R'=5
b) R=12 et R'=18
c) R=1 et R'= racine de 2
Partie C
Considérons la situations où R=12 et R'=18. Mais cette fois-ci à l'instant 0, le disque de rayon R a un quart de tour d'avance sur le disque de rayon R'. Est-il possible que les points M et M' se trouvent respectivement en A et A' un peu plus tard ?
Réponse: Les deux disques de michel74490, postée le 18-02-2012 à 13:02:09 (S | E)
Bonjour Caromline67,
Peux-tu vérifier la validité de l'énoncé ?
En effet à mon avis :
- A et A' seraient deux points fixes situés sur la droite O O' ;
- M et M' seraient positionnés sur les disques, et décriraient chacun un cercle, c'est-à-dire le lieu géométrique respectivement pour M et M'.
En d'autres termes, A et A' sont fixes sur O O' ; M et M' décrivent chacun un cercle à la même vitesse angulaire, revenant au droit de A et A' au même instant dès lors que les disques tournent à la même vitesse, par exemple n désignant le nombre de tour par unité de temps.
Merci de me conforter en ce sens.
Michel74490
Réponse: Les deux disques de caromline67, postée le 18-02-2012 à 13:22:01 (S | E)
Vous trouverez la figure sur le lien suivant :
Lien internet
Donc considérez tout l'énocé que j'ai donné sauf la parentèse.
Réponse: Les deux disques de logon, postée le 18-02-2012 à 14:56:42 (S | E)
Réponse: Les deux disques de michel74490, postée le 18-02-2012 à 15:15:11 (S | E)
Re-bonjour caromline67,
Je t'avais rédigé un deuxième message qui n'a pas été, a priori, expédié !
La figure que tu nous fais parvenir est tout à fait exacte...
Tu dois, à mon avis, réfléchir en partant de la formule de la circonférence d'un cercle.
Les points M et M' parcourent chacune des deux circonférences à chaque tour de disque !
Par ailleurs, tu constates que les rayons sont dans un rapport...
Je reste connecté si je ne me fais pas bien comprendre !
Bon courage.
michel74490
Réponse: Les deux disques de vieupf, postée le 18-02-2012 à 17:40:57 (S | E)
Bonsoir caromline,
Le problème à résoudre ressemble à la transmission que l'on trouve sur un vélo:
le pignon "pédalier" et le pignon "roue" reliés par une chaîne qui impose que les distances parcourues par M et M' soient identiques et les diamètres figurant des nombres de dents.
Pour le reste il suffit de suivre les questions, les réponses sont dans les questions.
Pense aussi à ordonner tes données pour voir apparaître les grandeurs physiques.
Exemple : 2πRx à la place de 2xRπ.
Bonne réflexion.
Réponse: Les deux disques de caromline67, postée le 19-02-2012 à 11:46:15 (S | E)
Ok, merci de votr aide, j'ai su répondre à tout sauf à la question 3) !
Pouriez-vous m'aider en détail pour la question 3) ?
Merci d'avance.
Réponse: Les deux disques de caromline67, postée le 19-02-2012 à 19:57:36 (S | E)
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