Suites numï¿½rique 1ï¿½S

Suites numérique 1°S

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Suites numérique 1°S
Message de pikachu13 posté le 23-01-2012 à 17:59:06 (S | E | F)
Bonjour à tous !
Voilà j'ai un DM à faire sur les suites et je n'y arrive pas trop. Pourriez vous m'aider SVP ? merci beaucoup :
On dispose de trois tiges verticales et d'une tour constituée de pièces percées en leur centre, de taille de plus en plus petite, placée sur l'une des tiges. Le jeu consiste à reconstituer la tour sur une autre tige, en ne déplaçant qu'une seule pièce à la fois, sans jamais mettre une pièce plus grosse sur une pièce plus petite.
Pour tout entier n $\geq$ 1, on note u $_{n}$ le nombre minimal de déplacements nécessaires pour transporter une tour comportant n " étages " d'une tige à l'autre.

1) En utilisant des arguments " physiques ", donner :
- Le sens de variation de la suite u;
- La limite de la suite u.

2) Déterminer u1, u2 et u3.

3) En remarquant que, pour pouvoir déplacer la pièce la plus grosse, il est nécessaire d'avoir reconstitué une tour avec les autres pièces sur une des tiges, montrer que pour tout entier n, u $_{n+1}$ = 2 $_{un}$ +1.
4) Déterminer le nombre minimal de déplacements nécessaires pour une tour de huit étages.

Ou j'en suis :

Pour la question 1) le sens de variation de la suite u est décroissant puisqu'à chaque fois on ne peut mettre une pièce plus grosse sur une pièce plus petite, donc ca devient de plus en plus petit = décroit.
La limite de la suite u, je n'arrive pas à l'exprimer car je sais que il y a une limite puisqu'il arrive un moment ou il ne peut y avoir de pièce plus petite que la dernière mais je sais pas comment le dire.

Question 2) j'ai trouvé u1=1 u2=3, u3=7 et u4=15

Question 3)
$u_n = 2u_{n-1}+1$ , soit $u_{n+1}=2u_n+1$

Pour la question 4 je n'ai pas trouvé !!!

Merci de me confirmer ou non mes réponses et de bien vouloir m'aider. Je voudrais vraiment avoir une bonne note à ce DM pour me remonter la moyenne, ayant raté mon contrôle !

Réponse: Suites numérique 1°S de steve1, postée le 23-01-2012 à 23:49:39 (S | E)
Bonsoir pikachu13.
Tu trouves U0=1 ; U1=3 ; U2= 7 ; U3= 15 et tu dis que la suite (Un) est décroissante?! Il y a comme un petit problème, non?
Ensuite, pour t'aider , ce jeu s'appelle les tours de Hanoï.
Tu devrais comprendre pourquoi U0=1 ; U1=3 etc. A moins que tu aies déjà compris mais j'en doute au vu de ta réponse à la question1.
Pour la limite,tu fais tendre n vers l'infini ( autrement dit le nombre d'étages). Aide: La suite est-elle majorée?
Pour trouver U8...Peux-tu connaître U4 ? U5?...
Bon courage

Réponse: Suites numérique 1°S de wab51, postée le 26-01-2012 à 14:48:55 (S | E)
Bonjour .
Les orientations de Steve sont vraiment très importantes et très utiles .
Pour les questions 3) et 4) ,voilà un petit soutien qui vous permettra de vous aider :
3)Démontrer que pour tout n naturel non nul:U1=1 pour n=1 et U(n)=2.U(n-1)+1 pour n>1?
*Il est facile de prendre « le raisonnement par récurrence »pour la démonstration .et qui consiste à démontrer les points suivants :
*La suite est satisfaite (donc vraie) par l'entier n=1 ;
*Supposée satisfaite(vraie) pour le nombre entier naturel n, alors elle est satisfaite
(vraie)pour le nombre entier n+1.Une fois cela établi,
*on en conclut que cette propriété est vraie pour tous les entiers naturels n .

4) Déterminer le nombre minimal de déplacements nécessaires pour une tour de huit étages ?
*les termes de la suite U peuvent se calculer aussi à partir de la forme du terme générale U(n)
qui est de la forme: U(n)= 2(n)-1 ( lire différence de 2 à la puissance n et le nombre 1)
-Calculer tous les termes de la suite U jusqu'au terme de rang 8?
*D’où le nombre minimal de déplacements ( ou de coups) nécessaires pour une tour de huit étages?
BON COURAGE.

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