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Aires et triangle
Message de djedie posté le 11-12-2011 à 17:00:12 (S | E | F)
Bonjour à tous
Comment peut-on calculer l'aire x en n'ayant comme données que les aires a, b et c.
On ne connait pas les points où les droites qui passent par les sommets coupent le coté opposé.
Message de djedie posté le 11-12-2011 à 17:00:12 (S | E | F)
Bonjour à tous
Comment peut-on calculer l'aire x en n'ayant comme données que les aires a, b et c.
On ne connait pas les points où les droites qui passent par les sommets coupent le coté opposé.
Réponse: Aires et triangle de milarepa, postée le 11-12-2011 à 18:23:12 (S | E)
Bonsoir djedie,
N'y aurait-il pas un angle droit entre a et x, et un autre entre x et b ?
Bonne soirée.
Réponse: Aires et triangle de djedie, postée le 11-12-2011 à 18:46:33 (S | E)
Bonsoir milarepa
Non, pas d'angle droit.
Réponse: Aires et triangle de hercule72, postée le 13-12-2011 à 09:27:29 (S | E)
Bonjour à tous,
Mmhhh... Je suis du même avis que milarepa concernant les angles droits.
Il semble que les segments separant les aires (a+x) de (b+c) et (a+c) de (x+b) soient 2 hauteurs du triangle... (visuellement bien sûr)
Réponse: Aires et triangle de djedie, postée le 13-12-2011 à 15:46:51 (S | E)
visuellement peut-être, mais la figure est faite au hasard.
Les seules données qui doivent permettre de définir x, sont les aires a, b et c, le fait que les droites passent pas 2 des sommets, et bien sûr les contrainte liées aux triangles
Réponse: Aires et triangle de wab51, postée le 14-12-2011 à 14:36:53 (S | E)
Bonjour .Bravo !Le problème m'a vraiment tiré les cheveux de la tête et malgré ça je continuerai à chercher la solution .!!!
Réponse: Aires et triangle de jawhara, postée le 14-12-2011 à 17:48:27 (S | E)
ah ce probleme
t'es ur que tu nous a donnés toutes les données attention meme un petit terme qui semble inutile peut nous aider à resoudre ce problemeRéponse: Aires et triangle de milarepa, postée le 14-12-2011 à 17:58:09 (S | E)
Bonjour à tous,
Personnellement, je pense que "tomber" sur un angle droit "par hasard" est possible, mais obtenir deux angles droits (entre a et x, et x et b) toujours "par hasard" est autrement plus improbable.
L'intérêt de considérer l'existence de deux angles droits est que l'on peut écrire des systèmes d'équations (en donnant des noms m, n, o, p, q, etc., aux différents côtés) :- avec le théorème de Pythagore,
- avec le calcul des aires des triangles contenus dans la figure donnée, puisqu'on a alors les hauteurs de ces triangles.
Sans angles droits, il me semble que le problème est insoluble, mais je ne saurai le démontrer.
Aussi je vous serai vraiment reconnaissant, djedie, de nous exposer la solution, quand vous l'aurez... Par avance merci.Bonne soirée.
Réponse: Aires et triangle de jawhara, postée le 14-12-2011 à 18:06:13 (S | E)
oui je suis d'accord avec milapera sans angle droit on peut rien faire moi j'ai essayé de tracer des hauteurs dans l'aire "x" et trouver un systeme d'equation meme un peu compliqué ! mais à la fin j'ai decouvert que j'aurais besoins des hauteurs des triangles a b et c
Réponse: Aires et triangle de djedie, postée le 14-12-2011 à 18:32:24 (S | E)
Ce petit exercice vient d'un site d'énigme, et j'en ai changer la forme pour éviter toute recherche par correspondance d'images ou de données... Sur le forum de ce site il semblerait qu'il n'y ait pas de triangle rectangle à prendre en compte, même si sur leur dessin un doute subsiste aussi. Les aires réelles données sur le site sont 2009, 2010 et 2011, on sait aussi que la réponse est un nombre entier...
Quand je vois ces données et les propriétés d'un triangle, je me dis qu'il y a sûrement une et une seule réponse possible... Avec 3 aires définies, la 4ème doit sûrement être toujours la même quelque soit la forme du triangle... Mais je ne vois pas trop comment le calculer... La donnée supplémentaire qu'il faudrait utiliser, je suppose, est que la somme des angles est de 180°... Mais je sors de mes compétences mathématiques, je ne vois pas comment assembler tout ça...
Je vais essayer d'en savoir un peu plus sur le forum...
En tous cas, je vous remercie d'essayer de comprendre ce problème avec moi
Réponse: Aires et triangle de hercule72, postée le 14-12-2011 à 23:06:29 (S | E)
Bonsoir à tous,
J'avoue que là... je me casse les dents.
Mais est-ce que je ne tente pas d'utiliser une règle ou un theoreme en vain? Alors que la solution est peut-être juste une deduction logique... Si tel est le cas, je ne vois pas.
Bon. Toujours est-il que sans angle droit, ni parallele, ça nous enleve la possibilité d'utiliser des notions telles que thales ou pythagore. Et moi aussi, là je suis un peu perdu. Même si je devine que le resultat doit aboutir à un rapport de proportionalité entre les aires a, b, c, et x.
Après avoir abandonné tout espoir d'utiliser un des théorèmes sus-cités, j'ai cherché et trouvé quelques théorèmes qui peuvent s'approcher de notre problème.
J'ai écarté le théoreme du papillon qui concerne un rapport d'aire dans le trapèze,ou le parallelogramme puisque pas de parallele.
Mais trois autres semblent interessantes que je vous soumet:
-théoreme de Céva.
-théorème de Menelaüs.
-théorème de Gergonne.
Mais bon... Je complique peut-être pour rien.
Je n'abandonne pas.
Bon courage à tous. Et merci à djedie pour ce probleme.
Réponse: Aires et triangle de milarepa, postée le 15-12-2011 à 10:33:07 (S | E)
Bonjour,
Merci pour vos passionnantes contributions.
Pour ma part, je trouve qu'une piste efficiente - mais dans laquelle je ne vais pas me lancer - pourrait être de démontrer que, compte tenu des données du problème (tel qu'il est posé !), on ne peut pas trouver de solution x = f(a, b, c).
À titre d'exemple, ce lien me paraît instructif : Lien internet
Bonne fin de semaine.
Réponse: Aires et triangle de wab51, postée le 17-12-2011 à 13:20:59 (S | E)
Bonjour .Je rejoins Milarepa .On ne peut trouver une solution x =f(a,b,c) avec les données limitées de cet énoncé .Êtes vous certaine d'avoir vous même une solution au problème?
Je pense qu'il vous manque encore une donnée? wab
Réponse: Aires et triangle de djedie, postée le 17-12-2011 à 13:35:33 (S | E)
je pense avoir trouvé comment faire, mais je dois mal faire mon calcul, car je ne trouve pas la réponse pour le moment...
La propriété des triangles, utile ici, est que si 2 triangles on la même hauteur, le rapport de leur base est égal au rapport de leur aire
Réponse: Aires et triangle de djedie, postée le 17-12-2011 à 15:34:03 (S | E)
J'ai trouvé !!!
Si vous le voulez, je vous donnerais mon raisonnement... Mais je vous laisse un peu réféchir...
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Modifié par djedie le 17-12-2011 15:35
Réponse: Aires et triangle de wab51, postée le 17-12-2011 à 16:28:20 (S | E)
C'est ce qui a été fait c.a.d.en exploitant cette propriété de proportionnalité entre surfaces et longueurs des bases .O.K. Mais seulement vous retombez sur d'autres inconnues qui sont encore les longueurs des deux droites au sommet (et qui ne sont données) .De toute façon ,ne donnez encre aucun indice, seulement sachez que votre solution ne doit être x = f(a,b,c)sans aucune autre
grandeur .
Réponse: Aires et triangle de hercule72, postée le 17-12-2011 à 16:48:16 (S | E)
Bonjour à tous,
Oui effectivement. Je me retrouve moi aussi avec de nouvelles inconnues en partant de cette notion:
Le rapport entre les aires de 2 triangles ayant le même sommet et leurs bases sur une meme droite est egal au rapport entre ces 2 bases. Ce qui nous laisse avec de nouvelles inconnues.
En poussant plus loin on tarrive au theoreme du chevron mais là encore, de nouvelles inconnues.
Cherchons encore.
Merci djedie d"attendre un peu avant de nous delivrer...
Réponse: Aires et triangle de wab51, postée le 17-12-2011 à 19:23:35 (S | E)
bonsoir à tous :L'essentiel est que j'ai effectué tout un travail de labeur et je ne serais porté toutes les étapes de raisonnement ( c'est long;beaucoup de gymnastiques...)et je crois aboutir enfin de compte au résultat suivant (reste à vérifier ce résultat par d'autres ):
X = (a2 + a.c2 + 2.a.b.c ) / (b2 + b.c – 2.a.c )
a2= carré de a ; b2= carré de b et / = le rapport
Bonne chance les amis (es) .(et dire que ça chauffe la tête )
Réponse: Aires et triangle de milarepa, postée le 17-12-2011 à 19:44:53 (S | E)
Bonjour tout le monde,
Désolé, wab51, mais on peut dire tout de suite que votre formule n'est pas juste.
Il suffit pour cela d'étudier l'"équation aux dimensions" pour le voir.
Cela signifie que votre rapport doit avoir la dimension d'une surface. Or, d'ores et déjà, au numérateur, vous avez un défaut de cohérence puisque a2 est une aire au carré alors que ac2 et 2abc ont la dimension d'une aire au cube...
Bon courage et à bientôt.
Réponse: Aires et triangle de wab51, postée le 17-12-2011 à 19:55:43 (S | E)
OUI VOUS AVEZ ENTIÈREMENT RAISON .QUELLE HORREUR!JE M'EN EXCUSE .
Réponse: Aires et triangle de wab51, postée le 17-12-2011 à 21:10:51 (S | E)
Voilà ma solution définitive ( qui reste à confirmer)
X = a.c .( a+ 2.b + c )/ b2 - a.c dont le rapport a.c / (b2 - a.c )exprime un nombre positif avec la condition b2 > a.c .
et ( a+ 2.b + c ) est une unité de surface .Bon courage
Réponse: Aires et triangle de milarepa, postée le 17-12-2011 à 21:35:53 (S | E)
Pardonnez-moi, mais dans le cas particulier de la figure, on voit que b2 n'est pas supérieur à ac.
Or, il me semble qu'une formule x = f(a,b,c) doit être valable dans tous les cas de figure...
Réponse: Aires et triangle de hercule72, postée le 18-12-2011 à 01:30:30 (S | E)
Bonsoir,
Bon, en travaillant un peu sur les rapports, j'ai trouvé une relation qui se verifie, mais pas sur le quadrilatere.
Ça concerne un triangle X" ayant 2 de ses cotés communs avec les triangles a et b.
Je trouve aire X" =ab/c.
Il reste le 2° triangle. celui qui ajouté au 1° forme le quadrilatere...
On verra demain...
Réponse: Aires et triangle de logon, postée le 18-12-2011 à 21:59:45 (S | E)
Je commence par souhaiter un bon soir à tous! Les deux droites intérieures sont les supports des bases de triangles que l'on peut associer deux a deux et qui ont même hauteur. Je ne suis pas allé au bout, mais on doit trouver que Puis on change de base et on doit trouver mais ensuite il faut résoudre x1+x2 = x et x1 et x2. Comme je ne suis pas sûr de mon début j'attends la solution.
en comparant les triangles en vert.
en comparant les triangles jaunes et orange.
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Modifié par logon le 18-12-2011 21:51
Correction: x2/(x1+a)=b/c et x1/(x2+b)=a/c
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Modifié par logon le 18-12-2011 22:01
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Modifié par logon le 18-12-2011 22:03
Réponse: Aires et triangle de mucha, postée le 19-12-2011 à 22:55:53 (S | E)
Bonsoir, nouveaux amis (je viens, par hasard, de tomber sur votre site)
Très intéressant, le problème posé par "djedie" ! et merci à "logon" pour sa perspicacité !
En effet, en résolvant le système en x1 et x2, on doit trouver quelque chose comme
x = (abc + b) / (
- ab), sauf erreur...
Bravo et vivement la VRAIE BONNE solution !
Réponse: Aires et triangle de mucha, postée le 19-12-2011 à 23:44:40 (S | E)
Pardon...
Y a qq chose qui cloche, la solution devrait être symétrique en a et b...
J'attends impatiemment la bonne réponse (je n'y retourne pas immédiatement) !
Bonne nuit
Réponse: Aires et triangle de logon, postée le 20-12-2011 à 09:56:26 (S | E)
Bonsoir à tous,
un calcul fastidieux mène à:
x= (ab(a+b+2c))/(c2 -ab)
Désolé mais j,aurais préféré écrire la réponse en Latex mais pour l'instant je fais encore trop d'erreurs de frappe.
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Modifié par logon le 20-12-2011 10:24
Réponse: Aires et triangle de hercule72, postée le 20-12-2011 à 13:37:33 (S | E)
Bonjour a tous,
Oui c'est egalement le resultat auquel je suis arrivé, mais...
La relation entre les 3 aires ne saute pas aux yeux en lisant ce resultat.
Le calcul arrivant à ce resultat est moins dur que le cheminement y conduisant.
Ce serait interessant d'avoir une section où on pourrai poser ce genre de probleme (qui sort des recherches posées sur le forum suite à un travail demandé).
Avec pourquoi pas... la reponse seulement aprés quelques jours, et juste des indications servant à aiguiller.
Réponse: Aires et triangle de djedie, postée le 20-12-2011 à 14:01:04 (S | E)
Oui, c'est la bonne méthode... Enfin celle qui m'a permis de trouver !
Mais je pense que vos développements sont erronés
Voici la figure à laquelle j'ai aboutit pour résoudre le problème
Je vous propose, pour pouvoir vérifier les résultats de donner aux aires des valeurs simples :
a = 3
b = 2
c = 6
Réponse: Aires et triangle de hercule72, postée le 20-12-2011 à 14:09:29 (S | E)
Bonjour a tous,
Oui c'est egalement le resultat auquel je suis arrivé, mais...
La relation entre les 3 aires ne saute pas aux yeux en lisant ce resultat.
Le calcul arrivant à ce resultat est moins dur que le cheminement y conduisant.
Ce serait interessant d'avoir une section où on pourrai poser ce genre de probleme (qui sort des recherches posées sur le forum suite à un travail demandé).
Avec pourquoi pas... la reponse seulement aprés quelques jours, et juste des indications servant à aiguiller.
Réponse: Aires et triangle de hercule72, postée le 20-12-2011 à 14:13:45 (S | E)
J'ai essayé par cette methode (citée plus haut).
J'arrivais à y=ab/c.
Mais pour z... pas trouvé.
J'ai donc changé.
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