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Triangle et droite d'euler
Message de mathjulie posté le 31-10-2011 à 12:03:35 (S | E | F)
Bonjour, j'ai un exercice à faire, mais je bloque pour certaines questions, pourriez vous m'aider, voici l'énoncé:
1)Montrer que le barycenrte G de (A,p) (B,q) (C,r) (p+q+r non nul) est le barycentre des points (A,p) et (I, q+r) où I est le barycentre des points (B,q) (C,r) (q+r non nul).
2) Centre de gravité de ABC:
déterminer le barycentre de (B,1) et (C,1), en déduire que le barycentre g de (A,1) (B,1) (C,1) appartient aux trois médianes et est le centre de gravité du triangle ABC
3)Orthocentre de ABC
établir que le barycentre de (B, tan(B)) , (C,tan(C)) est le pied de la hauteur issue de A, en déduire que le barycenrte H de (A,tan(A)), (B,tan(B)), (C,tan(C)) appartient aux trois hauteurs de ABC et est l'orthocentre de ABC
4)Centre du cercle circonscrit de ABC
soit A', B', C' les milieux des côtés BC, CA, AB, de ABC
montrer que les médiatrices de ABC sont concourantes en un même points K qui est le centre du cercle circonscrit à ABC, que K est l'orthocenrte de A', B', C', puis en déduire que K est le barycentre de A, B, C avec des coefficients à préciser
5)Droite d'Euler
en déduire que G, l'orthocentre H et K du triangle ABC sont alignés
voici mes réponses:
1)j'utilise le théorème d'associativité
2) si X est l'isobarycentre des points B, C alors X est le milieu de [BC]
si G=Bar{ (A,1), (B',2) } B' isobarycentre des points B et C
alors pour tout point M 'on le place en A) AG=2/3AB'
donc G appartient à AB' médiane
je refais la même chose pour les points B et C
donc G appartient au trois médianes, donc elles sotn concourantes
donc G est le centre de gravité
est-ce que je réponds bien à la question?
3) soit le points A' appartient à (BC)
la hauteur issue de A: AA'=AC*tan(C)=AB*tan(B)
est ce que je peux dire tout de suite qu'on a alors: A'=Bar{ (C,tan(C)) , (B,tan(B)) }
donc A' est le peid de la hauteur issue de A
je pose H =Bar{(A,tan(A)),(B,tan(B)),(Ct an(C))}
donc H=Bar{(A,tan(A)),(A',tan(B)+ta n(C))}
donc H appartient à la hauteur (AA')
je refais la même chose pour les hauteurs issues des sommets B et C
donc H appartient aux trois hauteurs, donc ces trois hauteurs sont concourantes en H
donc h est l'orthocentre du triangle ABC
4)voilà, je bloque pour cette question, je réfléchis sur la suivante
Merci d'avance
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Modifié par bridg le 31-10-2011 12:49
Message de mathjulie posté le 31-10-2011 à 12:03:35 (S | E | F)
Bonjour, j'ai un exercice à faire, mais je bloque pour certaines questions, pourriez vous m'aider, voici l'énoncé:
1)Montrer que le barycenrte G de (A,p) (B,q) (C,r) (p+q+r non nul) est le barycentre des points (A,p) et (I, q+r) où I est le barycentre des points (B,q) (C,r) (q+r non nul).
2) Centre de gravité de ABC:
déterminer le barycentre de (B,1) et (C,1), en déduire que le barycentre g de (A,1) (B,1) (C,1) appartient aux trois médianes et est le centre de gravité du triangle ABC
3)Orthocentre de ABC
établir que le barycentre de (B, tan(B)) , (C,tan(C)) est le pied de la hauteur issue de A, en déduire que le barycenrte H de (A,tan(A)), (B,tan(B)), (C,tan(C)) appartient aux trois hauteurs de ABC et est l'orthocentre de ABC
4)Centre du cercle circonscrit de ABC
soit A', B', C' les milieux des côtés BC, CA, AB, de ABC
montrer que les médiatrices de ABC sont concourantes en un même points K qui est le centre du cercle circonscrit à ABC, que K est l'orthocenrte de A', B', C', puis en déduire que K est le barycentre de A, B, C avec des coefficients à préciser
5)Droite d'Euler
en déduire que G, l'orthocentre H et K du triangle ABC sont alignés
voici mes réponses:
1)j'utilise le théorème d'associativité
2) si X est l'isobarycentre des points B, C alors X est le milieu de [BC]
si G=Bar{ (A,1), (B',2) } B' isobarycentre des points B et C
alors pour tout point M 'on le place en A) AG=2/3AB'
donc G appartient à AB' médiane
je refais la même chose pour les points B et C
donc G appartient au trois médianes, donc elles sotn concourantes
donc G est le centre de gravité
est-ce que je réponds bien à la question?
3) soit le points A' appartient à (BC)
la hauteur issue de A: AA'=AC*tan(C)=AB*tan(B)
est ce que je peux dire tout de suite qu'on a alors: A'=Bar{ (C,tan(C)) , (B,tan(B)) }
donc A' est le peid de la hauteur issue de A
je pose H =Bar{(A,tan(A)),(B,tan(B)),(Ct an(C))}
donc H=Bar{(A,tan(A)),(A',tan(B)+ta n(C))}
donc H appartient à la hauteur (AA')
je refais la même chose pour les hauteurs issues des sommets B et C
donc H appartient aux trois hauteurs, donc ces trois hauteurs sont concourantes en H
donc h est l'orthocentre du triangle ABC
4)voilà, je bloque pour cette question, je réfléchis sur la suivante
Merci d'avance
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