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Calcul de somme
Message de kemgang posté le 31-05-2011 à 17:15:07 (S | E | F)
Bonjour à tous;
En fait(e) j'ai un exercice qui me paraît évident mais j'ai juste besoin de me rassurer à propos de mon raisonnement.
Voici l'énoncé :
Pour tout entier naturel n il existe des coefficients a, b et c tel que:
1^2 + 2^2 + 3^2 +......+ n^2 = an^3 + bn^2 + cn.
Voici la question:
Déterminer a, b, et c.puis déterminer la somme pour n=5 et n=7
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Modifié par bridg le 31-05-2011 17:32
Merci de respecter les règles orthographiques, s'il vous plaît.
Message de kemgang posté le 31-05-2011 à 17:15:07 (S | E | F)
Bonjour à tous;
En fait
Voici l'énoncé :
Pour tout entier naturel n il existe des coefficients a, b et c tel que:
1^2 + 2^2 + 3^2 +......+ n^2 = an^3 + bn^2 + cn.
Voici la question:
Déterminer a, b, et c.puis déterminer la somme pour n=5 et n=7
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Modifié par bridg le 31-05-2011 17:32
Merci de respecter les règles orthographiques, s'il vous plaît.
Réponse: Calcul de somme de milarepa, postée le 01-06-2011 à 07:03:40 (S | E)
Bonjour kemgang,
1- Pour déterminer a, b et c : Si l'équation donnée est vraie pour n, alors elle est vraie pour n = 1, n = 2 et n = 3, que l'on écrit et qui donne 3 équations à 3 inconnues a, b et c. Tu trouves combien pour a, b et c ?
2- On opère le calcul pour n = 5 et n = 7 avec le second membre de l'égalité.
Cordialement.
Réponse: Calcul de somme de kemgang, postée le 01-06-2011 à 11:04:41 (S | E)
mais je ne pense pas que ce soit la méthode qu'il voudrait que l'on ressorte moi je dirai plutôt qu'il faut trouver l'expression de la somme et posséder par identification.merci et à plus
Réponse: Calcul de somme de jamel_asl, postée le 01-06-2011 à 12:42:50 (S | E)
Bonjour tout le monde,
Donc pour la 1ère question même si tu trouves l'expression de la somme tu vas revenir sur l'idée de milarepa, donc l'expression est:
si on appelle cette somme S:
S= somme pour p allant de 1 à n de p², et après tu n'as qu'a prendre trois valeurs de p pour avoir 3 équations à 3 inconnues et tu connais la suite ...
et pour la 2ème question ta a, b et c donc tu n' as qu'a remplacer.
Bon courage ;)
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Modifié par bridg le 02-06-2011 14:48
Réponse: Calcul de somme de kemgang, postée le 01-06-2011 à 12:55:46 (S | E)
on on ne revient pas à la même idée car elle se base sur le fait que l'égalité est toujours vraie et là elle attribue des valeurs à n et détermine a, b et c.or moi j'ai déjà fait cette méthode mais le but de l'exercice est de nous apprendre à calculer les sommes.C'est pourquoi il faut d'abord trouver l'expression réel de la somme
Réponse: Calcul de somme de jamel_asl, postée le 01-06-2011 à 13:37:01 (S | E)
et ce que j'ai fait c'est bon c'est ce qu'il te faut non?
Réponse: Calcul de somme de kemgang, postée le 01-06-2011 à 13:46:58 (S | E)
je ne sais pas si on se comprends par exemple la somme suivante:
1+2+3+.....+n à pour expression n(n+1)/2.il faut aussi trouver l'expression de la somme de p allant de 1 à n de p^2.par ailleurs comment as-tu fais pour écrire ton p au carrée sans utiliser le symbole ^.
Réponse: Calcul de somme de learner123, postée le 01-06-2011 à 17:06:41 (S | E)
Bonjour:
Dans ton sujet,l'énoncé était:" Pour tout entier naturel n il existe des coefficients a, b et c tel que:
1^2 + 2^2 + 3^2 +......+ n^2 = an^3 + bn^2 + cn."
je pense que l'enoncé est faux,le temps ou l'on parle de la somme de n premiers carrés des nombres entiers naturels.
1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + ... ... + n^2 = n(n + 1)(2n + 1) / 6.
exp:n=1==>S1=1(1+1)(2.1+1)/6=1 <==> 1^2=1
n=2==>S2=2(2+1)(2.2+1)/6=5 <==> 1^2+2^2=5
n=4==>S4=4(4+1)(2.4+1)/6=30 <==> 1^2+2^2+3^2+4^2=30.
-Alors pour n=5 et n=6 juste tu remplaces dans l'équation et faire le calcul.
Pour démonstration de la formule,prends pour démarrage:
Sn = 1 + 2 + ...... ...+(n-1) + n
Sn = n+(n-1)+. ... ... + 2 +1
d'ou on faisant la somme: 2Sn=(n+1)n fois
d'ou: 2Sn=n(n+1)==> Sn=n(n+1)/2
* Entiers: 1 + 2 + 3 + 4 … ..... +n = 1/2 n (n + 1) = Sn.
* Carrés: 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 +n^2 = 1/6 n(n + 1)(2n + 1).
* Cubes: 1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3... +n^3 = S^2 n (S au carré de n ).
* Puissance 4 :1^4 + 2^4 + 3^4 + 4^4 +… +n^4 = 1/30 n(n+1)(2n+1)(3n²+3n-1).
Bonne chance
Nota:n premiers naturels,je ne parle pas ici des nombres naturels premiers..(1.2.3.5.7...)
mais de la somme de n premiers carrés de nombres naturels.
bonne chance
Réponse: Calcul de somme de kemgang, postée le 02-06-2011 à 14:27:23 (S | E)
learner123 bonjour et merci pour ton idée mais l'exercice n'est pas faux, la preuve si tu parviens à trouver a, b, et c comme milarepa l'a indiqué tu pourras vérifier l'égalité. Par ailleurs la valeur que tu as donnée à la somme : [n(n+1)(2n+1)/6] est vrai mais le but est de démontrer comment
Merci et à plus
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Modifié par bridg le 02-06-2011 14:47
Réponse: Calcul de somme de learner123, postée le 02-06-2011 à 17:14:51 (S | E)
Bonsoir:Kemgang
1)Je voudrais dire que les nombres: a,b,c ne seront pas des nombres naturels.
Une solution est certe pour l'équation et émanant de la formule:1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + ... ... + n^2 = n(n + 1)(2n + 1) / 6..... la solution est
a=1/3 ; b=1/2 ; c=1/6).2)S5 et S7 sont calculables par la formule sus citée.
3)Démonstration de la formule:
Supposons comme suite :"La suite des carrés des n premiers entiers" qui est:1, 4 , 9, 16, 25, ... , n^2 − 2n + 1 , n^2 .on peut encore l'écrire sous la forme 1^2, 2^2, 3^2, 4^2, ... , (n − 1)^2 , n^2.
Dela on peut faire sortir ou définir 3 suites Sn , Sn^2 et Sn^3.
Sn est la somme des n premiers entiers. Sn = 1 + 2 + 3 + 4 + ... ... + n.
Sn2 est la somme des n premiers carrés. Sn^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + ... ... + n^2.
Sn3 est la somme des n premiers cubes. Sn^3 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + ... ... + n^3.
Cherchons une formule pour la somme des n premiers carrés.
Pour cela développons et utilisons le terme ( n + 1 )^3 qui donne :
(n + 1)^3 = (n + 1) (n + 1)^2 = (n + 1) (n^2 + 2n + 1) = n^3 + 3n^2 + 3n + 1
Par appliquation de cette formule à chaque cube de ( n + 1 ) à 1, on obtient les égalités suivantes :
( n + 1 )^3 = n^3 + 3n^2 + 3n + 1
n^3 = ( n − 1 )3 + 3 ( n − 1 )2 + 3( n − 1 ) + 1
( n − 1 )3 = ( n − 2 )3 + 3 ( n − 2 )2 + 3( n − 2 ) + 1
( n − 2 )3 = ( n − 3 )3 + 3 ( n − 3 )2 + 3( n − 3 ) + 1
...
...
( 3 )^3 = ( 2 )3 + 3 ( 2 )2 + 3( 2 ) + 1
( 2 )^3 = ( 1 )3 + 3 ( 1 )2 + 3( 1 ) + 1
( 1 )^3 = ( 0 )3 + 3 ( 0 )2 + 3( 0 ) + 1
En effectuant la somme membre à membre des égalités précédentes, en se refferant aux notations définies précedemment, on aura :
S^3n+1 = Sn^3 + 3Sn^2 + 3Sn + n + 1 (S^3n+1:se lit:S au cube de (n+1).)
Il vient alors :
S^3n+1 − Sn^3 = 3S^2n + 3Sn + n + 1 (S^3n+1:S de n+1 au cube).
On aura alors:S^3n+1 − Sn^3 = 3Sn^2 + 3Sn + n + 1
(n+ 1 )^3 = 3Sn^2 + 3Sn + n + 1
3S^2n = ( n + 1 )3 − 3Sn − n − 1
Or, Sn = 1 + 2 + ... + n = n ( n + 1 ) / 2. D'où :
3S^2n = ( n + 1 )3 − 3[ n( n + 1 ) / 2 ] − n − 1
6S^2n = 2( n^3 + 3n^2 + 3n + 1 ) − 3n( n + 1 ) − 2n − 2
6S^2n = 2n^3 + 6n^2 + 6n + 2 − 3n^2 − 3n − 2n − 2
6S^2n = 2n^3 + 3n^2 + n
6S^2n = n( 2n^2 + 3n + 1 )
6S^2n = n( n + 1 )( 2n + 1 )======> S^2 de (n)=n(n+1)(2n+1)/6La formule de la somme des carrés des n premiers entiers est donc :
1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + ... ... + n^2 = n(n + 1)(2n + 1) / 6
j'espére avoir achever la démonstration,or qu'on peut la résoudre aussi par l'integrale .
Bonne chance
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Modifié par learner123 le 02-06-2011 17:35
Réponse: Calcul de somme de kemgang, postée le 03-06-2011 à 12:23:49 (S | E)
Merci, c'est de la meme manière que j'ai procédé mais je doutais un peu de mon raisonnement. En fait j'ai commencé par :(k+1)³=k³+3k²+3k+1 => Σ(k+1)³=Σ(k³+3k²+3k+1) avec Σ =somme de k allant de 1 à n.
d'où Σ(k+1)³ = Σk³ + 3Σk² + 3Σk + Σ1 => 3Σk² = Σ(k+1)³ - Σk³ - 3Σk - Σ1 or Σ(k+1)³ - Σk³=(n+1)³ ; Σ1=(n+1) et Σk=n(n+1)/2 donc
Σk² = (n+1)³/3 - 3n(n+1)/2 - (n+1) =(1/3)n³+(1/2)n² +(1/6)n et par identification on a=1/3, b=1/2, c=1/6
remarque que dans l'énoncé on a pas prècisé l'ensemble auquel a, b et c appartiennent
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