Exercice sur les vecteurs Niveau 2nde

Exercice sur les vecteurs Niveau 2nde

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Exercice sur les vecteurs Niveau 2nde
Message de lili94 posté le 30-12-2010 à 22:52:28 (S | E | F)
Bonsoir,

J'ai un exercice en maths à faire mais je n'y comprends absolument rien.
Voici l'énoncé:

* ABC est un triangle.
* I et J sont les milieux des côtés [AB] et [AC].
* ABJM et CIAN sont des parallélogrammes.
* P est le milieu du segment [MN]

Démontrer que les droites (AP) et (BC) sont parallèles.

Voilà la figure: Lien Internet

Le professeur nous a donné comme indice d'exprimer le vAP en fonction de vBA et vBC.
Et d'exprimer vBC en fonction de vBA et vBC.

Je me doute bien qu'il faut utiliser tout ce qui colinéarité mais je n'arrive pas à exprimer ces vecteurs en fonction des vecteurs qu'il faut.

J'avais commencé avec : (tous sont des vecteurs.)
AP=1/2AM+1/2AN car c'est un triangle et P est le milieu de [MN]
AP=1/2BJ+1/2IC
AP=1/4BA+1/4BC+1/2IC
AP=1/4BA+1/4BC+1/4CB+1/4CA

Et là je bloque ><
Je pensais être sur la bonne piste, mais plus j'avance et plus je m'enfonce...
Aidez moi s'il vous plait !
Merci d'avance !

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Modifié par lili94 le 30-12-2010 22:55

Réponse: Exercice sur les vecteurs Niveau 2nde de taconnet, postée le 31-12-2010 à 01:57:47 (S | E)
Bonjour.

Voici une autre piste, plus facile à suivre.

Appelez G le point d'intersection des droites (IC) et (BJ).

Ne perdez pas de vue que G est le centre de gravité du triangle ABC.

Vous savez que (BJ)// (AM) et que (CI)//(AN).

$Exprimez \;\vec{AP}\; en \; fonction \;de\; \vec{AN}\;et\;\vec{AM}\\ puis\\ \vec{BG}\; en \; fonction \;de\;\vec{AM}\; et\; \vec{GC} \; fonction \;de\; \vec{AN}\\ Remarquez\; que \; \vec{BC} = \vec{BG} + \vec{GC}$

Réponse: Exercice sur les vecteurs Niveau 2nde de lili94, postée le 31-12-2010 à 10:36:37 (S | E)
Bonjour,
Merci beaucoup pour votre aide. Je crois avoir réussi.
Voilà ce que j'ai fait :

G est le centre de gravité du triangle ABC car il s'agit du point d'intersection des droites (IC) et (BJ)

AP=1/2AM+1/2AN
BG=3/4AM
GC=3/4AN
BC=BG+GC
BC=3/4AM+3/4AN
BC= 1/4AP
Mais je ne suis pas sûr de mon calcul pour BC=1/4AP...

AP=1/2AM+1/2AN
AP=1/2(AJ-AB)+1/2(AC-AI)
AP=1/2(1/2AC+BA)+1/2(AC+1/2BA)
AP=1/4AC+1/2BA+1/2AC+1/4BA
AP=3/4AC+3/4BA
AP=3/4BC

Encore merci.
Bonne fête.

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Modifié par lili94 le 31-12-2010 10:37

Réponse: Exercice sur les vecteurs Niveau 2nde de taconnet, postée le 31-12-2010 à 11:42:58 (S | E)
Bonjour.

Voici ce que vous avez écrit:

AP=1/2AM+1/2AN
BG=3/4AM
GC=3/4AN
BC=BG+GC
BC=3/4AM+3/4AN
BC= 1/4AP
Mais je ne suis pas sûr de mon calcul pour BC=1/4AP...

Correction:

AP=1/2AM+1/2AN ──► exact

~~BG=3/4AM~~ ──► faux $\vec{BG}=\frac{2}{3}\vec{BJ}=\frac{2}{3}\vec{AM}\; car \;\vec{BJ}=\vec{AM}$

~~GC=3/4AN~~ ──► faux $\vec{GC}=\frac{2}{3}\vec{IC}=\frac{2}{3}\vec{AN}\; car \;\vec{IC}=\vec{AN}$

BC=BG+GC
~~BC=3/4AM+3/4AN~~──► faux $\vec{BC}=\frac{2}{3}\vec{AM}+\frac{2}{3}\vec{AN}\; donc \;\vec{BC}=\frac{4}{3}\vec{AP}$

~~Mais je ne suis pas sûr de mon calcul pour BC=1/4AP...~~

Réponse: Exercice sur les vecteurs Niveau 2nde de lili94, postée le 31-12-2010 à 13:06:45 (S | E)
Oh d'accord merci beaucoup.
J'ai confondu 3/4 avec 2/3 ha ha.

Mais je ne comprends pas trop pourquoi BC=4/3AP...
Parce que AP=1/2AM+1/2AN non ?
Ne faudrait pas soustraire ?

Réponse: Exercice sur les vecteurs Niveau 2nde de taconnet, postée le 31-12-2010 à 13:48:35 (S | E)
Bonjour.

$\vec{BC}=\frac{2}{3}\vec{AM}+\frac{2}{3}\vec{AN}\; donc \;\vec{BC}=\frac{4}{3}\vec{AP}$

En effet:

$\vec{AP}=\frac{1}{2}\vec{AM}+\frac{1}{2}\vec{AN}\; donc \;\vec{AP}=\frac{1}{2}(\vec{AM}+\vec{AN})\;donc\;\vec{AM}+\vec{AN}= 2\vec{AP}<br /> \\ puisque\;\vec{BC}=\frac{2}{3}(\vec{AM}+\vec{AN}) \;alors\;\vec{BC}=\frac{2}{3}(2\vec{AP})=\frac{4}{3}\vec{AP}$

Réponse: Exercice sur les vecteurs Niveau 2nde de walidm, postée le 31-12-2010 à 15:15:09 (S | E)
Bonjour.
Si on pose d =(AS) la parallèle à (BC) qui passe par A et qui rencontre (MJ) en S.
Montrant que S est le milieu de [MJ].
Il est facile de montrer que:
(IJ) est parallèle à (BC)
INCB est un parallèlogramme donc (IN) et (IJ) sont confondues
ASJI est un parallèlogramme
Donc SJ=AI=1/2AB=1/2MJ
S est par conséquent le milieu du segment [MJ]
Or (AS) est // à (JN)
elle passe par le milieu du segment [MJ] donc elle passe aussi par le milieu du segment [MN]. (dans le triangle (MNJ))
d et (AP) sont donc confondues.

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