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Petit soucis pour démontrer
Message de miyamiya posté le 13-12-2010 à 20:08:13 (S | E | F)
Bonjour, je vous explique mon problème, je n'arrive pas à bien expliquer comment démontrer qu'un triangle est équilatéral. J'ai une idée, mais je ne saïs pas si c'est la bonne.
Je vous donne mon exercice, pour que vous sachiez de quoi cela traite.
Construire à la règle graduée et au compas un triangle ABC rectangle en A tel que: BC=8cm et AC=4cm. Placer les points D milieu du segment [BC], E milieu du segment [DC] et F milieu du segment [AC]. Les droites (AE) et (DF) se coupent en G.
1)- Caculer la mesure en cm du segment [AB].
D'après le théorème de Pythagore, dans un triangle rectangle, le carré de l'hypothénuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Si ABC est rectangle en A, alors:
BC^2= AB^2+ AC^2
8^2= AB^2+ 4^2
64= AB^2 + 16
AB^2= 64-16
AB^2= 48= racine de 48= 7cm environ
2)- Déterminer la nature du triangle ACD.
Je pensais que si je dis, CD=AC, donc on sait qu'il est isocèle. Ceci implique que les angles D et A sont égaux.
Soit c'est A qui est de 60°. La somme des angles d'un triangle étant de 180°, il nous reste 120° pour D et A, et comme ils se les répartissent équitablement, ça fait 60° chacun ; c'est bien un triangle équilatéral (enfin, sauf erreur de ma part, un triangle dont les 3 angles sont égaux est aussi équilatéral).
Si c'est B (ou C) qui fait 60°, comme B=C, chacun vaudra 60°. Ce qui nous laisse encore 60° pour A.
Ou sinon, je trace les hauteurs, les médiatrices, les bissectrices, les médianes et je montre qu'elles sont concourantes en un point G le centre de gravité. Un triangle équilatéral a ses trois côtés égaux, ainsi que ses trois angles (mesure égale à 180/3 = 60°). Ses médianes, médiatrices, bissectrices et hauteurs sont concourantes au même point. Les cercles inscrits et circonscrits sont donc concentriques (= même centre).
Enfin dite-moi, parce que je ne sais vraiment pas.
Merci d'avance
Message de miyamiya posté le 13-12-2010 à 20:08:13 (S | E | F)
Bonjour, je vous explique mon problème, je n'arrive pas à bien expliquer comment démontrer qu'un triangle est équilatéral. J'ai une idée, mais je ne saïs pas si c'est la bonne.
Je vous donne mon exercice, pour que vous sachiez de quoi cela traite.
Construire à la règle graduée et au compas un triangle ABC rectangle en A tel que: BC=8cm et AC=4cm. Placer les points D milieu du segment [BC], E milieu du segment [DC] et F milieu du segment [AC]. Les droites (AE) et (DF) se coupent en G.
1)- Caculer la mesure en cm du segment [AB].
D'après le théorème de Pythagore, dans un triangle rectangle, le carré de l'hypothénuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Si ABC est rectangle en A, alors:
BC^2= AB^2+ AC^2
8^2= AB^2+ 4^2
64= AB^2 + 16
AB^2= 64-16
AB^2= 48= racine de 48= 7cm environ
2)- Déterminer la nature du triangle ACD.
Je pensais que si je dis, CD=AC, donc on sait qu'il est isocèle. Ceci implique que les angles D et A sont égaux.
Soit c'est A qui est de 60°. La somme des angles d'un triangle étant de 180°, il nous reste 120° pour D et A, et comme ils se les répartissent équitablement, ça fait 60° chacun ; c'est bien un triangle équilatéral (enfin, sauf erreur de ma part, un triangle dont les 3 angles sont égaux est aussi équilatéral).
Si c'est B (ou C) qui fait 60°, comme B=C, chacun vaudra 60°. Ce qui nous laisse encore 60° pour A.
Ou sinon, je trace les hauteurs, les médiatrices, les bissectrices, les médianes et je montre qu'elles sont concourantes en un point G le centre de gravité. Un triangle équilatéral a ses trois côtés égaux, ainsi que ses trois angles (mesure égale à 180/3 = 60°). Ses médianes, médiatrices, bissectrices et hauteurs sont concourantes au même point. Les cercles inscrits et circonscrits sont donc concentriques (= même centre).
Enfin dite-moi, parce que je ne sais vraiment pas.
Merci d'avance
Réponse: Petit soucis pour démontrer de lordwatson, postée le 13-12-2010 à 21:45:50 (S | E)
Bonsoir,
j'ai fait une figure vite fait sur Géo gebra et voivi mes résultats
question 1) je crois que c'est bon ici, je n'ai pas vérifié mais, j'ai une approximation de 6.93 sur géo gebra et racine de 48 = 6.928
question 2) en ce qui concerne tes angles, je ne comprends pas tout.
A un moment tu nous dis que "Si c'est B (ou C) qui fait 60°, comme B=C, chacun vaudra 60°. Ce qui nous laisse encore 60° pour A"
==> Or le seul angle que tu connais est  = 90° dans ABC rectangle en A, donc B et C tu ne les connais pas. Tu pex juste conjecturer.
"CD=AC, donc on sait qu'il est isocèle. Ceci implique que les angles D et A sont égaux.
Soit c'est A qui est de 60°. La somme des angles d'un triangle étant de 180°, il nous reste 120° pour D et A, et comme ils se les répartissent équitablement, ça fait 60° chacun ; c'est bien un triangle équilatéral"
==> Là, comment peux-tu savoir que C = 60° alors que tu connais l'angle A dans ABC mais pas dans ACD et que tu ne connais pas B ou C (sauf si dans ton énoncé on te le dit mais j'en ai pas l'impression)
Donc il te reste :
"sinon, je trace les hauteurs, les médiatrices, les bissectrices, les médianes et je montre qu'elles sont concourantes en un point G le centre de gravité. Un triangle équilatéral a ses trois côtés égaux [...] Ses médianes, médiatrices, bissectrices et hauteurs sont concourantes au même point. Les cercles inscrits et circonscrits sont donc concentriques (= même centre).
==> je crois que AE est une hauteur au sommet A au segment [DC]
et DE = EC = 1/2 DC = 2 cm et AF = FC = 1/2 AC = 2cm Or AC = DC = 4 cm.
Donc tu as les médiatrices qui sont aussi les bissectrices et hauteurs et médianes (confondues) et elles secouent toutes en G.
Si j'atais toi je ferais le dernier point, celui des hauteurs = médiatrices = bissectrices
Voilà, j'espère t'avoir aidé.
Au revoir, Lord Watson
Réponse: Petit soucis pour démontrer de walidm, postée le 13-12-2010 à 22:20:07 (S | E)
Bonjour.
Le triangle ABC rectangle en A, D est le milieu de [BC] donc:
AD=1/2BC(le cercle circonscrit à ABC a pour centre D; [BC] est un diamètre )...
Réponse: Petit soucis pour démontrer de miyamiya, postée le 13-12-2010 à 23:08:31 (S | E)
Merci beaucoup, j'ai trouvé en calculant les angles. Mais vous démontreriez comment que la droite (AD) est une bissectrice du triangle ABE?
Merci d'avance
Réponse: Petit soucis pour démontrer de walidm, postée le 14-12-2010 à 09:44:01 (S | E)
Bonjour.
ADC est un triangle équilatéral .
E est le milieu de [DC] donc (AE) est une médiane dans ADC; c'est aussi une bissectrice: CÂE et EÂD mesurent 60°/2=30°.
Or CÂB=90°, donc: DÂB=90°-CÂD=30°=EÂD; d'où (AD) est la bissectrice de l'angle EÂB.
Réponse: Petit soucis pour démontrer de miyamiya, postée le 14-12-2010 à 16:15:27 (S | E)
Merci beaucoup, parce que je galérais vraiment.
Merci encore
Réponse: Petit soucis pour démontrer de a2p, postée le 14-12-2010 à 16:58:26 (S | E)
il faut d'abord te rappeler :
1-Un triangle inscrit dans un cercle et ayant un coté comme diamètre du cercle est un triangle rectangle( ce coté est l'hypothénus).
2- on aussi que le milieu de l'hypothénus est le centre du cercle circonscrit au triangle rectangle. Ici D est ce point donc AD = DC = 8:2
AD = DC = 4cm
or l'énoncée nous donne AC = 4 cm
enfin on a AC=AD=DC= 4cm d'où le triangle ACD est équilatéral
Réponse: Petit soucis pour démontrer de a2p, postée le 15-12-2010 à 14:51:03 (S | E)
il faut d'abord te rappeler :
1-Un triangle inscrit dans un cercle et ayant un coté comme diamètre du cercle est un triangle rectangle( ce coté est l'hypothénus).
2- on aussi que le milieu de l'hypothénus est le centre du cercle circonscrit au triangle rectangle. Ici D est ce point donc AD = DC = 8:2
AD = DC = 4cm
or l'énoncée nous donne AC = 4 cm
enfin on a AC=AD=DC= 4cm d'où le triangle ACD est équilatéral
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