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Hauteur d'un triangle
Message de wiika posté le 08-12-2010 à 12:03:43 (S | E | F)
Bonjour !
J'ai un problème avec la correction d'un exercice...
Voilà l'énoncé:
Dans un repère orthonormé (O, I, J) du plan, on considère les points A, B et C dont les coordonnées sont: A(-2;-1) B(4;2) et C(-1;4)
1: Faire une figure représentant ces points et construire la hauteur du triangle issue de C.
2: Montrer que le point H de coordonnées H(0,8;0,4) est le pied de cette hauteur issue de C.
Correction:
On a fait la figure...
Montrer que H appartient à [AB] par l'inégalité triangulaire:
HB= racine(xh-xb)² + (yh-yb)²
HB= racine(0,8-4)² + (0,4-2)²
HB= racine(-3,2)² + (-1,6)²
HB= racine10,24 + 2,56
HB= racine12,8
AH= racine(xa-xh)² + (ya-yh)²
AH= racine(-2-0,8)² + (-1-0,4)²
AH= racine(-2,8)² + (-1,4)²
AH= racine7,84 + 1,96
AH= racine9,8
AB= racine(xa-xb)² + (ya_yb)²
AB= racine(-2-4)² + (-1-2)²
AB= racine-6² + (-3)²
AB= racine36 + 9
AB= racine45
AB -(AH + HB) = racine45 - (racine12,8 + racine9,8) = 0
Ma question est: On a prouvé grâce à ça que H est le pied de la hauteur ?
En fait je comprends qu'on a prouvé que H appartient à AB mais pas que ça prouve que c'est le pied de la hauteur.
Merci d'avance pour vos explications.
Message de wiika posté le 08-12-2010 à 12:03:43 (S | E | F)
Bonjour !
J'ai un problème avec la correction d'un exercice...
Voilà l'énoncé:
Dans un repère orthonormé (O, I, J) du plan, on considère les points A, B et C dont les coordonnées sont: A(-2;-1) B(4;2) et C(-1;4)
1: Faire une figure représentant ces points et construire la hauteur du triangle issue de C.
2: Montrer que le point H de coordonnées H(0,8;0,4) est le pied de cette hauteur issue de C.
Correction:
On a fait la figure...
Montrer que H appartient à [AB] par l'inégalité triangulaire:
HB= racine(xh-xb)² + (yh-yb)²
HB= racine(0,8-4)² + (0,4-2)²
HB= racine(-3,2)² + (-1,6)²
HB= racine10,24 + 2,56
HB= racine12,8
AH= racine(xa-xh)² + (ya-yh)²
AH= racine(-2-0,8)² + (-1-0,4)²
AH= racine(-2,8)² + (-1,4)²
AH= racine7,84 + 1,96
AH= racine9,8
AB= racine(xa-xb)² + (ya_yb)²
AB= racine(-2-4)² + (-1-2)²
AB= racine-6² + (-3)²
AB= racine36 + 9
AB= racine45
AB -(AH + HB) = racine45 - (racine12,8 + racine9,8) = 0
Ma question est: On a prouvé grâce à ça que H est le pied de la hauteur ?
En fait je comprends qu'on a prouvé que H appartient à AB mais pas que ça prouve que c'est le pied de la hauteur.
Merci d'avance pour vos explications.
Réponse: Hauteur d'un triangle de nick94, postée le 08-12-2010 à 17:20:24 (S | E)
Bonjour tu as raison, pour l'instant,seule l'appartenance de H à [AB] est prouvée il reste à vérifier qu'il ya un angle droit avec la réciproque du théorème de Pythagore
Réponse: Hauteur d'un triangle de taconnet, postée le 08-12-2010 à 18:42:09 (S | E)
Bonjour.
Voici une autre méthode.
1- Écrire l'équation de (AB): y = ax + b
2- Écrire l'équation de la droite perpendiculaire à (AB) passant par C
Ce n'est pas compliqué puisque vous connaissez déjà "a"
y - yc = -1/a(x -xc)
3- Il suffit de montrer que les coordonnées du point d'intersection de ces deux droites sont celles de H.
Réponse: Hauteur d'un triangle de wiika, postée le 09-12-2010 à 14:57:15 (S | E)
Merci beaucoup pour toutes ces réponses, alors en fait je peux soit utiliser pythagore en calculant la longueur de CB et de CH et grâce à HB je prouve qu y'a un angle droit.
Ou alors, je prouve que H vérifie l'équation de la droite CH.
Ce qui me donne ( méthode 1 ):
CB= racine(xb-xc)² + (yb-yc)²
CB= racine(4-(-1))² + (2-4)
CB= racine5² + (-2)²
CB= racine25 + 4
CB= racine29
CH= racine(xh-xc)² + (yh-yc)²
CH= racine(0,8-(-1))² + (0,4-4)²
CH= racine1,8² + (-3,6)²
CH= racine3,24 + 12,96
CH= racine16,36
D'après la réciproque du théorème de Pythagore:
Si CB²=CH²+HB², alors le triangle CHB est rectangle en H, donc H est la hauteur du triangle ABC.
CB²=CH²+HB²
(racine29)²=(racine16,36)+(racine12,8)
29=16,36+12,8
29=29,16
Euh... c'est bien la hauteur ?
Méthode 2:
L'équation de la droite CH est de la forme y=mx+p parce que ce n'est pas une droite verticale.
calcul du coefficient directeur m:
m= (yh-yc)/(xh-xc)
m= (0,4-4)/(0,8-(-1))
m= -3,6/1,8
m= -2
donc CH: y=-2x+p
calcul de l'ordonnée à l'origine p:
C appartient à CH donc les coordonnées de C vérifient l'équation de la droite CH:
C(-1;4)
CH: y=-2x+p
CH: 4=-2*(-1)+p
CH: 4=2+p
CH: 4-2=p
CH: 2=p
donc CH: y=-2x+2
H appartient à la droite CH, hauteur du triangle ABC si ses coordonnées vérifient l'équation de la droite CH:
H(0,8;0,4)
CH: 0,4=-2*0,8+2
CH: 0,4=1,6+2
CH: 0,4=3,6
Tout ce que j'ai fait est faux ou H n'est pas le pied de la hauteur s'il-vous-plaît ?
Réponse: Hauteur d'un triangle de nick94, postée le 09-12-2010 à 15:47:25 (S | E)
Il y a une petite erreur de calcul sur la dernière ligne et on a bien :
CH² = 16,2
ce qui assure que : CB² = CH² + HB²
Fais attention à la rédaction, tu peux constater toi même le problème, il ne faut pas écrire en préalable : CB² = CH²+HB²
mais calculer séparémént CB² et CH²+HB² pour conclure que CHB est rectangle ou non suivant que l'égalité est vérifiée ou non.
Réponse: Hauteur d'un triangle de nick94, postée le 09-12-2010 à 15:50:31 (S | E)
Pour ce qui est de la deuxième méthode, tu n'as pas fait ce que taconnet proposait, en quelle classe es-tu ? peut-être n'as-tu pas encore étudié les chapitres nécessaires.
Réponse: Hauteur d'un triangle de wiika, postée le 09-12-2010 à 15:54:38 (S | E)
Merci ! Je suis en seconde.
Mon professeur me dit toujours ça "comment tu veux conclure en commençant par ce que tu veux prouver..."
Ah oui ! j'ai carrément sauté la deuxième étape
Mais en regardant bien, effectivement je comprends pas trop le y - yc = -1/a(x -xc)
J'aurais fait comme pour la droite CH moi.
Je vais essayer !
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Modifié par wiika le 09-12-2010 15:57
Réponse: Hauteur d'un triangle de wiika, postée le 09-12-2010 à 16:02:41 (S | E)
Non je sais pas comment faire sans les coordonnées du point qui est sur l'intersection des deux doites ( le point H, mais on peut pas prendre ses coordonnées à lui...)
Mon niveau étant trop bas pour la deuxième, j'ai tout de même compris cet exercice grâce à la première méthode, merci pour votre aide !
Réponse: Hauteur d'un triangle de nick94, postée le 09-12-2010 à 16:43:04 (S | E)
Je pense que tu n'as pas encore vu que deux droites sont perpendiculaires ssi le produit des coefficients de leurs équations est égal à -1 (d'où : y - yc = -1/a(x -xc)que te propose taconnet).
Une fois les deux équations trouvées, il s'agit de résoudre le système de deux équations (celles des droites)et d'obtenir les coordonnées de H comme solutions.
Réponse: Hauteur d'un triangle de wiika, postée le 09-12-2010 à 18:32:52 (S | E)
Ok, merci.
L'avenir se complique... j'ai l'impression que je reposterai dans ce forum très bientôt x)
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