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Exponentielle
Message de charlemagne91 posté le 06-12-2010 à 18:50:16 (S | E | F)
bonjour,
voilà un devoir que je dois faire. Pouvez vous m'aider juste pour les deux dernières questions?
1) A) montrer que pour tt réel x e^x >=1+x
B)en déduire que pour x >=O, e^x >= (1+(x/n))^n
C) et que pour x appartenant à [O,n], e^-x>=(1-(x/n))^n
2) démontrer que (1+(x/n))^n >=e^x(1-(x²/n²))^n
3) démontrer que e^x(1-(x²/n²))^n <=(1+(x/n))^n<=e^x
4) démontrer que O<=e^x-(1+(x/n))^n<=e^x[ 1-(1-(x²/n²)^n]
5) A) démontrer que pour tout q appartenant à [O,1], 1-q^n <=n(1-q)
on pourra utiliser le fait que1-q^n = (1-q)(1+q+q²+…+q^n-1)
B) en déduire que pour tout entier naturel n non nul, et tout réel x appartenant à [O,n], 0<=e^x-(1+(x/n))^n<=(x²/n)e^x
6)en déduire des questions précédentes que lim (1+(x/n))^n=e^x quand n tend vers +oo
Voilà, j’ ai réussit les questions 1 A) B), 2) 3)4) et je bloque sur la fin(5 et 6). Pouvez vous m’aider ? merci d’avance
Pour la 2) est-ce que : [(1-(x/n))^n]*[1+(x/n))^n]= (1-(x²/n²))^n
C’est le exposant n qui me gène, est-ce que je peux le mettre ainsi ?
Merci beaucoup par avance.
charlemagne
Message de charlemagne91 posté le 06-12-2010 à 18:50:16 (S | E | F)
bonjour,
voilà un devoir que je dois faire. Pouvez vous m'aider juste pour les deux dernières questions?
1) A) montrer que pour tt réel x e^x >=1+x
B)en déduire que pour x >=O, e^x >= (1+(x/n))^n
C) et que pour x appartenant à [O,n], e^-x>=(1-(x/n))^n
2) démontrer que (1+(x/n))^n >=e^x(1-(x²/n²))^n
3) démontrer que e^x(1-(x²/n²))^n <=(1+(x/n))^n<=e^x
4) démontrer que O<=e^x-(1+(x/n))^n<=e^x[ 1-(1-(x²/n²)^n]
5) A) démontrer que pour tout q appartenant à [O,1], 1-q^n <=n(1-q)
on pourra utiliser le fait que1-q^n = (1-q)(1+q+q²+…+q^n-1)
B) en déduire que pour tout entier naturel n non nul, et tout réel x appartenant à [O,n], 0<=e^x-(1+(x/n))^n<=(x²/n)e^x
6)en déduire des questions précédentes que lim (1+(x/n))^n=e^x quand n tend vers +oo
Voilà, j’ ai réussit les questions 1 A) B), 2) 3)4) et je bloque sur la fin(5 et 6). Pouvez vous m’aider ? merci d’avance
Pour la 2) est-ce que : [(1-(x/n))^n]*[1+(x/n))^n]= (1-(x²/n²))^n
C’est le exposant n qui me gène, est-ce que je peux le mettre ainsi ?
Merci beaucoup par avance.
charlemagne
Réponse: Exponentielle de walidm, postée le 06-12-2010 à 20:44:21 (S | E)
Bonjour.
tu appliques (a*b)^n=a^n * b^n et l'identité a²-b²=(a-b)(a+b)
Réponse: Exponentielle de charlemagne91, postée le 06-12-2010 à 21:04:42 (S | E)
Pour la question 2 ? oui, c'est ce que j 'ai fait et ça marche. Merci beaucoup. Et pour la fin? comment de fait?
Réponse: Exponentielle de walidm, postée le 06-12-2010 à 21:16:04 (S | E)
3) est un résultat de 1B) et de 2)
Réponse: Exponentielle de charlemagne91, postée le 06-12-2010 à 21:48:46 (S | E)
Je l 'ai trouvé et 4 aussi. Je bloque juste sur 5 et 6. Vous pouvez m' aider pour la 5? S'il vous plait?
Réponse: Exponentielle de walidm, postée le 06-12-2010 à 22:02:04 (S | E)
On a
1-q^n=(1-q)*(1+q+q²+....q^(n-1))<=(1-q)*(1+1+1+.....+1)(=(1-q)n*1=n(1-q))
car 0<=q<=1.
Remplace q par 1-x²/n²dans l'inégalité de 4°) et applique le résultat ci-dessus.
-------------------
Modifié par walidm le 06-12-2010 22:12
Réponse: Exponentielle de charlemagne91, postée le 07-12-2010 à 19:28:12 (S | E)
Bonsoir,
merci beaucoup. Par contre je ne comprends pas bien la fin de l'inégalité :
)(=(1-q)n*1=n(1-q))
Réponse: Exponentielle de walidm, postée le 07-12-2010 à 19:49:35 (S | E)
Bonjour.
cette somme (1+q+q²+....q^(n-1))contient n termes tous inférieurs ou égaux à 1.
Donc (1+q+q²+....q^(n-1))<=1+1+1+.....+1 (n fois 1)
=====>(1+q+q²+....q^(n-1))<=n.
En multipliant des deux côtés par 1-q, on obtient:1-q^n=(1-q)(1+q+q²+...+q^n)<=n(1-q).
Tu as trouvé:
O<=e^x-(1+(x/n))^n<=e^x[ 1-(1-(x²/n²)^n]
===>0<=e^x-(1+(x/n))^n<=e^x[n*(1-(1-x²/n²))]
===>0<=e^x-(1+(x/n))^n<=e^x[n*(x²/n²))] (1-1=0)
===>0<=e^x-(1+(x/n))^n<=e^x(x²/n)
Réponse: Exponentielle de charlemagne91, postée le 07-12-2010 à 21:32:43 (S | E)
Bonsoir,
merci beaucoup j' ai compri la partie 1 de votre réponse. Par contre là je ne vois pas:===>0<=e^x-(1+(x/n))^n<=e^x[n*(1-(1-x²/n²))]
Réponse: Exponentielle de walidm, postée le 07-12-2010 à 21:42:37 (S | E)
si on pose q=(1-(x²/n²))
alors [ 1-(1-(x²/n²)^n]=(1-q^n)<=n(1-q)=n(1-(1-(x²/n²))=n(x²/n²)=x²/n.
Réponse: Exponentielle de charlemagne91, postée le 08-12-2010 à 13:11:32 (S | E)
Comment je prouve que 1-(x^2 /n^2)est compris entre O et 1 (car q appartient à [o, 1]?
merci d'avance !
charelemagne
Réponse: Exponentielle de charlemagne91, postée le 08-12-2010 à 13:17:16 (S | E)
===>0<=e^x-(1+(x/n))^n<=e^x[n*(1-(1-x²/n²))]
En fait , là, je ne comprends pas pourquoi le n en exposant arrive ici.
Pouvez -vous me l'expliquer s'il vous plaît?
Réponse: Exponentielle de charlemagne91, postée le 08-12-2010 à 13:28:11 (S | E)
Et pour la dernière question? comment je dois procéder?
Réponse: Exponentielle de walidm, postée le 08-12-2010 à 13:50:19 (S | E)
Bonjour.
pour le 6).
On a :,donc et d'après le 5)
-------------------
Modifié par walidm le 08-12-2010 14:02
c'est facile de trouver ça:
0<=x<=n ===> 0<=x²<=n² ===> 0<=x²/n²<=1(pour n>0)===> -1<= -x²/n² <=0
===> 0<=1-x²/n²<=1.
Réponse: Exponentielle de charlemagne91, postée le 08-12-2010 à 17:30:28 (S | E)
Merci beaucoup de votre aide et du temps que vous avez pris.
Réponse: Exponentielle de charlemagne91, postée le 08-12-2010 à 17:47:03 (S | E)
bonsoir,
excusez moi de revenir vous embêter...mais je n' ai pas réussi à comprendre les limites. 1/n je comprend mais x²e^x je ne vois pas. il n'y aurait t'il pas une forme indéterminée? je ne sais pas faire là...
Réponse: Exponentielle de ibnsina12, postée le 08-12-2010 à 18:15:21 (S | E)
Bonjour,
x est indépendant de n.
x²e^x représente une constante réelle.
Réponse: Exponentielle de charlemagne91, postée le 09-12-2010 à 14:50:00 (S | E)
Je dois utiliser le théorème des gendarmes. Comment je fais?
Est-ce que je prends:
0<=e^x-(1+(x/n))^n<=(x²/n)e^x
je rajoute -e^x à chaque membre
lime(-e^x)quand n-->oo=-e^x
lim((x²/n²)-e^)=-e^x
et là j'applique le théorème? mais je trouve -e^x en limite. Ou alors je dois changer de sens l'inégalité?
merci de votre aide par avance.
Réponse: Exponentielle de walidm, postée le 09-12-2010 à 22:52:19 (S | E)
Tu appliques le théorème que tu viens de citer sans rien rajouter à cette inégalité 0<=e^x-(1+(x/n))^n<=(x²/n)e^x
tu trouves:
lim(e^x-(1+(x/n))^n)=lim((x²/n)e^x)=0
=====> e^x- lim(1+(x/n))^n=0
=====> e^x=lim(1+(x/n))^n
Réponse: Exponentielle de charlemagne91, postée le 11-12-2010 à 19:43:27 (S | E)
Merci pour votre aide.
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