L'ordre

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Message de kool posté le 08-11-2010 à 20:56:09 (S | E | F)
bonsoir. pour être prette pour le devoir qu'on aura demain en maths, j'ai décidé de faire quelques exercices et il y en a un que je n'est pas pu résoudre. pouvez-vous SVP m'aider? voilà la question:
p et k et n sont trois entiers naturels non nul. montrer que:
A) $\frac{1}{p+k}$ = $\frac{1}{p}$ *(1- $\frac{k}{p+k}$ )
B) $\frac{1}{2}\preceq\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}\prec\frac{3}{4}$
C) (k+p-n)²+(k-p+n)²+(-k+p+n)²+ $\frac{3}{4}\geq$ k+p+n
merci d'avance

Réponse: L'ordre de kool, postée le 08-11-2010 à 21:01:26 (S | E)
pour la première opération le " 1- " n'est pas avec le dénominateur

Réponse: L'ordre de plumemeteore, postée le 10-11-2010 à 05:26:37 (S | E)
Bonjour Kool.

1) En multipliant les deux membres par p+k, on arrive à 1 et à p/p.

2) On a n nombres, dont l'un est égal à 1/2n et les autres supérieurs à 1/2n. Leur somme est supérieure ou égale à n/2n (elle est égale quand n = 1).

1/(n+1) + 1/(2n) = (2n+n+1)/[2n(n+1)]
or c'est inférieur à 3/2n
en effet : (2n+n+1)/[2n(n+1)] < 3/2n
<-> (3n+1)/(n+1) < 3
<-> (3n+3-2)/(n+1) < 3
<-> [3(n+1)-2]/(n+1) < 3
<-> 3 - 2/(n+1) < 3, qui est vrai.
par ailleurs, si a < b, 1/(a+1) + 1(b-1) <= 1/a + 1/b
en effet, c'est équivalent à :
(b-1+a+1)/[(a+1)(b-1)] <= (b+a)/(ab)
les numérateurs sont égaux; le dénominateur de gauche >= le dénominateur de droite
en effet : (a+1)(b-1) = ab-a+b+1 >= ab, car b > a; la fraction de gauche est donc plus petite que celle de droite
si n est pair, on a n/2 paires de fractions 1/(n+1+d) et 1/(2n-d) (d allant de 0 à n/2 - 1) dont la somme est inférieurs à 3/2n; leur somme est inférieure à (n/2)*(3/2n)
si n est impair, on a n/2 -1 paires de fractions dont la somme est inférieure à 3/2n; la moyenne de ces fractions est inférieure à 3/4n
la fraction du milieu est 1/(n + n/2 + 1/2)
= 2/(3n+1) < 2/3n = 2/3 * 1/n < 3/4 * 1/n = 3/4n
la fraction du milieu est aussi inférieure à 3/4n
la somme de toutes les fractions est inférieure à n * 3/4n

Réponse: L'ordre de taconnet, postée le 10-11-2010 à 11:20:07 (S | E)
Bonjour.

On considère la suite :

$U_{n} = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + ... +\frac{1}{n+(n-1)} + \frac{1}{2n}\\ calculons\;\; U_{1}\;U_{2}\;U_{3}\;U_{4}$

L'écriture de U_n nous oblige à aller repérer le dernier terme de la suite connaissant le premier et le mode de remplissage.

On obtient donc :

$U_{1} = \frac{1}{2}\\U_{2}=\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{7}{12}\;\;(\frac{7}{12} < \frac{3}{4}) \\U_{3} = \frac{1}{4} +\frac{1}{5} +\frac{1}{6}= \frac{37}{60}\;\;(\frac{37}{60} <\frac{3}{4})\\U_{4}= \frac{1}{5} + \frac{1}{6} +\frac{1}{7}+\frac{1}{8} = \frac{236}{480}\;\;(\frac{236}{480} <\frac{3}{4})$

Démontrons par récurrence que :

$U_{n} < \frac{3}{4}$

$U_{1} \; < \frac{3}{4}$

Déterminons $U_{n +1}$
$U_{n+1} = \frac{1}{n+2} + \frac{1}{n+3} + ... + \frac{1}{2(n+1)} \\U_{n+1} = U_{n} -\frac{1}{n+1} +\frac{1}{2(n+1)}\\ or\;\; \frac{1}{2(n+1)}-\frac{1}{n+1} = -\frac{1}{2(n+1)}\\ donc\;\; U_{n+1\;\; <\;\; U_{n}}$

Ce qui termine la démonstration.

Réponse: L'ordre de walidm, postée le 10-11-2010 à 14:01:30 (S | E)
Bonjour.
D'après les premiers calculs: U1 < U2 < U3...
Ce que vous venez de démontrer par récurrence est alors contradictoire car la suite serait décroissante. Il manque un terme de Un+1 dans votre démonstration.
Amicalement.

Réponse: L'ordre de walidm, postée le 10-11-2010 à 18:01:31 (S | E)
Bonjour.
Le résultat de A) est immédiat.
B)On peut montrer que Un<3/4 en utilisant l'égalité suivante: 1+2+3+...+(n-1)+n=n(n+1)/2 > n²/2 et k/(n+k)>=k/2n pour tout élément k de {1;2;3;...;n}.

Réponse: L'ordre de kool, postée le 11-11-2010 à 21:12:51 (S | E)
merci pour vos réponses

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