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Démonstraction par récurrence TS
Message de liliroubaix posté le 04-11-2010 à 20:40:36 (S | E | F)
Bonsoir,
j'ai un dm de math pour demain, et il y a juste une démonstration que je n'arrive pas à faire
Sachant que la suite est définie par récurrence :
Un+1 = Un + n
et que U0 = 1
et que j'ai aussi établie précédemment une conjecture dont je suis sûre :
Un - n = (n² - n + 2) / 2
D'où Un = (n² + n + 2) / 2
Alors là il faut démontrer la proposition ainsi conjecturée, et là je bloque
Je pense qu'il faut faire une démonstration par récurrence
On suppose que : Un = (n² + n + 2) / 2
et on démontre que Un+1 = ( (n+1)² + (n+1) + 2 ) / 2
c'est-à-dire que Un+1 = (n² + 3n + 4) / 2 ( après développement et simplification )
Le problème c'est que partant de Un, je fais :
Un + n = (n² + n + 2) / 2 + n
D'où Un+1 = (n² + 3n + 2) / 2 (après déveloeppement et simplification)
Or ce n'est pas ce que je devais trouver
Si quelqu'un pouvait m'aider
Merci d'avance
Message de liliroubaix posté le 04-11-2010 à 20:40:36 (S | E | F)
Bonsoir,
j'ai un dm de math pour demain, et il y a juste une démonstration que je n'arrive pas à faire
Sachant que la suite est définie par récurrence :
Un+1 = Un + n
et que U0 = 1
et que j'ai aussi établie précédemment une conjecture dont je suis sûre :
Un - n = (n² - n + 2) / 2
D'où Un = (n² + n + 2) / 2
Alors là il faut démontrer la proposition ainsi conjecturée, et là je bloque
Je pense qu'il faut faire une démonstration par récurrence
On suppose que : Un = (n² + n + 2) / 2
et on démontre que Un+1 = ( (n+1)² + (n+1) + 2 ) / 2
c'est-à-dire que Un+1 = (n² + 3n + 4) / 2 ( après développement et simplification )
Le problème c'est que partant de Un, je fais :
Un + n = (n² + n + 2) / 2 + n
D'où Un+1 = (n² + 3n + 2) / 2 (après déveloeppement et simplification)
Or ce n'est pas ce que je devais trouver
Si quelqu'un pouvait m'aider
Merci d'avance
Réponse: Démonstraction par récurrence TS de taconnet, postée le 04-11-2010 à 21:07:42 (S | E)
Bonjour.
Un+1 = Un + n <══> Un+1 - Un = n
Donc
U1 - U0 = 0
U2 - U1 = 1
U3 - U2 = 2
U4 - U3 = 3
U5 - U4 = 4
..................................
..................................
Un-2 - Un-3 = n-3
Un-1 - Un-2 = n-2
Un - Un-1 = n-1
Un+1 - Un = n
En additionnant membre à membre ces égalités on obtient :
Un+1 - U0 = 1+2+3+....+n = n(n+1)/2
Un+1 = 1 + n(n+1)/2
Soit :
Réponse: Démonstraction par récurrence TS de liliroubaix, postée le 04-11-2010 à 22:29:03 (S | E)
Ah oui !
C'est beaucoup plus clair maintenant !
Merci beaucoup
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