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Problème de 3ème PGCD
Message de isacassou posté le 11-10-2010 à 18:45:13 (S | E | F)
Bonjour,
Pourriez-vous me donner vos idées car je sèche complètement ?
1. Trouve 2 nombres entiers naturels non nuls dont la somme est 2285 et le PGCD est 457.
2. Trouve 2 nombres entiers naturels dont le PGCD est égal à 8 et dont le produit est 960.
Merci pour vos réponses
Message de isacassou posté le 11-10-2010 à 18:45:13 (S | E | F)
Bonjour,
Pourriez-vous me donner vos idées car je sèche complètement ?
1. Trouve 2 nombres entiers naturels non nuls dont la somme est 2285 et le PGCD est 457.
2. Trouve 2 nombres entiers naturels dont le PGCD est égal à 8 et dont le produit est 960.
Merci pour vos réponses
Réponse: Problème de 3ème PGCD de walidm, postée le 11-10-2010 à 18:54:58 (S | E)
Bonjour.
Pour 1.
les deux nombres cherchés admettent 457 pour diviseur commun donc ce sont des multiples de 457
fais les calculs : 457*2 - 475*3 - 457*4 .....
parmi ces nombres trouve ceux qui répondent à la première condition c'est à dire :
leur somme est 2285
Pour 2. c'est à peu près la même idée sauf là il faut faire des multiplications : trouver les produits au lieu des sommes.
Réponse: Problème de 3ème PGCD de isacassou, postée le 11-10-2010 à 19:31:42 (S | E)
Je n'ai pas tout compris, je suis désolée..
Pour vous, que signifie le symbole * ? Est-ce bien une multiplication ?
Alors pourquoi parlez-vous de somme pour le 2 ?
Réponse: Problème de 3ème PGCD de dadil, postée le 11-10-2010 à 19:34:01 (S | E)
Bonjour Walidm,
La solution que tu proposes est bien entendu très valable dans le cas que présente isacassou que je salue. Ceci étant je propose une solution plus systématique.
1. 457 divise les deux nombres recherchés donc il divise leur somme égale à 2285. 2285 = 5*457 ; donc on voit apparaitre deux solutions, décomposer 5 en une somme 1+4 ou 2+3
2. 8 divise les deux nombres recherchés donc 64 divise leur produit; 960/64=15
encore une fois deux solutions 15= 1*15 ou 15=3*5
Cordialement.
Réponse: Problème de 3ème PGCD de isacassou, postée le 11-10-2010 à 20:58:59 (S | E)
si je fais :
457 divise les 2 nombres rechercher donc il divise leurs sommes égale à 2285
2285 = 5 x 457
5 peut s'interpréter 2+3 ou 1+4
(457x2) + (457x3)= 2285
914 + 1371 = 2285
1371-1x914=457
914-2x457=0
Les 2 nombres entiers naturels sont 914 et 1371.
Est-ce bien ça ?
Réponse: Problème de 3ème PGCD de dadil, postée le 11-10-2010 à 21:18:09 (S | E)
Excellent!! mais il y a une autre solution, tu n'as envisagé que l'une des deux, pourquoi veux-tu oublier 1 et 4?
Réponse: Problème de 3ème PGCD de brettdallen, postée le 11-10-2010 à 21:25:40 (S | E)
Bonsoir,
Vous faites une erreur dans vos conclusions, je m'explique :
(457 * 2) + (457 * 3) = 2285
914 + 1371 = 2285
Étes-vous d'accord pour dire que le PGCD de 914 et 1371 est 457 ? Étes-vous d'accord pour dire que 914 et 1371 sont des entiers naturels non nuls ?
Et bien si c'est le cas, je crois que la réponse de votre exercice est sous vos yeux !
Amicalement.
Réponse: Problème de 3ème PGCD de dadil, postée le 11-10-2010 à 22:13:48 (S | E)
Bonsoir Brettdallen,
Isacassou a donné une bonne solution que tu confirmes toi-même, je ne vois pas où est dans ce cas une erreur dans les conclusions. Par contre pourquoi n'envisages-tu pas qu'il y a une autre solution autre que celle à laquelle tu adhères? En plus clair Isacassou donne comme solution 914 et 1371, solution correcte, je lui dis qu'il y en a une autre, la vois-tu?
Cordialement.
Réponse: Problème de 3ème PGCD de taconnet, postée le 11-10-2010 à 23:40:24 (S | E)
Bonjour.
Il s'agit d'un problème sur le PGCD. Il faut donc le résoudre en tant que tel.
Il est nécessaire de faire appel à la définition du PGCD.
Le PGCD de deux ou plusieurs nombres est un diviseur commun de ces nombres et c'est le plus grand
Si le PGCD des deux nombres A et B est K, alors on peut dire qu'il existe des nombres entiers a et b premiers entre eux tels que :
A = a K
B = b K
Par exemple:,
Considérons les nombres 12 et 27
Div12 = 1,2,3,4,6,12
Div27 = 1,3,9,27
3 est le seul diviseur commun.
PGCD(12,27) = 3
12 = 4x3
27 = 9x3
4 et 9 sont premiers entre eux.
Revenons à notre problème.
Soient A et B les deux nombres cherchés. Puisque 457 est leur PGCD, cela signifie qu'il existe deux nombres entiers a et b premiers entre eux tels que:
A= 457 a
B= 457 b
donc
A+B = 457(a+b)
Ce qui montre que le PGCD de deux nombres divise aussi leur somme.
Puisque l'on sait que A + B = 2285 alors (a+b) = 5
Il faut donc trouver tous les couples d'entiers (a,b) premiers entre eux tels que a+b = 5
À vous la suite...
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