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Raisonnement par recurrence
Message de nisan08 posté le 26-09-2010 à 19:07:54 (S | E | F)
Bonsoir,
Il faut que je résout par recurrence "1+2+...+n=(n²-n)/2 pour n >(ou)= à 1"
Mais voilà je bloque dès le debut:
-j'ai calculé tout d'abord les premier termes:
u1=0
u2=1
u3=3
u4=6
u5=10
-ensuite j'ai conjecturé l'expression de Un en fonction de n :
Un=(Un-1)+(n-1)
Je ne sais pas si mes étapes sont correct avant l'initialisation donc pouvez vous me corriger où dire si cela est correct
Merci d'avance !
Message de nisan08 posté le 26-09-2010 à 19:07:54 (S | E | F)
Bonsoir,
Il faut que je résout par recurrence "1+2+...+n=(n²-n)/2 pour n >(ou)= à 1"
Mais voilà je bloque dès le debut:
-j'ai calculé tout d'abord les premier termes:
u1=0
u2=1
u3=3
u4=6
u5=10
-ensuite j'ai conjecturé l'expression de Un en fonction de n :
Un=(Un-1)+(n-1)
Je ne sais pas si mes étapes sont correct avant l'initialisation donc pouvez vous me corriger où dire si cela est correct
Merci d'avance !
Réponse: Raisonnement par recurrence de sdelt, postée le 26-09-2010 à 20:09:27 (S | E)
bonsoir,
il y a un souci dans l'initialisation du raisonnement :
u1 est la somme des entiers positifs jusqu'à 1 : u1 = 1
u2 ..........................................2 : u2 = 3
et de meme la relation de récurrence est "décalée", il faut donc déjà rectifier ce problème
Réponse: Raisonnement par recurrence de nisan08, postée le 26-09-2010 à 20:48:43 (S | E)
merci , donc la formule est donc Un=(Un-1)+n ?
Mais faut il vraiment conjecturer ?Peut on pas partir de la formule de depart et faire ensuite le raisonnement ?
-------------------
Modifié par nisan08 le 26-09-2010 20:49
Réponse: Raisonnement par recurrence de sdelt, postée le 26-09-2010 à 20:57:29 (S | E)
oui, cette fois ci, la relation de récurrence est "facilement" utilisable.
Ensuite, la conjecture est déjà faite, elle est dans l'énoncé : il faut donc l'écrire par exemple au rang (n-1), et utiliser la formule que vous venez d'écrire pour la "retrouver" au rang n.
En bref :
u(n-1) = ..... formule de l'énoncé adaptée au rang (n-1)
or un = u(n-1) + n
= ..... (ce qu'il y a dessus) + n
.
.
.
= (n²+n)/2 (il doit y avoir une erreur dans la recopie de l'énoncé, je viens de m'en apercevoir, à corriger aussi pour le début du raisonnement)
Bon courage
Réponse: Raisonnement par recurrence de taconnet, postée le 26-09-2010 à 21:32:33 (S | E)
Bonjour.
Vous avez écrit :
Il faut que je
"1+2+...+n=(n²-n)/2"
Après "il faut que", on emploie le subjonctif.
Étudiez ce lien :
Lien Internet
Passons maintenant aux mathématiques.
Vous avez écrit :
1+2+...+n=(n²-n)/2 : c'est manifestement faux !
Il fallait écrire :
1+2+3+4+...+n = n(n+1)/2
Raisonnement par récurrence :
Étudiez ce lien:
Lien Internet
On désigne par Pn : 1 + 2 + 3 + 4 + .... + n = (n²+n)/2 la proposition que l'on veut démontrer par récurrence.
n ≥ 1
1- On vérifie, par exemple, que la proposition est vraie pour n = 2
En effet
1 + 2 = (2²+2)/2 = (4+2)/2 = 6/2 = 3
2- On suppose que la proposition est vraie à l'ordre n
3- On démontre qu'elle est vraie à l'ordre n+1
Démonstration:
On a :
1 + 2 + 3 + 4 +....+ n = (n² + n)/2 ──> VRAI
Ajoutons (n+1) aux deux membres de cette égalité, on obtient :
1 + 2 + 3 + 4 +....+ n + (n + 1) = (n² + n)/2 + (n + 1)
Je vous laisse continuer.
Réponse: Raisonnement par recurrence de nisan08, postée le 26-09-2010 à 21:49:22 (S | E)
Merci à vous, je vais essayer
Réponse: Raisonnement par recurrence de plumemeteore, postée le 26-09-2010 à 23:06:22 (S | E)
Bonsoir.
Somme des n premiers nombres, si la formule est respectée jusqu'à n :
(n²+n)/2.
Somme des n+1 premiers nombres : [(n²+n)/2] + n+1 (A)
Formule appliquée à n+1 : [(n+1)²+n+1]/2 (B)
Pour démontrer que la formule est respectée encore jusqu'à n+1, il suffit de démontrer que (A) = (B).
Réponse: Raisonnement par recurrence de taconnet, postée le 27-09-2010 à 09:45:46 (S | E)
Bonjour.
Le calcul de cette somme est l'objet d'une anecdote concernant Carl Friedrich Gauss.
Le petit GAUSS, déjà très éveillé pour son âge - il avait seulement 9ans - était, comme tous les enfants surdoués, souvent turbulent.
Pour canaliser son activité débordante, son instituteur lui demanda de calculer la somme des 100 premiers nombres entiers, pensant que ce calcul l'intéresserait et l'occuperait un long moment.
L'instituteur fut médusé quand quelqes minutes plus tard, le jeune Karl lui remit la solution.
Comment avait-il fait pour calculer aussi rapidemant cette somme ?
S = 1+2+3+4+5+....+100
Il avait remarqué qu'il pouvait aussi écrire cette somme :
S = 100 +99+98+.....+3+2+1
et que l'on pouvait grouper le premier avec le dernier, puis le second avec l'avant dernier, puis le troisième avec l'antépénultième, etc....
et que la somme de ces deux nombres était toujours égale à 101.
Puisqu'il y avait 100 nombres il y avait donc 100 groupements soit 101 x 100 =10100
or 10100 représentait deux fois la somme S
Ainsi
Cette méthode se généralise:
S = 1+2+3+4+...(n-2)+(n-1)+n
S = n+(n-1)+(n-2)+ .......3+2+1
En ajoutant membre à membre ces deux égalités,on obtient n groupements de valeur (n+1)
Donc
2S = n(n+1)
soit
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