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Opérations sur les complexes
Message de titou22 posté le 24-09-2010 à 17:17:55 (S | E | F)
Bonjour à tous, merci d'avance de votre aide.
Soit (O;u,v) un repère orthonormal du plan. Soit A,B,M et M' des points d'affixes respectives 1;i;z et z'. On sait que z'=(1-i)(z-i)/(z-1)
1) On pose z=x+iy avec x et y réels.
Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de Z' en fonction de x et y.
2)Déterminer l'ensemble des points M d'affixe z tels que M' soit sur l'axe (O;v)
3)Déterminer l'ensemble des points M d'affixe z tels que M' soit sur l'axe (O;u)
Réponses:
A) je trouve z'= (1-i)(x+iy-1)/(x+iy-1)=1-i
La partie réel est donc 1 et la partie imaginaire est -i.
Pour la 2 et 3 je ne sais pas comment faire.
Merci de votre aide.
Message de titou22 posté le 24-09-2010 à 17:17:55 (S | E | F)
Bonjour à tous, merci d'avance de votre aide.
Soit (O;u,v) un repère orthonormal du plan. Soit A,B,M et M' des points d'affixes respectives 1;i;z et z'. On sait que z'=(1-i)(z-i)/(z-1)
1) On pose z=x+iy avec x et y réels.
Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de Z' en fonction de x et y.
2)Déterminer l'ensemble des points M d'affixe z tels que M' soit sur l'axe (O;v)
3)Déterminer l'ensemble des points M d'affixe z tels que M' soit sur l'axe (O;u)
Réponses:
A) je trouve z'= (1-i)(x+iy-1)/(x+iy-1)=1-i
La partie réel est donc 1 et la partie imaginaire est -i.
Pour la 2 et 3 je ne sais pas comment faire.
Merci de votre aide.
Réponse: Opérations sur les complexes de taconnet, postée le 24-09-2010 à 17:48:42 (S | E)
Bonjour.
Avez-vous correctement lu la première question ?
1) On pose z=x+iy avec x et y réels.
Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de Z' en fonction de x et y.
Vous avez trouvé (comment?) :
Z' = 1-i
Et vous écrivez le plus naturellement du monde :
La partie réelle est donc 1 et la partie imaginaire est -i !
Alors comment voulez-vous faire la suite de l'exercice !
Reprenez avec soin vos calculs.
Réponse: Opérations sur les complexes de titou22, postée le 24-09-2010 à 17:55:41 (S | E)
Je vous ai mis comment j'ai trouvé z'=1-i !
"je trouve z'= (1-i)(x+iy-1)/(x+iy-1)=1-i" j'ai donc simplifié ah je viens de m'apercevoir que au numérateur c'est +i et pas +1 donc on peut pas simplifier déjà !
1) On pose z=x+iy avec x et y réels.
Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de Z' en fonction de x et y.
En effet j'ai été vite parce que ça m'a paru assez simple.
Donc il faut que je garde x et y dans z' pour répondre à la question, je laisse le calcule comme ça alors ? z'= (1-i)(x+iy-i)/(x+iy-1)
Réponse: Opérations sur les complexes de taconnet, postée le 24-09-2010 à 18:07:54 (S | E)
Vous avez écrit :
je laisse le calcule comme ça alors ? z'= (1-i)(x+iy-i)/(x+iy-1)
Si vous ne développez pas ce calcul, vous n'arriverez pas à distinguer la partie imaginaire de la partie réelle.
Le calcul est assez long, mais ce n'est pas compliqué.
Réponse: Opérations sur les complexes de titou22, postée le 24-09-2010 à 18:17:14 (S | E)
Arf.
Donc j'arrive à z'= x+y-1-i-ix/x-1+iy
Re(Z')=x+y-1/x-1+iy
Im(Z')=-1-ix/x-1+iy
C'est ok ça ou pas ?
Réponse: Opérations sur les complexes de taconnet, postée le 24-09-2010 à 18:42:41 (S | E)
Ce n'est pas encore fini.
Il faut maintenant multiplier par l'expression conjuguée du dénominateur.
expression conjuguée : [(x-1)-iy]
Réponse: Opérations sur les complexes de titou22, postée le 24-09-2010 à 18:53:08 (S | E)
Waa c'est super long !
J'ai donc fait : z'=x+y-1-i-ix(x-1-iy) / x²+y²-2x+1
Le numérateur aussi faut que je le développe ? :O
Réponse: Opérations sur les complexes de taconnet, postée le 24-09-2010 à 19:15:12 (S | E)
Maintenant, il faut écrire le numérateur sous la forme :
A + i B
Réponse: Opérations sur les complexes de titou22, postée le 24-09-2010 à 19:25:51 (S | E)
C'est casse tête ^^
Donc j'ai factorisé et j'arrive sur la même expression :
z'= ((x+y-1) + i(-x-y-1-i)) / (x²+y²-2x+1)
Ca marche ou pas ?
Merci à vous Taconnet
Réponse: Opérations sur les complexes de taconnet, postée le 24-09-2010 à 19:58:28 (S | E)
Reprenez vos calculs.
Vous devez trouver des termes en x² et y² au numérateur.
Vous devez calculer :
(1-i)[x +i(y-1)][(x-1)-iy]
Réponse: Opérations sur les complexes de titou22, postée le 24-09-2010 à 20:44:15 (S | E)
Ah mince.
Bon donc :
z'=(1-i)[x+i(y-1)][(x-1)-iy]
z'=(1-i)[x+iyi][x+1-iy]
z'=(1-i)(x²+x+iy+y²-ix-i-y)
Z'=-ix²-iy²-ix+iy-i²y+i²x+i²+iy
z'=-ix²-iy²-ix+iy+y-x-1+iy
Réponse: Opérations sur les complexes de taconnet, postée le 24-09-2010 à 22:38:21 (S | E)
C'est du calcul algébrique du niveau d'une classe de quatrième.
Application de la double distributivité.
Exemple:
[(x+3) -iy][2x +i(y-2)]= 2x(x+3)+i(y-2)(x+3)-2ixy -i²y(y-2)──> i²=-1
on développe le second membre
(x+3 -iy)(2x +i(y-2)= 2x²+6x +i(xy -2x+3y-6)-2ixy +y²-2y
(x+3 -iy)(2x +i(y-2)= 2x²+6x +y²-2y + i(3y-2x-xy-6)
la partie réelle est : 2x²+y²+6x-2y
la partie imaginaire est : 3y -2x -xy -6
Réponse: Opérations sur les complexes de titou22, postée le 25-09-2010 à 11:26:47 (S | E)
Ah d'accord j'avais pas capté les deux produits.
Donc je trouve :
[x+i(y-1)][(x-1)-iy]
=x(x+1)+i(y-2)(x+1)-xiy-i²y(y-1)
=x²+x+i(yx+y-2x-2)-ixy+y²-y
=x²+y²+x-y+i(y-2x-2).
Mais le (1-i) devant on en fait quoi ?
Merci de votre aide !
Réponse: Opérations sur les complexes de taconnet, postée le 25-09-2010 à 11:38:10 (S | E)
Il faut continuer à développer...
Réponse: Opérations sur les complexes de titou22, postée le 25-09-2010 à 11:56:44 (S | E)
Aïe.
Donc :
Z'=(1-i)(x²+y²+x-y+i(y-2x-2))
Z'=(1-i)(x²+y²+x-y+iy-2ix-2i)
Z'=x²+y²+x-y+iy-2ix-2i-ix²-iy²-ix+iy-i²y+2i²x+2i²
Z'=x²+y²+x-y+iy-2ix-2i-ix²-iy²-ix+iy+y-2x-2
Z'=x²+y²-x+2iy-3ix-2i-ix²-iy²-2
Z'=x²+y²-x-2+i(-x²-y²-3x+2y-2)
J'ai fais des erreurs ?
Merci beaucoup à vous !
Réponse: Opérations sur les complexes de taconnet, postée le 25-09-2010 à 12:25:54 (S | E)
[x+i(y-1)][(x-1)-iy]
=x
(x+1)+i(y-2)(x+1)-xiy-i²y(y-1)=x²+x+i(yx+y-2x-2)-ixy+y²-y
=x²+y²+x-y+i(y-2x-2).
Pourquoi écrivez-vous :
x(x+1) ?
i(y-2)(x+1) ?
En développant on doit obtenir:
x(x-1)-ixy + i(y-1)(x-1)-i²y(y-1)
Reprenez tous vos calculs.
Réponse: Opérations sur les complexes de titou22, postée le 25-09-2010 à 13:04:33 (S | E)
Grrr j'en sais rien pourquoi j'ai mis un + à la place d'un moins, c'est sûrement parce que j'adore me planter !
J'ai dû trop prendre exemple sur le votre et j'ai oublié de remplacer les valeurs donc j'ai fais un mixte^^.
Oui c'est tout à fait cela : x(x-1)-ixy + i(y-1)(x-1)-i²y(y-1)
Donc ça fait en simplifiant et développant :
x²+y²-x-y+i(-y-x+1)
En rajoutant le 1-i ça fait :
Z'=(1-i)(x²+y²-x-y+i(-y-x+1))
Z'=(1-i)(x²+y²-x-y-iy-ix+i)
Z'=x²+y²-x-y-iy-ix+i-ix²-iy²+ix+iy+i²y+i²x-i²
Z'=x²+y²-x-y-iy-ix+i-ix²-iy²+ix+iy-y-x+1
Z'=x²+y²-2x-2y+i-ix²-iy²+1
Z'=(x²+y²-2x-2y+1+i(-x²-y²))/x²+y²-2x+1
Donc :
La partie réelle est x²+y²-2x-2y/x²+y²-2x+1
La partie imaginaire est (i(-x²-y²))/x²+y²-2x+1
Voilà bon j'espère que je ne me suis pas encore tromper !
Merci à vous Taconnet !
Réponse: Opérations sur les complexes de taconnet, postée le 25-09-2010 à 13:32:55 (S | E)
Bien évidemment oui !
Z'=x²+y²-x-y-iy-ix+
i-ix²-iy²+ix+iy-y-x+1Ces deux termes doivent obligatoirement apparaître!
Reprenez vos calculs :
Vous devez obtenir :
La partie réelle est x²+y²-2x-2y + 1/x²+y²-2x+1
La partie imaginaire est (
Remarquez que:
x² +y²- 2x +1 = (x-1)² + y², c'est une somme de deux carrés.
Donc cette expression est positive ou éventuellement nulle pour x=1 et y = 0.
(x-1)² + y² est nulle au point A.
Réponse: Opérations sur les complexes de titou22, postée le 25-09-2010 à 13:53:41 (S | E)
Vous devez obtenir :
La partie réelle est x²+y²-2x-2y + 1/x²+y²-2x+1
La partie imaginaire est (i(-x²-y²+ 1))/x²+y²-2x+1
On est d'accord pour la partie réelle car j'ai oublié de mettre le +1 du -i² d'ici : Z'=x²+y²-x-y-iy-ix+i-ix²-iy²+ix+iy+i²y+i²x-i²
Mais pour la partie imaginaire je n'en ai pas à mettre. Vous m'avez fait remarquer que Z'=x²+y²-x-y-iy-ix+
i-ix²-iy²+ix+iy-y-x+1Je comprends le 2ème
que j'avais oublié de mettre dans ma conclusion de la partie réelle.Ah j'ai capté ^^ parce que sinon si je mets pas le 1 dans (i(-x²-y²+ 1))/x²+y²-2x+1 je ne retrouverais plus le i solitaire ^^.
Bon eh bien merci de votre aide, au début du post je pensais que ça ne me poserait pas de problèmes et c'était beaucoup plus compliquer je ne pensais. Merci à vous !
Donc maintenant il y a la question 2 et 3 qui ne me disent rien du tout, je ne sais pas comment faire...
Merci de soutient !!!
Réponse: Opérations sur les complexes de fr, postée le 25-09-2010 à 14:36:16 (S | E)
Bonjour,
Attention la partie imaginaire est un nombre réel : dans l'écriture z=x+iy, la partie imaginaire est y (et non iy !)
Donc la partie imaginaire est (-x²-y²+ 1)/(x²+y²-2x+1)
Pour les questions 2 et 3, comment caractériser l'affixe d'un point M sur l'axe des abscisses, sur l'axe des ordonnées ...
Pour vous simplifier la réponse, vous pouvez mettre la partie réelle sous la forme (n'oubliez pas les parenthèses, sinon cela peut prêter à confusion ...):
[(x-1)²+(y-1)² -1]/(x²+y²-2x+1)
La partie imaginaire valant (1-x²-y²)/(x²+y²-2x+1), que représente x²+y² par rapport à OM ?
(si vous n'avez pas d'idée, peut-être que la forme √(x²+y²) vous dira quelque chose ...)
Attention, le point z' n'est défini que pour z<>1 (donc le point A n'a pas d'image M')
Réponse: Opérations sur les complexes de titou22, postée le 25-09-2010 à 17:42:39 (S | E)
En effet ça me dit quelque chose ! C'est r car dans mes cours de l'année dernière (première S) on en avait besoin pour les coordonnées polaires j'crois
Donc r=OM=racine(a²+b²).
Cela me dit pas plus ce que je dois faire
. Vous ne pourriez pas me montrer un exemple ?Merci de votre aide
Réponse: Opérations sur les complexes de titou22, postée le 25-09-2010 à 19:38:47 (S | E)
Help please :D
Réponse: Opérations sur les complexes de fr, postée le 25-09-2010 à 20:12:13 (S | E)
Prenons les choses dans l'ordre :
2) Déterminer l'ensemble des points M d'affixe z tels que M' soit sur l'axe (O;v)
Les points qui se situent sur axe (O;v) ont leur ... à ...
Il faut donc chercher les points M' dont la partie ... de l'affixe est ...
Réponse: Opérations sur les complexes de titou22, postée le 25-09-2010 à 20:23:30 (S | E)
2) Déterminer l'ensemble des points M d'affixe z tels que M' soit sur l'axe (O;v)
Les points qui se situent sur axe (O;v) ont leur affixe sur l'axe des ordonnées.
Il faut donc chercher les points M' dont la partie imaginaire de l'affixe est sur l'axe des ordonnées.
Faut se servir de la formule de la question 1 je suppose. Si on parle des imaginaires il faut alors prendre : (i(-x²-y²+1))/(x²+y²-2x+1)
Mais que faire avec cette formule ?
Merci à vous fr
Réponse: Opérations sur les complexes de taconnet, postée le 25-09-2010 à 23:26:13 (S | E)
Bonjour.
Écrivez :
Z' = partie réelle + i partie imaginaire.
partie réelle = ...
partie imaginaire = ...
Réponse: Opérations sur les complexes de iza51, postée le 25-09-2010 à 23:27:30 (S | E)
bonsoir titou22
revoir le cours est nécessaire ^^
un point d'affixe Z appartient à l'axe des ordonnées si et seulement si Z est un imaginaire pur, c'est-à dire si et seulement si sa partie réelle est nulle
un point d'affixe Z appartient à l'axe des abscisses si et seulement si Z est un réel, c'est-à dire si et seulement si sa partie imaginaire est nulle
3) Déterminer l'ensemble des points M d'affixe z tels que M' soit sur l'axe (O;u) axe des abscisses
M' appartient à l'axe (O; vecteur(u)) équivaut à
rappel: il est inutile de développer un dénominateur qui s'écrit sous la forme de somme de carrés
-------------------
Modifié par iza51 le 27-09-2010 20:40.
Erreur d'inattention; j'avais interverti partie réelle et partie imaginaire ; j'ai maintenant corrigéRéponse: Opérations sur les complexes de titou22, postée le 26-09-2010 à 12:06:27 (S | E)
Ah oui faut se servir de cette définition, d'accord.
Donc démonter que la partie réelle est égale à 0 il faut donc la calculer je trouve:
(x-1)²+y² soit donc être différent de 0 :
(x-1)² = 0 et y²=0
x-1=0 et y=0
x=1 et y=0
donc z différent de 1 + oi
1-x²-y²=0
Là je ne vois pas trop comment tourner ça pour que ce soit égal à 0...
Merci de votre soutient à tous !
Réponse: Opérations sur les complexes de iza51, postée le 26-09-2010 à 12:11:06 (S | E)
rappel: le quotient A/B est nul lorsque A=0 et B≠0
z=x+ i y avec x et y réels
z≠1 (dénominateur non nul) et 1-x²-y²=0 (numérateur nul)
soit z≠1 et 1=x²+y²
tu devrais reconnaitre l'équation 1=x²+y² comme celle d'un ensemble connu
Réponse: Opérations sur les complexes de titou22, postée le 26-09-2010 à 12:18:51 (S | E)
soit z≠i et 1=x²+y²
Exactement j'ai trouvé ceci mais comme le numérateur n'était pas égal à 0 proprement dit j'ai pas capté^^.
1=x²+y² ==> j'ai de brief souvenir de l'année dernière où on disait que c'était un cercle et là un cercle de rayon 1 j'crois non ?
Conclusion : L'ensemble des points M d'affixe z tels que M' soit sur l'axe (O,v) est le cercle de centre K(x;y) et de rayon 1 privé d'un point A d'affixe 1.
Pour la 3)
Un point d'affixe z appartenant à l'axe des abscisses si et seulement si z est réel, c'est-à-dire si et seulement si sa partie imaginaire est nulle ce qui équivaut à x²+y²-2x-2y+1/(x-1)²+y²
x²+y²-2x-2y+1=0 et (x-1)²+y² différent de 0
(x-1)²+(y-1)²=1 et z différent de 1
L'ensemble des points M d'affixe z tels que M' soit sur l'axe (O,u) est un cercle de centre oméga d'affixe 1-1i, de rayon 1 privé d'un pts A d'affixe 1.
Mais j'crois qu'il y a eu une inversion des formules...
Réponse: Opérations sur les complexes de titou22, postée le 27-09-2010 à 20:21:24 (S | E)
HELP
Réponse: Opérations sur les complexes de iza51, postée le 27-09-2010 à 20:50:57 (S | E)
x²+y²=1 est l'équation du cercle de centre O et de rayon 1
mais attention l'ensemble cherché n'est pas le cercle tout entier; le point d'affixe z=1 y appartient
Relis mon post d'hier; j'ai apporté des corrections
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