Maximum et minimum

Maximum et minimum

<< Forum maths || En bas

[POSTER UNE NOUVELLE REPONSE] [Suivre ce sujet]

Maximum et minimum
Message de jo5vsspg posté le 31-07-2010 à 10:37:56 (S | E | F)
Bonjour,

Je n'ai pas su comment faire ces questions:

1) Déterminer le minium sur R(l'ensemble des nombres réèls) des fonctions ci-dessous:

1-a) ƒ: x→1+ $\left|x \right|$ +2 x $^{2}$

1-b) g: x→ $\left|x+1 \right|-4$

2) Déterminer le maximum sur R(l'ensemble des nombres réèls) des fonctions ci-dessous:

2-a) h: x→ $\frac{1}{\left|x \right|+3}+1$

2-b) k: x→ $\frac{2}{1+x^{2}}-3$

Merci d'avance

Réponse: Maximum et minimum de polololo, postée le 31-07-2010 à 15:34:26 (S | E)
Bonjour,
1-a)on a f appartient à R et on veut calculer le minimum de la fonction c'est à dire là o``u la pente est nulle,en langage mathématique on calcule le minimum ou le maximum en dérivant la fonction , mais là on a une valeur absolue , on peut procéder comme suit:
on va diviser la fonction en deux partie , la première partie quand l'intérieur de la valeur absolue est >0 et quand il est <0 ,puis on égalise les deux fonction pour pouvoir determiner le point d'intersection qui sera un extremum.
quand(x>0) f=1+x+2*x^2
quand(x<0) f=1-x+2*(-x)^2=1-x+2*x^2

maintenant on égalise les deux => 1+x+2*x^2=1-x+2*x^2 => 2*x=0 =>x=0
finalement on remplace la valeur de x trouvée dans l'une des fonction , on trouve f=1 => donc l'extremum est un minimum ( puisque lim(f)x->-00=+00 et lim(f)x->+00=+00) est le point(0,1).
tu procède ainsi , jusqu'à la dernière question ou tu dois dériver la fonction pour pouvoir déterminer son maximum.

Réponse: Maximum et minimum de fr, postée le 31-07-2010 à 16:12:47 (S | E)
Bonjour,

Bien que la solution de POLOLOLO est bonne (extrémum en x=0), la méthode n'est pas bonne

En effet, si l'on considère la fonction f(x)=1+2x+|x|+2x² l'extrémum n'est pas en x=0

Voici une méthode générique avec des valeurs absolues :

On considère les intervalles sur lesquels la valeur absolue a un signe donné, et on cherche l'extrémum sur chacun des intervalles, ensuite on conclue pour l'extrémum global (en vérifiant que l'extrémum trouvé est bien dans l'intervalle considéré) :

Exemple sur f(x)=1+2x+|x|+2x²:

pour x>=0, f(x)=1+2x+x+2x²=1+3x+2x², dont le minimum est donné par la dérivée : 4x+3=0 <=> x=-3/4, cette valeur n'étant pas dans l'intervalle de définition (puisqu'on a supposé x>=0), et que la fonction est croissante (la dérivée est >0 sur l'intervalle [0;+infini[), le minimum sur cet intervalle est donné avec x=0, soit f(0)=1

pour x<=0, f(x)=1+2x-x+2x²=1+x+2x², dont le minimum est donné par la dérivée : 4x+1=0 <=> x=-1/4, avec f(-1/4) = 1-1/4+2*(-1/4)² = 1-1/4+2/16=7/8 < 1

Donc on voit bien que le minimum est sur ]-infini,0[ et non lorsque les 2 expressions sont égales ... le minimum est donc pour x=-1/4, avec f(-1/4)=7/8

Réponse: Maximum et minimum de polololo, postée le 31-07-2010 à 16:20:18 (S | E)
saut,

bien dit fr , désolé je n'ai pas fait attention

Réponse: Maximum et minimum de jo5vsspg, postée le 31-07-2010 à 21:15:49 (S | E)

beaucoup fr et poolo...
Mais, je n'ai pas encore étudié la dérivée... Je ne comprends pas le passage de $1+3x+2x^{2}$ vers 4x+3=0...

Pardon... Aidez-moi s'il vous plait

Réponse: Maximum et minimum de jo5vsspg, postée le 31-07-2010 à 21:17:59 (S | E)
pardon poolo, je ne sais pas comment l'émoticonne est écrit dans ton nom

Réponse: Maximum et minimum de jo5vsspg, postée le 31-07-2010 à 21:19:13 (S | E)
poLoLoLo

Réponse: Maximum et minimum de iza51, postée le 01-08-2010 à 09:19:51 (S | E)
bonjour
pour étudier ces fonctions sans connaitre la dérivée, on peut utiliser es théorèmes relatifs aux sommes de fonctions de même sens et aux composées de fonctions
cas a) la fonction est la somme de la fonction valeur absolue et de la fonction x-> 2x²+1 qui sont des fonctions croissantes sur [0; +∞[ et décroissantes sur ]-∞;0].
pour le prouver:
la fonction valeur absolue est connue
la deuxième fonction peut être décomposée en fonctions usuelles

On peut conclure que la fonction est croissante sur [0; +∞[ et décroissante sur ]-∞;0].

cas suivants: les fonctions peuvent être décomposées en fonctions usuelles de variations connues

rappel si la fonction u est définie sur I et si la fonction v est croissante sur J tel que J contienne u(I), alors u et vou ont le même sens de variations sur I
et si la fonction u est définie sur I et si la fonction v est décroissante sur J tel que J contienne u(I), alors u et vou ont des sens de variations contraires sur I

Réponse: Maximum et minimum de dadil, postée le 06-08-2010 à 11:21:32 (S | E)
Pour répondre au plus près au problème de j05vsspg, on écarte la notion de dérivée,outil pratique et puissant,mais non nécessaire pour étudier les extremums d’une fonction. Dans l’exemple proposé, il suffit de connaître les définitions d’une fonction monotone et la notion de taux d’accroissement (programme de seconde).
Il s’agit d’étudier le minimum de f(x)=1+|x|+x^2
Etude sur ]-∞,0] , on a ici f(x)=1-x+x^2
Si x et y sont deux éléments de ]-∞,0] alors (f(x)-f(y))/(x-y)=-1+x+y (détail de calculs au soin du lecteur) expression négative sur ]-∞,0].
Si x f(x)-f(y)≥0 soit f(x)≥f(y). La fonction est donc décroissante sur ]-∞,0].
Etude sur [0,+∞[, on a ici f(x)=1+x+x^2
Si x et y sont deux éléments de [0,+∞[ alors (f(x)-f(y))/(x-y)=1+x+y (détail de calculs au soin du lecteur) expression positive sur [0,+∞[
Si x f(x)-f(y)≤0 soit f(x)≤f(y). La fonction est donc croissante sur [0,+∞[.
Conclusion : La fonction est donc décroissante sur ]-∞,0], La fonction est croissante sur [0,+∞[. La fonction f est continue sur R (Condition indispensable !!!) Elle admet donc un minimum absolu égal à 1 (f(0)=1).

Réponse: Maximum et minimum de dadil, postée le 06-08-2010 à 11:30:55 (S | E)
Désolé, dans le premier message des caractères ont disparu, esperons que cette fois est la bonne.
Pour répondre au plus près au problème de j05vsspg, on écarte la notion de dérivée,outil pratique et puissant,mais non nécessaire pour étudier les extremums d’une fonction. Dans l’exemple proposé, il suffit de connaître les définitions d’une fonction monotone et la notion de taux d’accroissement (programme de seconde).
Il s’agit d’étudier le minimum de f(x)=1+|x|+x^2
Etude sur ]-∞,0] , on a ici f(x)=1-x+x^2
Si x et y sont deux éléments de ]-∞,0] alors (f(x)-f(y))/(x-y)=-1+x+y (détail de calculs au soin du lecteur) expression négative sur ]-∞,0].
Si x ]-∞,0].
Etude sur [0,+∞[, on a ici f(x)=1+x+x^2
Si x et y sont deux éléments de [0,+∞[ alors (f(x)-f(y))/(x-y)=1+x+y (détail de calculs au soin du lecteur) expression positive sur [0,+∞[
Si x Conclusion : La fonction est donc décroissante sur ]-∞,0], La fonction est croissante sur [0,+∞[. La fonction f est continue sur R (Condition indispensable !!!) Elle admet donc un minimum absolu égal à 1 (f(0)=1).

Réponse: Maximum et minimum de dadil, postée le 06-08-2010 à 11:39:51 (S | E)
Bon eh bien j'essaie une dernière fois, j'ai supprimé les caractères qui ne passent pas et remplacé en langage courant. De toute façon, on peut comprendre les textes précédents même avec difficulté mais, désolé, j'ai fait de mon mieux
Pour répondre au plus près au problème de j05vsspg, on écarte la notion de dérivée,outil pratique et puissant,mais non nécessaire pour étudier les extremums d’une fonction. Dans l’exemple proposé, il suffit de connaître les définitions d’une fonction monotone et la notion de taux d’accroissement (programme de seconde).
Il s’agit d’étudier le minimum de f(x)=1+|x|+x^2
Etude sur ]-∞,0] , on a ici f(x)=1-x+x^2
Si x et y sont deux éléments de ]-∞,0] alors (f(x)-f(y))/(x-y)=-1+x+y (détail de calculs au soin du lecteur) expression négative sur ]-∞,0].
Si x est plus petit que y alors f(x)-f(y)≥0 soit f(x)≥f(y). La fonction est donc décroissante sur ]-∞,0].
Etude sur [0,+∞[, on a ici f(x)=1+x+x^2
Si x et y sont deux éléments de [0,+∞[ alors (f(x)-f(y))/(x-y)=1+x+y (détail de calculs au soin du lecteur) expression positive sur [0,+∞[
Si x est plus petit que y alors f(x)-f(y)≤0 soit f(x)≤f(y). La fonction est donc croissante sur [0,+∞[.
Conclusion : La fonction est donc décroissante sur ]-∞,0], La fonction est croissante sur [0,+∞[. La fonction f est continue sur R (Condition indispensable !!!) Elle admet donc un minimum absolu égal à 1 (f(0)=1).

[POSTER UNE NOUVELLE REPONSE] [Suivre ce sujet]

<< Forum maths