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Integrales
Message de mimilamouse posté le 24-04-2010 à 17:58:46 (S | E | F)
Bonjour, POurriez vous m'aider s'il vous plait ?
1- Soit f la fonction définie sur [1;+OO[ par f (x) : x/ (e^x-1) et soit H la fonction définie sur [1;+00[ par H (x) : INtegrale de 1 à x f(t) dt
a- Justifier que f et H sont bien définies sur [1; +00[
(Il faut voir si la fonction est continue mais lorque j'étudie le signe du dénominateur je ne retrouve pas 1 :s )
b- Quelle relation existe-t-il entre H et f ?
c- Soit C la courbe representative de f dans un repere orthonormal (o,i,j) du plan. Interpréter en termes d'aires le nombre H(3).
Voila. Merci de m'aider :s
Message de mimilamouse posté le 24-04-2010 à 17:58:46 (S | E | F)
Bonjour, POurriez vous m'aider s'il vous plait ?
1- Soit f la fonction définie sur [1;+OO[ par f (x) : x/ (e^x-1) et soit H la fonction définie sur [1;+00[ par H (x) : INtegrale de 1 à x f(t) dt
a- Justifier que f et H sont bien définies sur [1; +00[
(Il faut voir si la fonction est continue mais lorque j'étudie le signe du dénominateur je ne retrouve pas 1 :s )
b- Quelle relation existe-t-il entre H et f ?
c- Soit C la courbe representative de f dans un repere orthonormal (o,i,j) du plan. Interpréter en termes d'aires le nombre H(3).
Voila. Merci de m'aider :s
Réponse: Integrales de whims, postée le 24-04-2010 à 18:03:22 (S | E)
Merci de nous présenter ton sujet.
Peux-tu maintenant nous dire où tu en es ? Quelles difficultés tu rencontres ? Qu'est-ce qui te bloques ?
Réponse: Integrales de mimilamouse, postée le 24-04-2010 à 18:21:27 (S | E)
Pour la 1-a- Je dérive f et je trouve ( e^x(1-x) -1 ) / (e^x-1)^2Ensuite je crois qu'on peut faire ca =
x superieure a 0
e^x (1-x) -1 superieur a 0
e^x ( 1-x) superieur a 1
ln e^x (1-x) superieur a ln 1
1-x superieur a 0
-x superieur a -1
x superieur a 1
Je fais un tableau de signe pour mettre toutes ses valeurs et un tableau de variation pour montrer que la fonction est continue et la je peux dire que c'est bien définie sur [1; + 00[
Pour la b- La relation est que H est l'integrale de f ? Pour la c - Je pense qu'il faut calculer l'integrale de H(x) pour ensuite pour voir calculer H(3) Voila ce que j'ai trouvé jusqu'ici
Réponse: Integrales de whims, postée le 24-04-2010 à 18:40:19 (S | E)
Pour la 1a) on te demande si les fonctions sont bien définies sur l'intervalle. Pour celà tu dois montrer qu'elles sont continues (comme tu l'as dit).
En fait tu ne peux pas les dériver avant d'avoir montrer la continuité (enfin en théorie, parce qu'en pratique tu sais bien qu'elle sont continue et qu'il faudra les dériver à un moment ou un autre...)
Pour montrer la continuité sur un intervalle, il faut montrer la continuité en tout point de l'intervalle. Mais bon... Y'en a une infinité donc on fait pas vraiment ça.
Si la fonction est définie le problème se pose pas. Et elle est effectivement définie en tout point, sauf... Les extrémités (en cas d'intervalles ouverts) : Ici, +oo
Montre donc la continuité en ce point. La continuité à gauche naturellement. Tu sais comment le faire ?
Pour la 1b) je dirai comme toi ^^
Pour la 1c) je pense que c'est bien plus simple. On te demande la relation entre H(3) et une certaine aire en relation avec la courbe C.
Réponse: Integrales de mimilamouse, postée le 24-04-2010 à 19:05:55 (S | E)
Pour montrer la continuité je dois étudier la limite en +00 ?
Et pour la c- il faut se rapporter a la reponse de la b- ?
Réponse: Integrales de whims, postée le 24-04-2010 à 19:13:39 (S | E)
Pour la continuité, oui on regarde la limite, si elle est définie ou non. Du moins c'est ce dont je me souviens. Au pire tu jettes un coup d'œil à ton cours.
Et pour la c), quelle est le lien entre l'aire de la courbe représentative d'une fonction et sa dérivée ?
Réponse: Integrales de mimilamouse, postée le 24-04-2010 à 19:45:38 (S | E)
Je pense que la dérivée correspond à l'aire de la courbe représentative mais je ne suis pas sure
Réponse: Integrales de whims, postée le 24-04-2010 à 20:24:21 (S | E)
En effet, il y a un gros (GROS) lien : réfère-toi à ton cours.
Mais l'aire sous la courbe est infini. On te demande pas H(3) pour rien ...
Réponse: Integrales de mimilamouse, postée le 24-04-2010 à 23:59:11 (S | E)
En fin de compte pour cette questiion je vais diire que c'est l'aire sous la courbe f entre les verticales 1 et 3 car on me demande seulement d'interpréter
Réponse: Integrales de jonew10, postée le 25-04-2010 à 00:14:32 (S | E)
C'est ce ke je ferais aussi ;)
Pour le reste, ça me semble ok.
Réponse: Integrales de mimilamouse, postée le 25-04-2010 à 00:17:32 (S | E)
ok merci beaucoup !
Parcontre je suis seriieusement cette questiion :s
2- On se propose, dans cette questiion, de donner un encadrement du nombre H(3).
a- Montrer que pour tout réel x superieur a 0, x/ (e^x-1) = x * e^-x / ( 1-e^-x)
J’ai seulement remarquée pour cette question que e^-x = 1/e^x
b- En deduire que integrale de 1 a 3 f(x) dx = 3 ln ( 1- 1/e^3) – ln ( 1- 1/e) – integrale de 1 a 3 ln (1-e^-x) dx
c- Montrer que si 1 < ou egal a x < ou egal a 3 alors ln (1-1/e)< ou egal a ln (1-e^-x) < ou egal a ln (1-1/e^3)
d- En deduire un encadrement de integrale de 1 a 3 ln (1-e^-x) dx puis de integrale de 1 a 3 f(x) dx
Réponse: Integrales de iza51, postée le 25-04-2010 à 07:36:28 (S | E)
bonjour
1° a)
la fonction f est définie sur l'ensemble des réels de [1; + ∞[ tels que ex-1≠0
Or ex-1=0 pour x=0 uniquement
donc f est définie sur [1; + ∞[
continuité:
la définition n'entraine pas la continuité, contrairement à ce qui est affirmé dans les posts précédents; c'est la dérivabilité qui entraine la continuité mais avant de dériver il faut justifier que la fonction est bien dérivableon utilise ici les théorèmes relatifs à "continuité et opérations"
f est le quotient de la fonction x->x qui est continue sur [1; + ∞[ et de x-> ex-1, qui est continue sur [1; + ∞[ et qui ne s'annule pas sur [1; + ∞[
on peut conclure que f est continue sur [1; + ∞[
f est continue donc f est intégrable sur [1; + ∞[ donc la fonction H est donc alors bien définie sur [1; + ∞[
H est la primitive de f sur [1; + ∞[ qui s'annule en x=1
donc H est dérivable sur [1; + ∞[ et sa dérivée est f
Puisque H est dérivable, alors H est continue sur [1; + ∞[
1° b) on a vu que H est la primitive de f sur [1; + ∞[ qui s'annule en x=1
donc H'=f
1° c) la fonction f est strictement positive sur [1; +∞[, donc H(3) = aire (en unités d'aires) de la partie du plan comprise entre la courbe de f , l'axe des abscisses, et les droites d'équations x=1 et x=3
2° a) pour montrer l'égalité demandée, on multiplie numérateur et dénominateur par e-x et on utilise la propriété exe-x=e0=1
2° b) une intégration par parties semble appropriée ...
c) un travail sur les inégalités
Réponse: Integrales de mimilamouse, postée le 25-04-2010 à 17:23:21 (S | E)
J'ai trouvé pour la 2)a- et 2) b-
Pour la 2) c - = pour la question 2) c -
J'ai mis 1
On applique l'integrale , qu'on a trouvé à la question précédente, aux 3 membres.
ln(1-(1/ê) < ln (1-e^-x) < ln ( 1- (1/e^3)
Réponse: Integrales de mimilamouse, postée le 25-04-2010 à 17:30:54 (S | E)
Pour la 2) d-
je pense que ce n'est paspossible d'integrer puisqu'on ne connait pas la primitive de ln (u)
Réponse: Integrales de taconnet, postée le 25-04-2010 à 17:47:57 (S | E)
Bonjour.
Contrairement à ce que vous pensez, considérez la fonction :
f(x) = xlnx - x
dérivez f(x)
f'(x) = ...
Que devez-vous en conclure ?
Pour montrer que :
Il faut faire une intégration par parties
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