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Logarithme népérien
Message de mimilamouse posté le 28-02-2010 à 13:24:55 (S | E | F)
Bonjour, j'ai ce DM a faire et j'ai certaines difficultés :s
Sujet
1 ) La fonction h est définie sur IR+* par
h(x)=x²+1-ln x
Etudier les variations de la fonction h et en deduire son signe.
2 ) La fonction p est definie sur IR+* par
p(x)= x + (ln x ) / x
a- CAlculer sa dérivée p' (x). Etudier son signe et en déduire les variations de la fonction p.
b- Etudier les limites de p en 0 et en + l'infini.
c- Déterminer les points de Cp en lesquels la tangente est parallele a la droite.
Solution (ce que j'ai pu faire ... :s)
1 ) POur étudier les variations, je trouve décroissante de 0 à 1/2 et croissante de 1/2 à + l'infini
2 ) a - Et la j'ai un soucis parce que en dérivant p (x) je trouve (x²+1-ln x)/x²
Je dis que le dénominateur est positif donc j'etudie le numerateur. Je trouve alors 1 solution qui après vérification n'a pas l'air d'etre ca.
Je trouve (-1+ racine de 5)/2
b - Je crois que lim ( en x tend vers 0 ) ln x / x : Forme indéterminée ...
et que lim (en x tend vers + l'infini ) p(x) : + l'infini
c- Je pense qu'il faut utiliser f'(x) : 1
Merci de m'aider
Message de mimilamouse posté le 28-02-2010 à 13:24:55 (S | E | F)
Bonjour, j'ai ce DM a faire et j'ai certaines difficultés :s
Sujet
1 ) La fonction h est définie sur IR+* par
h(x)=x²+1-ln x
Etudier les variations de la fonction h et en deduire son signe.
2 ) La fonction p est definie sur IR+* par
p(x)= x + (ln x ) / x
a- CAlculer sa dérivée p' (x). Etudier son signe et en déduire les variations de la fonction p.
b- Etudier les limites de p en 0 et en + l'infini.
c- Déterminer les points de Cp en lesquels la tangente est parallele a la droite.
Solution (ce que j'ai pu faire ... :s)
1 ) POur étudier les variations, je trouve décroissante de 0 à 1/2 et croissante de 1/2 à + l'infini
2 ) a - Et la j'ai un soucis parce que en dérivant p (x) je trouve (x²+1-ln x)/x²
Je dis que le dénominateur est positif donc j'etudie le numerateur. Je trouve alors 1 solution qui après vérification n'a pas l'air d'etre ca.
Je trouve (-1+ racine de 5)/2
b - Je crois que lim ( en x tend vers 0 ) ln x / x : Forme indéterminée ...
et que lim (en x tend vers + l'infini ) p(x) : + l'infini
c- Je pense qu'il faut utiliser f'(x) : 1
Merci de m'aider
Réponse: Logarithme népérien de taconnet, postée le 28-02-2010 à 15:05:20 (S | E)
Bonjour.
Vous avez fait une erreur en calculant la dérivée de la fonction h.
h est décroissante sur ]0 ; √2/2]
h est croissante sur [√2 /2 ; +∞[
lorsque vous calculez la valeur du minimum pour x = √2/2, (n'oubliez pas que ln(√2/2) est un nombre négatif) Vous trouvez donc que la représentation graphique de h ne coupe pas l'axe des abscisses donc que h(x) > 0 sur l'intervalle ]0 ; + ∞ [
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