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Dérivation-Fonction
Message de mathjulie posté le 22-02-2010 à 14:48:57 (S | E | F)
Bonjour, j'ai un exercice que je ne parviens pas à résoudre, pourriz vous m'aider, voici l'énoncé:
ABCD est un rectangle tel que AB=2 et AD=4
soit L un point qui se déplace sur le segment CD on pose DL = k
On appelle I le point d'intersection des droites AL et DB, et on note S(k) la somme des aires des triangles ABI et DIL. L'objectif est de détermier pour quelles valeurs de k cette aire est minimale.
Pour cela on considère le repère (A; i ; j ) du plan telque le vecteur AD = 4i
le vecteur AB = 2j
1) Faire une figure , donc je n'ai pas de difficultées
2) a. Déterminer les coordonnées des points A, B , L, D dans le repère.
J'obtiens mais je ne sais pas comment justifier:
A(0;0) / D(4;0) / B(0;2) / C(4;2) / L(4;k)
b. Déterminer les équations réduites des droites AL et DB dans le repère.
J'obtiens, mais je ne sais pas non plus comment le justifer:
(AM): (k/4)x - y = 0
(DB): (1/2)x + 2 = 0
c.En déduire les coordonnées de I dans le repère.
Ma réponse: les coordonnées des points d'intersections vérifient l'équation:
(1/2)x + 2 - y = 0 -------------> (1/2)x + 2 -(k/4)x = 0
(k/4)x - y = 0 -------------> y= (k/4)x
((2-k)x)/2 = -1 -------------> x = -2 /(2-k)
y= (k/4)x -------------> y = -k/(4-2k)
Donc I( -2 /(2-k) ; -k/(4-2k) )
3) a. Déterminer l'expression des aires des triangles ABI et DIL en fonction de k, puis l'expression des S(k), pour k=0 , pour k=2, puis pour k appartenant à ]0;1[ .
b. Montrer que la fonction S admet un minimum sur l'intervalle ]0;2[.
4) Conclure
Merci d'avance
Message de mathjulie posté le 22-02-2010 à 14:48:57 (S | E | F)
Bonjour, j'ai un exercice que je ne parviens pas à résoudre, pourriz vous m'aider, voici l'énoncé:
ABCD est un rectangle tel que AB=2 et AD=4
soit L un point qui se déplace sur le segment CD on pose DL = k
On appelle I le point d'intersection des droites AL et DB, et on note S(k) la somme des aires des triangles ABI et DIL. L'objectif est de détermier pour quelles valeurs de k cette aire est minimale.
Pour cela on considère le repère (A; i ; j ) du plan telque le vecteur AD = 4i
le vecteur AB = 2j
1) Faire une figure , donc je n'ai pas de difficultées
2) a. Déterminer les coordonnées des points A, B , L, D dans le repère.
J'obtiens mais je ne sais pas comment justifier:
A(0;0) / D(4;0) / B(0;2) / C(4;2) / L(4;k)
b. Déterminer les équations réduites des droites AL et DB dans le repère.
J'obtiens, mais je ne sais pas non plus comment le justifer:
(AM): (k/4)x - y = 0
(DB): (1/2)x + 2 = 0
c.En déduire les coordonnées de I dans le repère.
Ma réponse: les coordonnées des points d'intersections vérifient l'équation:
(1/2)x + 2 - y = 0 -------------> (1/2)x + 2 -(k/4)x = 0
(k/4)x - y = 0 -------------> y= (k/4)x
((2-k)x)/2 = -1 -------------> x = -2 /(2-k)
y= (k/4)x -------------> y = -k/(4-2k)
Donc I( -2 /(2-k) ; -k/(4-2k) )
3) a. Déterminer l'expression des aires des triangles ABI et DIL en fonction de k, puis l'expression des S(k), pour k=0 , pour k=2, puis pour k appartenant à ]0;1[ .
b. Montrer que la fonction S admet un minimum sur l'intervalle ]0;2[.
4) Conclure
Merci d'avance
Réponse: Dérivation-Fonction de taconnet, postée le 22-02-2010 à 23:32:44 (S | E)
Bonjour.
(DB):
les coordonnées de I
Vous devez pouvoir faire la suite.
Réponse: Dérivation-Fonction de mathjulie, postée le 23-02-2010 à 08:41:32 (S | E)
D'accor, merci beaucoup j'ai refais les calcules et je comprends mes erreurs, de plus, les équations de droites sont:
(AL): (k/4)-y =0
(DB): (-1/2) x +2 -y =0
Je vais continuer de réfléchir sur la suite
Réponse: Dérivation-Fonction de mathjulie, postée le 23-02-2010 à 14:50:35 (S | E)
Donc j'ai réussis à faire le 3)a.:
Je détermine l'expression des aires de ABI et DIM en fonction de m:
ABI = AB * AI' / 2 = 2 * (8/2+m) / 2 = 8 / 2+m l'unité est bien le cm carré
DIM = Dm * DI' / 2 = m * (4- 8/2+m) / 2 = 4m carré / 4+2m
Ensuite celle de S(m) :
S(m) = 8/2+m + 4mcarré/4+2m = 8+2mcarré / 2+m
J'en déduis S(0)et S(2) :
S(0)= 4
S(2)= 4
J'exprime maintenant S pour m appartenant à ]0;1[ :
pour cela j'ai fais un tableau de variation et j'ai calculé la dérivée:
S'(m) = 2mcarré +8m -8 / (2+m) carré
(2+m) carré est toujours supérieur ou égal à 0 , -2 est la valeur interdite
je recherche donc les racine de 2mcarré +8m -8 en calculant delta = 128
x1 = -8 - racine de 128 / 4
x2 = -8 + racine de 128 / 4
je fais mon tableau et j'obtiens S:
- croissante sur ]-infini ; x1 [
- décroissant sur ]x1 ; -2[ et sur ]-2 ; x2[
- croissante sur ]x2; +infini[
Mais je ne sais pascomment faire pour préciser sur l'intervalle ]0;1[ ?
De même pour la 3)b démontrer que la fonction S admet un minimum sur l'intervalle ]0;2[.
Merci d'avance
Réponse: Dérivation-Fonction de taconnet, postée le 23-02-2010 à 18:14:56 (S | E)
Bonjour.
On trouve:
Puisque (k +2)² est positif , le signe de S'k est celui de 2k² + 8k - 8 avec 0 < k < 2
Ce trinôme s'annule pour deux valeurs
On a donc
1- 0 < k < 2(√2 - 1) alors S'k < 0 donc Sk décroissante.
2- 2(√2 - 1) < k < 2 alors S'k > 0 donc Sk croissante.
La fonction présente donc un minimum dans l'intervalle [0 ; 1] ( 2(√2 - 1) < 1 )
L'aire Sk est minimale pour k = 2(√2 -1)
Réponse: Dérivation-Fonction de mathjulie, postée le 25-02-2010 à 15:24:03 (S | E)
Bonjour, merci pour votre réponse, mais il y a quelque chose que je n'ai pas compris:
1- 0 < k < 2(√2 - 1) alors S'k < 0 donc Sk décroissante.
2- 2(√2 - 1) < k < 2 alors S'k > 0 donc Sk croissante.
Et dans le tableau, j'avais mis une ligne pour 2kcarré+8k-8 / une ligne pour (2+k) au carré et ensuite une pour S'(m) et j'avais mis la valeur interdite qui est 2 parce que même si on s'intersse seulement au signe du numérateur il faut quand même mettre la valeur interdite ?
Et pour la 3)b je refais la même chose mais sur l'intervalle ]0;2[ ?
Merci d'avance
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