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Application de la dérivation
Message de titou22 posté le 10-02-2010 à 20:16:20 (S | E | F)
Bonjour à tous,
Après avoir passé 30 minutes sur cet exercice d'optimisation je n'arrive pas à le résoudre. Ca serait gentil de me donner un coup de pouce
.
L'exercice est le suivant :
Les proportions d'une casserole économique :
Énoncé :
Vous êtes-vous demandé pourquoi la hauteur d'une casserole est approximativement égale à son rayon quelle que soit sa contenance ?
-On a une casserole avec pour rayon de sa base x et pour hauteur h.
-Pour répondre à cette question, on se propose de résoudre le problème suivant :
Comment fabriquer une casserole de volume v donné avec le moins de métal possible ?
On suppose que le prix de revient du manche ne dépend pas des dimensions de la casserole.
L'unité est le centimètre. on note x le rayon du cercle du fond, h la hauteur et L l'aire totale égale à l'aire latérale plus l'air du fond.
Questions :
1.a Démontrez que h=v/PixX²
b Démontrez que L = PixX² + 2v/x
2.a Etudier sur ]0;+infini[ les variations de la fonction x qui associe PixX² + 2v/x
b Concluez en montrant que h =x.
Pour information je suis en premier S, merci de votre aide.
Message de titou22 posté le 10-02-2010 à 20:16:20 (S | E | F)
Bonjour à tous,
Après avoir passé 30 minutes sur cet exercice d'optimisation je n'arrive pas à le résoudre. Ca serait gentil de me donner un coup de pouce
.L'exercice est le suivant :
Les proportions d'une casserole économique :
Énoncé :
Vous êtes-vous demandé pourquoi la hauteur d'une casserole est approximativement égale à son rayon quelle que soit sa contenance ?
-On a une casserole avec pour rayon de sa base x et pour hauteur h.
-Pour répondre à cette question, on se propose de résoudre le problème suivant :
Comment fabriquer une casserole de volume v donné avec le moins de métal possible ?
On suppose que le prix de revient du manche ne dépend pas des dimensions de la casserole.
L'unité est le centimètre. on note x le rayon du cercle du fond, h la hauteur et L l'aire totale égale à l'aire latérale plus l'air du fond.
Questions :
1.a Démontrez que h=v/PixX²
b Démontrez que L = PixX² + 2v/x
2.a Etudier sur ]0;+infini[ les variations de la fonction x qui associe PixX² + 2v/x
b Concluez en montrant que h =x.
Pour information je suis en premier S, merci de votre aide.
Réponse: Application de la dérivation de iza51, postée le 10-02-2010 à 21:50:05 (S | E)
bonsoir
1)a) comment calcule t-on le volume de la casserole?
V= (aire de la base) × hauteur
LA base est un cercle de rayon x donc son aire est ...
donc V= ....
on en déduit facilement h= v/ (π x²)
LA surface de métal utilisé est composé du fond et du "tour"
Le fond a la forme d'un disque de rayon x dont l'aire est ...
Le "tour" peut être considéré comme un rectangle (en le déroulant) de hauteur h et de longueur égale au périmètre du cercle
Simple, non?
Réponse: Application de la dérivation de titou22, postée le 11-02-2010 à 12:09:47 (S | E)
Merci de votre aide.
Néanmoins je bloque ici : Le "tour" peut être considéré comme un rectangle (en le déroulant) de hauteur h et de longueur égale au périmètre du cercle.
Je trouve : Le fond a la forme d'un disque de rayon x dont l'aire est ... : πx²
Et après je trouve pour le rectangle déroulé : 2πx
Et donc je ne retrouve pas l'aire qui doit être : πx² + 2v/x.
Merci de votre réponse.
Réponse: Application de la dérivation de iza51, postée le 11-02-2010 à 12:13:02 (S | E)
bonjour
2πx est la longueur du rectangle (le tour); il faut calculer son aire
Réponse: Application de la dérivation de titou22, postée le 11-02-2010 à 12:18:50 (S | E)
Effectivement.
Je trouve donc πx²+ h(2πx)
==> L = πx² + 2h + πh + hx
Mais comment remplacer 2h + πh + hx par 2v/x ?
C'est bon j'ai trouvé ça fait 2(πx²+2πx) qui donc fond 2v
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Modifié par titou22 le 11-02-2010 12:21
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Modifié par titou22 le 11-02-2010 12:25
Réponse: Application de la dérivation de titou22, postée le 11-02-2010 à 12:39:44 (S | E)
En ce qui concerne les variations de la fonction x qui associe πx²+2v/x
La dérivée ça donne bien : π2x + 2(x-v)/x² ?
Réponse: Application de la dérivation de iza51, postée le 11-02-2010 à 12:42:51 (S | E)
confusion entre addition et multiplication
la multiplication est distributive par rapport à l'addition: 2×(a+b)=2a +2b
mais là il n'y a que des multiplications: h(2πx)= 2 π x h
au 1) tu as du écrire h=... (fonction de V) ; il suffit de remplacer h par ...
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Modifié par iza51 le 11-02-2010 12:45
dérivée fausse;v est une constante puisque l'on dérive par rapport à la variable x
Réponse: Application de la dérivation de titou22, postée le 11-02-2010 à 12:55:55 (S | E)
Ah mince, pour la dérivée je ne vois pas comment faire. Car j'applique les formules du cours ( 2v/x ==> (u/v)'= u'v-uv'/v² ).
Il me semble pas avoir fait d'exercice de ce genre en classe.
Réponse: Application de la dérivation de iza51, postée le 11-02-2010 à 13:06:08 (S | E)
tu peux appliquer cette formule mais tu l'appliques mal
numérateur = 2v =constante donc sa dérivée est 0
dénominateur =x donc sa dérivée est 1
la formule (1/v)'= -v'/v² est plus adapté ici puisque 2v/x= (2v) * (1/x) avec 2v constant
dérivée= (2v)*(1/x)'
Réponse: Application de la dérivation de titou22, postée le 11-02-2010 à 13:10:49 (S | E)
Ah oui, je ne me suis pas assez dégagé de l'exercice.
Donc on peut aussi dire que la dérivée c'est 2πx - 2v/x² ?
Réponse: Application de la dérivation de iza51, postée le 11-02-2010 à 13:18:59 (S | E)
oui
Réponse: Application de la dérivation de titou22, postée le 11-02-2010 à 13:36:55 (S | E)
D'accord donc après on fait un tableau mais comment on trouve les racines ?
Réponse: Application de la dérivation de iza51, postée le 11-02-2010 à 13:51:20 (S | E)
les racines????
avant de faire un tableau, on cherche le signe de la dérivée (et pas seulement les racines!!!)
on écrit la dérivée sous la forme d'un quotient:
f'(x)=(2π x3-2v) /x²
le signe de f'(x) est aussi celui de (2π x3-2v)
soit celui de ( x3-(v/π)) après avoir mis 2 pi en facteur
la fonction cube est strictement croissante sur R, la dérivée change de signe lorsque x3= v/π
soit lorsque .... (pour finir, remplace v par π x² h et simplifie)
Réponse: Application de la dérivation de titou22, postée le 11-02-2010 à 14:05:12 (S | E)
D'accord donc : f(x) = πx²+2v/x
f'(x) = 2πx - 2v/x²
f'(x) = 2πx - 2πh
f'(x) = 2π(x-h)
Si x
Si x=h...
x....0......... h..........+&
f'(x)..... -....0.....+
f(x)..décroissant....croissant
Si je met ça pour le 2 c'est correct ou pas ?
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Modifié par titou22 le 11-02-2010 14:05
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