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Dérivée

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Dérivée
Message de mathjulie posté le 10-02-2010 à 11:03:00 (S | E | F)
Bonjour, j'ai un exercice à faire sur les dérivée, mais je ne suis pas sure de mes réponse pourriez vous vérifier?

On a la fonction f(x) = x^3 / (x-1)^2 définier sur R privée de 1

1) Je dois étudier les variations de f et dresser son tableau, voici ma réponse:

f'(x) = ( 3 x^2 (x-1)^2 - (x^3) (2(x-1)) ) / (x-1)^4

si je simplifie f'(x) = ( x^4 -4x^3 +3x^2) / (x-1)^4

Ensuite je fais mon tableau, (sachant que 1 valeur interdite):

x - 1 +

f'(x) - +

f décroissante croissante

En faite je prends le signe du numérateur x4 -4x3 +3x2

2) Ensuite on me demande de déuire le tableau de variation de h de la 1ère question, sachant que h(x) = (x^2 fois valeur absolue de x)/ (x-1)^2

et la je ne sais pas comment faire

Merci d'avance

Réponse: Dérivée de iza51, postée le 10-02-2010 à 13:40:19 (S | E)
bonjour
la dérivée est correcte
$f'(x)= {{x^4-4x^3+3x^2} \over{(x-1)^4}}$
mais pour étudier le signe de la dérivée, il faut d'abord mettre x² en facteur au numérateur, puis étudier le signe de chacun des facteurs
pour vérifier le tableau obtenu, tu peux toujours utiliser une calculatrice graphique ou un logiciel de géométrie comme géogébra (utilisable en ligne en cliquant sur "webstart" )
voilà la courbe de f

Réponse: Dérivée de mathjulie, postée le 10-02-2010 à 14:06:59 (S | E)
D'accord merci beaucoup, donc je mets x^2 en facteur et j'obtiens:

f'(x) = x^2 (x-3)/ (x-1) ^3

et donc je recherche les racine (c'est bien une fonction rationnelle?) et donc
x^2 (x-3) = 0 donc x^2=0 x=0
ou x-3 = 0 x=3

et j'obtiens que sur ]-infini ; 0 ] f est décroissante et f(0) = 0
sur [0;1[ f est croissante ( 1 est une valeure interdite)
sur ]1;3] f est décroissante et f(3) = 9/4
sur [3; +infini[ f est croissante

Mais en faite je ne comprend pas pourquoi je ne dois pas mettre le 0 dans les x de mon tableau?

Merci d'avance

Réponse: Dérivée de iza51, postée le 10-02-2010 à 14:25:56 (S | E)
non la factorisation n'est pas correcte
$f'(x)= {{x^4-4x^3+3x^2} \over{(x-1)^4}}={{x^2(x^2-4x+3)}\over{x-1}$
il faut mettre dans le tableau une ligne pour le signe de x²
une ligne pour le signe de x²-4x+3 que l'on peut chercher en utilisant le cours sur le signe des polynômes de degré 2
et une ligne pour le signe de (x-1)^4

ensuite on peut déduire le signe de f'(x)

Réponse: Dérivée de mathjulie, postée le 10-02-2010 à 16:25:41 (S | E)
d'accord, j'ai compris donc

j'obtiens que sur ]-infini ; 0 ]et [0;1] f est croissante et f(0) = 0
sur ]1;3] f est décroissante et f(3) = 9/4
sur [3; +infini[ f est croissante

je voulais aussi vous demandez, si cette fonction était bien une fonction rationnelle et dérivable sur ]-infini ; 1[ et sur ]1; + infini[

et dans la suite de mon exercice, on me demande:

2) Ensuite on me demande de déuire le tableau de variation de h de la 1ère question, sachant que h(x) = (x^2 fois valeur absolue de x)/ (x-1)^2

merci d'avance

Réponse: Dérivée de iza51, postée le 10-02-2010 à 16:32:00 (S | E)
f(3)=27/4
et f est bien une fonction rationnelle car f est le quotient de fonctions polynômes
donc f est bien dérivable sur son ensemble de définition, ici R privé de -1

2) h est la composée de f suivie de la fonction valeur absolue qui est croissante sur [0; +∞[ et décroissante sur ]-∞; 0]

donc f et h ont les mêmes variations là où f est positive
et f et h ont des variations contraires là où f est négative

Réponse: Dérivée de mathjulie, postée le 10-02-2010 à 17:34:56 (S | E)
D'accord merci beaucoup de votre aide

Réponse: Dérivée de mathjulie, postée le 11-02-2010 à 18:26:29 (S | E)

En faite il y a un autre exercice pour lequel j'aurais aussi besoin de votre aide, le voici
Dans un repère ortonormal (o ;i ,j )A est le point de coordonnée(1;2) et P celui de coordonnées (m ; O) avec m différent de 1. La droite (AP) coupe l'axe des ordonnée en Q.

1) Démontrez que Q a pour coordonnée (O ; 2m/m-1)
J'ai réussi à faire cette question

2) La rotation du triangle Q P autour de ( P) engendre un cône de révolution
a)Démontrez que le volume du cône est 4/3 pi (m)
J'ai aussi réussi cette question

b)lorsque m supérieur a 1 précisez la valeur de m pour laquelle ce volume est minimal
par contre la je bloque, je ne comprend pas pourquoi cela revien à chercher quand g'(m) s'annule, puorriez vous m'expliquer

3) dans cette question on suppose que m supérieur a 1

a) Calculez l'aire du triangle PQ

b) Peut-on affirmer que le volume du cône est minimal lorsque l'aire du triangle PQ l'est ?

Merci d'avance

Réponse: Dérivée de mathjulie, postée le 11-02-2010 à 20:34:15 (S | E)
j'ai compris et dans ma rédaction, je peux le formuler de cette façon la question 2)a:

j'obtiens V= 4/3 * pi * g(m)
avec g(m) = m^3 / (m-1) ^2 qui est égal à f(m)

et ensuite, on me demande lorsque m est stritement sûpérieur à 1 de préciser la valeur de m pour laquelle ce volume est minimlal, mais je ne sais pas comment m'y prendre, pourriez vouis m'aider?

Après réflexion je pense avoir trouvé la réponse 2b, mais pourriez vous me dire si cette rédaction est aussi correcte?

je cherche la valeur de m pour laquelle f(m) est minimale
(je fais mes calcule)

f'(m)=0 si x=3

Ce volume est donc minimal pour m=3 avec m supérieur à 1.

Ensuite on me demande: de calcule l'aire du triangle tétaQP:

j'utilise la formule: téta Q * téta P * sin / 2

j'obtiens que l'aire vaut m^2 / (m-1)

Je ne dois pas la calculer pour m=3 ?

Et ensuite on me demande si on peut affirmer que le volume du cône est minimal lorsque l'aire du triangle tétaQP l'est

la réponse est oui, mais comment le rédiger et le justifier?

Merci d'avance

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