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Spé maths- PGCD et Congruences
Message de snoopy32 posté le 30-01-2010 à 13:58:54 (S | E | F)
Bonjour, voila, j'ai un Dm de spé à faire, il y a des questions où j'ai trouvé des réponses, d'autres où j'ai quelques idées mais d'autres où je n'arrive pas! J'aurais beoin de votre aide.
Voici l'énoncé:
Les parties 2 et 3 sont indépendantes mais elles dépendent toutes deux de la partie 1.
Partie1 : Résolution de deux équations
1. On considére l'équation (E0) : 17x-6y=0 où x et y sont des entiers relatifs.
(a) Démonter si y et x sont solutions de (E0) alors x(est congru) 0 (6)et en déduire que 17(divise)y.
(b) Déterminez les solutions de (E0)
2.On considére l'équation (E) : 17x-6y=2 où x et y sont des entiers relatifs.
(a) En remarquant que 17*(-1) - 6*(-3) = 1, déterminer un couple d'entiers relatifs (a,b) solutions de (E).
(b) Que dire alors du couple (x-a;y-b)?
(c) En déduire l'ensemble des solutions de (E).
Partie 2 : PGCD
1. Monter que le PGCD des couples (x;y) solutions de (E) vaut 1 ou2 .
2. Déterminer les couples de solutions de (E) dont le PGCD vaut 2.
3. Déterminer le couple (X;Y) solution de (E) tel que PGCD(X;Y)=2 et 100(inférieur ou égal à)Y(inférieur ou égal à)50
Partie 3 : Application
Une bande de 17 pirates des Caraïbes s'est emparée d'un butin de piéces d'or d'égale valeur?. Il décident de se le partager équitablement et de donnner le reste au cuisinier chinois. Celui-ci recevrait alors 3 piéces. Mais leur bateau fait naufrage et seuls le butin , six pirates et le cuisiniers sont sauvés : le partage laisserait alors 5 piéces d'or au cuisinier.
On note N le nombre de piéces d'or du butin, x le nombre de piéces d'or de chaque pirate avant les naufrage et y le nombre de piéces d'or de chaque pirate aprés le naufrage.
1. (a) Exprimer N en fonction de X. Quel est le reste de la division euclidienne de N par 17?
(b) Exprimer N en fonction de y.
(c) Ecrire allors la relation entre x et y .
2. En utilisant la premiére partie, déterminer le nombre minimal de piéces d'or que peut espérer le cuisinier quand il décide d'empoisonner le reste des pirates avec du civet de rat.
Voici ce que j'ai trouvé:
Partie1
1 b) Solutions de (E0) sont: x apprtient aux multiples de 6 et y appartient aux multiples de 17 d'aprés la démonstration de la question a)
2a) Un couple d'entiers relatifs: ( -2;-6)
b), Je pense que le couple (x-a;y-b) est solution de (E0)
Partie 3
1a) N en fonction de x : N=17x+3 , Les reste est donc 3
b) N en fonction de y : N=6y+5
c) 17x+3=6y+5
17x-6y=2
2) Il faut avoir les solutions de (E0), or je n'ai pas trouvé.
En vous remerciant d'avance!
Message de snoopy32 posté le 30-01-2010 à 13:58:54 (S | E | F)
Bonjour, voila, j'ai un Dm de spé à faire, il y a des questions où j'ai trouvé des réponses, d'autres où j'ai quelques idées mais d'autres où je n'arrive pas! J'aurais beoin de votre aide.
Voici l'énoncé:
Les parties 2 et 3 sont indépendantes mais elles dépendent toutes deux de la partie 1.
Partie1 : Résolution de deux équations
1. On considére l'équation (E0) : 17x-6y=0 où x et y sont des entiers relatifs.
(a) Démonter si y et x sont solutions de (E0) alors x(est congru) 0 (6)et en déduire que 17(divise)y.
(b) Déterminez les solutions de (E0)
2.On considére l'équation (E) : 17x-6y=2 où x et y sont des entiers relatifs.
(a) En remarquant que 17*(-1) - 6*(-3) = 1, déterminer un couple d'entiers relatifs (a,b) solutions de (E).
(b) Que dire alors du couple (x-a;y-b)?
(c) En déduire l'ensemble des solutions de (E).
Partie 2 : PGCD
1. Monter que le PGCD des couples (x;y) solutions de (E) vaut 1 ou2 .
2. Déterminer les couples de solutions de (E) dont le PGCD vaut 2.
3. Déterminer le couple (X;Y) solution de (E) tel que PGCD(X;Y)=2 et 100(inférieur ou égal à)Y(inférieur ou égal à)50
Partie 3 : Application
Une bande de 17 pirates des Caraïbes s'est emparée d'un butin de piéces d'or d'égale valeur?. Il décident de se le partager équitablement et de donnner le reste au cuisinier chinois. Celui-ci recevrait alors 3 piéces. Mais leur bateau fait naufrage et seuls le butin , six pirates et le cuisiniers sont sauvés : le partage laisserait alors 5 piéces d'or au cuisinier.
On note N le nombre de piéces d'or du butin, x le nombre de piéces d'or de chaque pirate avant les naufrage et y le nombre de piéces d'or de chaque pirate aprés le naufrage.
1. (a) Exprimer N en fonction de X. Quel est le reste de la division euclidienne de N par 17?
(b) Exprimer N en fonction de y.
(c) Ecrire allors la relation entre x et y .
2. En utilisant la premiére partie, déterminer le nombre minimal de piéces d'or que peut espérer le cuisinier quand il décide d'empoisonner le reste des pirates avec du civet de rat.
Voici ce que j'ai trouvé:
Partie1
1 b) Solutions de (E0) sont: x apprtient aux multiples de 6 et y appartient aux multiples de 17 d'aprés la démonstration de la question a)
2a) Un couple d'entiers relatifs: ( -2;-6)
b), Je pense que le couple (x-a;y-b) est solution de (E0)
Partie 3
1a) N en fonction de x : N=17x+3 , Les reste est donc 3
b) N en fonction de y : N=6y+5
c) 17x+3=6y+5
17x-6y=2
2) Il faut avoir les solutions de (E0), or je n'ai pas trouvé.
En vous remerciant d'avance!
Réponse: Spé maths- PGCD et Congruences de plumemeteore, postée le 30-01-2010 à 15:24:52 (S | E)
Bonjour Snoopy.
1b.
Les solutions pour x sont 6k pour tout k entier.
102k-6y = 0; y = 17k.
Les solutions sont donc (6k; 17k) pour tout k entier.
2b.
si (x;y) est une autre solution :
17x-6y = 2
or 17a-6b = 2
donc 17(x-a)-6(y-b) = 0
Le couple (x-a;y-b) est une solution de l'équation E0
2c.
Les solutions pour x-a sont 6k pour tout k entier.
Les solutions pour x sont 6k+a pour tout k entier.
Les solutions pour y-b sont 17k pour tout k entier.
Les solutions pour y sont 17k+b pour tout k entier.
Les solutions sont donc (6k+a; 17k+b) pour tout k entier.
Réponse: Spé maths- PGCD et Congruences de plumemeteore, postée le 30-01-2010 à 15:38:42 (S | E)
Partie 2.
Pgcd de 6k-2 et de 17k-6
= pgcd (17k-6-3*(6k-2); 6k-2)
= pgcd (k; 6k-2)
= pgcd (k; 6k-2-6k)
= pgcd(k;-2)
= un diviseur de 2
2. Le pgcd d'un couple de solution est 1 ou 2 selon que k est impair ou pair
3. Résoudre une inéquation en k. Il y aura deux solutions qui conviennent.
Réponse: Spé maths- PGCD et Congruences de snoopy32, postée le 30-01-2010 à 15:40:52 (S | E)
Merci beaucoup, je vais essayé de refaire! =)
Re-merci!
Réponse: Spé maths- PGCD et Congruences de plumemeteore, postée le 30-01-2010 à 15:50:57 (S | E)
LIgnes à rectifier dans la partie 1; 2c.
J'avais écrit :
Les solutions pour y-b sont 17k pour tout k entier.
Les solutions pour y sont 17k+b pour tout k entier.
Il faut :
x-a = 6k -> y-b = 17k.
donc : x = 6k+a -> y = 17k+b.
La conclusion ne change pas : (x;y) = (6k+a;17k+b) sont les solutions de E pour tout k entier.
Réponse: Spé maths- PGCD et Congruences de snoopy32, postée le 30-01-2010 à 16:08:02 (S | E)
D'accord, j'ai trouvé!
Merci! =)
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