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DM de spé Maths Divisibilité
Message de titflorette posté le 12-11-2009 à 19:41:22 (S | E | F)
Bonjour
Je bloque sur mon DM, j'espère que quelqu'un pourra m'aider,
Voici l'énoncé :
Pour tout entier naturel n, on pose A(n) = 5^n + 4n - 1
1/ Démontrer par récurrence que, pour tout entier n, A(n) est divisible par 8
J'ai essayé de faire :
1ère étape : pour n=0, A(0) = 0 donc la propriété est vraie au premier rang,
2ème étape : On suppose que 5^k + 4k -1 est divisible par 8. A-ton 5^(k+1) + 4(k+1) -1 divisible par 8 ?
5^(k+1) + 4(k+1) -1 = 5^k * 5 + 4k+4 -1
5^(k+1) + 4(k+1) -1 = 5(5^k +4k-4k-1+1) +4 = 5(5^k+4k+1) -20k +5
Mais du coup maintenant je suis bloquée, et je ne vois pas comment faire autrement.
Message de titflorette posté le 12-11-2009 à 19:41:22 (S | E | F)
Bonjour
Je bloque sur mon DM, j'espère que quelqu'un pourra m'aider,
Voici l'énoncé :
Pour tout entier naturel n, on pose A(n) = 5^n + 4n - 1
1/ Démontrer par récurrence que, pour tout entier n, A(n) est divisible par 8
J'ai essayé de faire :
1ère étape : pour n=0, A(0) = 0 donc la propriété est vraie au premier rang,
2ème étape : On suppose que 5^k + 4k -1 est divisible par 8. A-ton 5^(k+1) + 4(k+1) -1 divisible par 8 ?
5^(k+1) + 4(k+1) -1 = 5^k * 5 + 4k+4 -1
5^(k+1) + 4(k+1) -1 = 5(5^k +4k-4k-1+1) +4 = 5(5^k+4k+1) -20k +5
Mais du coup maintenant je suis bloquée, et je ne vois pas comment faire autrement.
Réponse: DM de spé Maths Divisibilité de sukanjatanuchia, postée le 12-11-2009 à 20:17:39 (S | E)
Bonsoir ,
5^n+4n-1= ?
Essaie de le faire pour n=6 !
Utilise un autre procédé pour les calculs que tu dois forcément connaître !
Tu t'es trompé au développement de ton calcul
Réponse: DM de spé Maths Divisibilité de titflorette, postée le 12-11-2009 à 20:33:06 (S | E)
Bah le problème, c'est qu'on me demande de le faire par récurrence et je ne vois pas comment faire autrement, j'avais essayé de faire d'autres façons mais ça ne donne rien.
Pourquoi pour n=6 ?
Réponse: DM de spé Maths Divisibilité de fr, postée le 12-11-2009 à 22:03:15 (S | E)
Bonsoir,
Le raisonnement est bon, une erreur de calcul vient entraver la démarche pour obtenir un résultat correct :
le plus simple est de mettre en évidence les termes que vous voulez (en additionnant / soustrayant les même termes) :
5^(k+1) + 4(k+1) -1 = 5*[5^k +4*k-1] - 5 *(4*k -1) + 4(k+1) -1
Les 2 expressions en rouge sont équivalentes (j'ai ajouté et soustrait 5*(4*k-1) ), il ne reste plus qu'à développer et ordonner les termes après le crochet ... (et vérifier que ce reste est aussi multiple de 8 ...)
Par contre, pour le premier rang, j'aurais aussi montré pour n=1 (cela ne mange pas de pain ...)
Réponse: DM de spé Maths Divisibilité de titflorette, postée le 12-11-2009 à 22:25:41 (S | E)
D'accord merci beaucoup.
J'ai bien compris maintenant
Pour la suite de l'exercice :
2/ Déterminer selon les valeurs de l'entier n, le reste de la division de 5^n par 8
Sur quoi faut-il que je me base par rapport à n ? S'il est pair, impair ?
b/ Déterminer, en utilisant ce qui précède, selon les valeurs de l'entier n, le reste de la division de A(n) par 8 et retrouver le résultat de la question 1/
Pouvez-vous m'aider ?
Réponse: DM de spé Maths Divisibilité de fr, postée le 12-11-2009 à 22:48:52 (S | E)
Avez-vous essayer avec n=0, 1, 2, 3, 4, ...
Si oui, vous subodorez quoi ?
Pour le démontrer, effectivement, considérez n pair :
5^2p = 25^p = (24+1)^p = ... (vous obtenez des termes multiples de 24 sauf un ...)
Puis pour n impair, c'est facile ...
PS : il n'est pas nécessaire de faire le développement complet (avec les combinaisons), il suffit de remarquer que pour p>=1 :
(24+1)^p = (24+1)^(p-1) * (24+1) = 24*(24+1)^p +(24+1)^(p-1)et donc
le reste de la division de (24+1)^p par 8 est le même que le reste de la division de (24+1)^(p-1) par 8 (on peut donc démontrer par récurrence que ce reste vaut ...)
Réponse: DM de spé Maths Divisibilité de titflorette, postée le 12-11-2009 à 22:57:04 (S | E)
J'ai procédé autrement et je pense que c'est bon car mes résultats sont cohérents.
Pour la a) si n est impair j'obtiens un reste de 5
si n est pair j'obtiens un reste de 1
En revanche pour la b) je suis un peu embêtée avec le 4n
Réponse: DM de spé Maths Divisibilité de fr, postée le 12-11-2009 à 23:00:01 (S | E)
Il n'y a pas de raison, il suffit de vous placer dans les 2 cas :
si n pair, alors n=2p, donc le reste de A(n) par 8 est le même que [ 5^2p mod 8 + 4*2p-1], donc le même que 1 + 4*2p-1 = 8p, donc 0...
si n impair n = 2p+1, donc le reste de A(n) par 8 est le même que [5^(2p+1) mod 8 + 4*(2p+1)-1] = 5 + 4*(2p+1)-1 ...
Réponse: DM de spé Maths Divisibilité de titflorette, postée le 12-11-2009 à 23:32:05 (S | E)
Merci beaucoup, j'ai réussi et à la fois compris.
Bonne soirée.
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