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Composé de fonction
Message de mathss posté le 17-10-2009 à 19:37:31 (S | E | F)
Bonsoir, j'ai un devoir dont 1 exercice est sur les composés de fonctions , je comprends un peu ce chapitre mais le soucis c'est que je n'arrive pas à faire les exercices du moins je ne les comprends pas
. Pourriez-vous m'aider pour les exercices
exercice 1 voici le tableau de variation d'une fonction f définie sur l'intervalle [-2;2]
donc comme je sais pas comment(on) fait-on pour mettre un tableau je vais vous dire les variations de celle-ci par rapport au tableau que j'ai: (v= décroissante & croiss =croissante)
x -2 -1 0 1 2
fx 4 décroi 0 decroiss -1 croiss 0 croiss 3
Dans chaque cas, donner l'ensemble de définition de la fonction et dresser son tableau de variation
a) g(x) = f(x²)
b) h(x) = f(1/x)
c) k(x) = f(1-2x)
d)I(x)=f(racine carré de x)
comment dois-je procéder je ne veux pas les réponse je veux juste savoir comment je dois débuter ainsi je le fais && je vous donnerai les résultats que j'obtiendrai(ent)
étude d'autres fonctions associées à f
F est la fonction dont le tableau de variation est donné à la question 2.
Dans chaque cas donner l'ensemble de définition de la fonction, exprimer la fonction comme composée de deux fonctions à préciser et dresser son tableau de variation
a)m(x)=1/f(x)
b)m(x) =[f(x)]²
Je n'est rien compris là!!
Pourriez-vous m'aider c'est trés important && j'aimerais comprendre car là, je trouve ce chapitre dur(e) du moins les exercices que l'on doit faire .
merci d'avance
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Modifié par bridg le 17-10-2009 19:45
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Modifié par mathss le 17-10-2009 20:17
Message de mathss posté le 17-10-2009 à 19:37:31 (S | E | F)
Bonsoir, j'ai un devoir dont 1 exercice est sur les composés de fonctions , je comprends un peu ce chapitre mais le soucis c'est que je n'arrive pas à faire les exercices du moins je ne les comprends pas
. Pourriez-vous m'aider pour les exercicesexercice 1 voici le tableau de variation d'une fonction f définie sur l'intervalle [-2;2]
donc comme je sais pas comment
x -2 -1 0 1 2
fx 4 décroi 0 decroiss -1 croiss 0 croiss 3
Dans chaque cas, donner l'ensemble de définition de la fonction et dresser son tableau de variation
a) g(x) = f(x²)
b) h(x) = f(1/x)
c) k(x) = f(1-2x)
d)I(x)=f(racine carré de x)
comment dois-je procéder je ne veux pas les réponse je veux juste savoir comment je dois débuter ainsi je le fais && je vous donnerai les résultats que j'obtiendrai(
étude d'autres fonctions associées à f
F est la fonction dont le tableau de variation est donné à la question 2.
Dans chaque cas donner l'ensemble de définition de la fonction, exprimer la fonction comme composée de deux fonctions à préciser et dresser son tableau de variation
a)m(x)=1/f(x)
b)m(x) =[f(x)]²
Je n'est rien compris là!!
Pourriez-vous m'aider c'est trés important && j'aimerais comprendre car là, je trouve ce chapitre dur
merci d'avance
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Modifié par bridg le 17-10-2009 19:45
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Modifié par mathss le 17-10-2009 20:17
Réponse: Composé de fonction de fr, postée le 17-10-2009 à 20:24:44 (S | E)
Bonsoir,
Pour connaître l'ensemble de définition d'une fonction composée, il faut savoir que (voir votre cours) :
f°g(x)=f(g(x)) est défini sur tout x pour lequel on a les deux conditions suivantes :
1) g(x) est défini
2) f est défini sur les valeurs de g(x)
Il faut donc procéder en 3 étapes :
a) déterminer l'ensemble de définition de g(x), pour le a), g(x) vaut x²
b) déterminer l'ensemble de définition de f(x) (il est donné dans la première partie de l'énoncé)
c) déterminer l'ensemble des valeurs de x de l'ensemble de définition de g tels que g(x) appartienne à l'intervalle de définition de f(x)
Autre exemple :
si g(x) = √(3-x), et f(x) défini sur [5;+inf[
a) g(x) est défini si (3-x)>=0, donc sur ]-inf;3]
b) donné
c) g(x) est décroissante de +inf à 0...
il faut donc déterminer les valeurs de x de l'intervalle ]-inf;3] tels que g(x) appartient à [5;+inf[, donc tels que g(x) >=5,
ici, il faut donc √(3-x)>=5, donc √(3-x)²>= 25 (et x-3>=0), donc :
|3-x| >=25 et x-3>=0, donc (3-x)>=25 ( car (3-x) doit être positif )
donc x<=-22
l'ensemble de définition de f°g(x) est donc ]-inf;-22]
Postez-nous vos résultats pour correction et autres indications si nécessaire ...
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Modifié par fr le 17-10-2009 20:38
PS : pour la seconde partie de l'exercice, on a en fait l'inverse : on vous donne l'intervalle de définition de g et on vous donne f, mais la méthode reste valable ... à vous d'adapter
Réponse: Composé de fonction de mathss, postée le 18-10-2009 à 12:56:19 (S | E)
bonjour fr, voici ce que j'ai mis pour a) g(x)=f(x²)
donc g(x) est définie sur R & f est défnie sur les valeurs de g(x) soit R
g(x)=x²
f(x)=x²
g(x) est une fonction carrée donc elle est strictement décroissante sur ]-infini;0[ et straictement croissante sur ]0;+infini[
f(x) est une fonction carrée donc elle est strictement décroissante sur ]-infini;0[ et straictement croissante sur ]0;+infini[
tableau de variation
x -infini 0 +infini
fog(x) décroiss 0 croiss
est-ce correcte merci d'avance
Réponse: Composé de fonction de fr, postée le 18-10-2009 à 13:22:35 (S | E)
Bonjour,
J'ai sans doute contribué involontairement à vous embrouiller en nomment g(x) la fonction x², car on utilise couramment cette notation pour les composées de fonctions on écrit souvent h(x)=g°f(x), or ici g(x) est la fonction composée ... oups ...
remplaçons plutôt "ma" fonction g(x) par u(x), par exemple (moins traditionnel, mais bon ...)
on a (d'après l'énoncé du a)) :
g(x)=f(x²)=f(u(x)), avec u(x)=x²
Je reprends mes explications en faisant la modification :
Pour connaître l'ensemble de définition d'une fonction composée, il faut savoir que :
f°u(x)=f(u(x)) est défini sur tout x pour lequel on a les deux conditions suivantes :
1) u(x) est défini
2) f est défini sur les valeurs de u(x)
Il faut donc procéder en 3 étapes :
a) déterminer l'ensemble de définition de u(x), pour le a), u(x) vaut x²
b) déterminer l'ensemble de définition de f(x) (il est donné dans la première partie de l'énoncé)
c) déterminer l'ensemble des valeurs de x de l'ensemble de définition de u tels que u(x) appartienne à l'intervalle de définition de f(x)
pour a) f(x) est défini sur [-2;2], et comme vous l'avez dit, u(x) est défini sur R
g(x)=f(u(x)) est donc défini pour les valeurs de x tels que u(x) appartienne à l'ensemble de définition de f(x), à savoir [-2;2]
donc on cherche tous les x tels que x² appartienne à [-2;2]
à vous ...
petit diagramme que vous avez dû voir en cours :
__u__________f
x ----> u(x) -----> f(u(x))
Donc pour que l'on puisse appliquer u à x, il faut que x appartienne à l'ensemble de définition de u et pour pouvoir appliquer f à u(x), il faut que u(x) appartienne à l'ensemble de définition de f ...
(J'espère que c'est plus clair comme ceci ...)
Réponse: Composé de fonction de mathss, postée le 18-10-2009 à 14:22:52 (S | E)
voici ce que j'obtiens:
g(x)=f(x²)
je remplace g(x) par u(x)
fou(x)est définie sur [-2;2]
f est une fonction carré donc f est décroissante sur ]-infi;0[ et croiss. sur ]0;+inifi[
- sur [-2;1] la fonction u est strcitement décroiss. a valeur dans [0;4]
sur [0;4] f est strictement croiss.
donc fou(x)=g est strictement décroiss sur [-2;-1]
-sur [-1;0] la fonction u est strict decroiss a valeur dans [-1;0]
sur [-1;0] f est strict décroiss
donc fou(x)=g est strictement croissant sur [-1;0]
-sur [0;1] la fonction u est strict croiss a valeur dans [-1;0]
sur [-1;0] f est strict décroiss
donc fou(x)=g est strictement décroissant sur [0;1]
-sur [1;2] la fonction u est strict croiss a valeur dans [0;3]
sur [0;3] f est strict croiss
donc fou(x)=g est strictement croissant sur [1;2]
Mais j'ai un petit probléme avec mon tableau de variation
x -2 -1 0 1 2
fou(x) décroiss croiss decroiss croiss
Est-ce correcte?
Réponse: Composé de fonction de fr, postée le 18-10-2009 à 14:33:25 (S | E)
Vous n'avez pas encore tout compris ...
vous dites :
"voici ce que j'obtiens:
g(x)=f(x²)
je remplace g(x) par u(x)
f°u(x)est définie sur [-2;2] (faux)
u est une fonction carré donc u est décroissante sur ]-infi;0[ et croiss. sur ]0;+inifi["
le reste n'est pas bon, car vous raisonnez en fonction des valeurs données de f, alors qu'il faut partir de u=x² ...
Il faut commencer par l'ensemble de définition de g(x)=f(x²)
pour que x² appartienne à [-2;2], comme on a déjà x² >= 0, il faut donc que x²<=2
Résolvez cette inéquation,
ensuite, partez des valeurs de x en vue d'appliquer u et non pas f ...
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Modifié par fr le 18-10-2009 18:40
Pour vous donner un exemple (plus simple)
Considérons j(x)=f(2x+3)
Ensemble de définition de j(x) : 2x+3 est défini sur R
f est défini sur [-2;2], il faut donc trouver x tel que 2x+3 appartienne à [-2;2], donc :
-2 <= 2x + 3 <= 2
-5 <= 2x <= -1
-5/2 <= x <= -1/2
L'ensemble de définition de j(x) est donc [-5/2; -1/2]
Variation de j(x) :
1) f(x) est décroissante sur [-2;0], or 2x+3 est croissante sur [-5/2; -1/2] (en fait sur R, mais on ne s'intéresse plus qu'à cet intervalle)
donc j(x) est décroissante sur x tel que 2x+3 appartienne à [-2;0], donc pour x appartenant à [-5/2;-3/2] (je vous laisse faire le calcul)
et j(-5/2) = f(2*(-5/2)+3) = f(-2) = 4,
j(-3/2) = f(2*(-3/2)+3) = f(0) = -1
2) f(x) est croissante sur [0;2], or 2x+3 est croissante sur [-5/2; -1/2] (en fait sur R, mais on ne s'intéresse plus qu'à cet intervalle)
donc j(x) est croissante sur x tel que 2x+3 appartienne à [0;2], donc pour x appartenant à [-3/2;-1/2] (je vous laisse faire le calcul)
et j(-1/2) = f(2*(-1/2)+3) = f(2) = 3,
Vous pouvez donc en déduire le tableau de variation de j(x) : décroissante sur [-3/2;-1/2] en allant de 4 à -1 et croissante de [-1/2;-3/2] en allant de -1 à 3 ...
Réponse: Composé de fonction de mathss, postée le 19-10-2009 à 19:07:55 (S | E)
bonjour voici le début pourriez vous me dire ci c'est correcte?
Ensemble de définition de g(x) : f(x²) est défini sur R
f est défini sur [-2;], il faut donc trouver x tel que x² appartienne à [-2;2], donc :
-V2 <= x² <= V2
L'ensemble de défénition de g(x) est donc [-V2;V2]
faut-il faire un calcul comme vous?
merci d'avance
Réponse: Composé de fonction de fr, postée le 19-10-2009 à 19:51:56 (S | E)
Bonsoir,
Désolé pour le temps de réponse ... (l'ensemble de définition est bon...)
c'est à vous de voir si cela vous paraît évident de passer de u(x) appartient à [-2,2] à x appartient à [-√2;√2], soit, mais je pense qu'il est prférable de montrer que l'on a bien compris la suite des opérations (et à vouloir aller trop vite, on risque de se tromper ...) Donc, un minimum de rédaction est, je pense, souhaitable
Pour la suite, il faut donc regarder les intervalles "intéressants", en commençant à -√2 : la fonction x² est décroissante jusqu'à x=0, donc x² passe de 2 à 0, il faut alors voir comment varie f(x²) lorsque x² varie de 2 à 0 ... et on continue ensuite pour x de 0 à √2 ...
Réponse: Composé de fonction de mathss, postée le 19-10-2009 à 20:21:28 (S | E)
je ne vois comment je dois faire même avec votre exemple mon professeur m'a dis x|-(c)->x²|-(f)->f(x²)
g=foc ensuite faire la droite y=2 & regarder ce que vaut -2 & 2 donbc ca fait -V2 et V2
Réponse: Composé de fonction de fr, postée le 19-10-2009 à 20:49:26 (S | E)
Bon je vous montre sur le premier intervalle (je n'ai pas bien compris ce que votre professeur vous a dit de faire, sur le courbe de y=x² ? => vous n'obtenez que des valeurs approchées, ...
)Sur l'intervalle [-√2;0] : c(x)=x² est décroissante et prend les valeurs comprises entre 0 et 2, entre 0 et 2, f(x) est croissante,
donc comme c(x) est décroissante sur [-√2;0] et que f(x) est croissante entre c(-√2) et c(0) (càd entre 0 et 2), la composée f(x²) est décroissante de f(2)=3 à f(0)=-1 :
Pour être plus précis :
quand x parcourt l'intervalle [-√2;0], x² passe de 2 à 0 et f(x²) passe de 3 à -1 ...
Réponse: Composé de fonction de mathss, postée le 19-10-2009 à 21:02:10 (S | E)
ah d'accord && donc on ne pourra pas faire les variations sur [0;V2]?
Réponse: Composé de fonction de mathss, postée le 19-10-2009 à 21:24:07 (S | E)
Pour vous donner un exemple (plus simple)
Considérons j(x)=f(2x+3)
Ensemble de définition de j(x) : 2x+3 est défini sur R
f est défini sur [-2;2], il faut donc trouver x tel que 2x+3 appartienne à [-2;2], donc :
-2 <= 2x + 3 <= 2
-5 <= 2x <= -1
-5/2 <= x <= -1/2
L'ensemble de définition de j(x) est donc [-5/2; -1/2]
Variation de j(x) :
1) f(x) est décroissante sur [-2;0], or 2x+3 est croissante sur [-5/2; -1/2] (en fait sur R, mais on ne s'intéresse plus qu'à cet intervalle)
donc j(x) est décroissante sur x tel que 2x+3 appartienne à [-2;0], donc pour x appartenant à [-5/2;-3/2] (je vous laisse faire le calcul)
et j(-5/2) = f(2*(-5/2)+3) = f(-2) = 4,
j(-3/2) = f(2*(-3/2)+3) = f(0) = -1
2) f(x) est croissante sur [0;2], or 2x+3 est croissante sur [-5/2; -1/2] (en fait sur R, mais on ne s'intéresse plus qu'à cet intervalle)
donc j(x) est croissante sur x tel que 2x+3 appartienne à [0;2], donc pour x appartenant à [-3/2;-1/2] (je vous laisse faire le calcul)
et j(-1/2) = f(2*(-1/2)+3) = f(2) = 3,
Vous pouvez donc en déduire le tableau de variation de j(x) : décroissante sur [-3/2;-1/2] en allant de 4 à -1 et croissante de [-1/2;-3/2] en allant de -1 à 3 ...
Pourquoi -3?
Réponse: Composé de fonction de fr, postée le 19-10-2009 à 22:16:11 (S | E)
Si, vous pouvez faire les variations sur [0;V2] (je vous laisse le faire pour voir si vous avez bien compris)
pour -3/2 : c'est la valeur de x tel que 2x+3 = 0 (on cherche l'antécédent de la fonction u(x) pour que u(x) soit un point pour lequel f change de signe, ici f change de signe en 0)
Réponse: Composé de fonction de mathss, postée le 20-10-2009 à 18:47:58 (S | E)
bonjour, merci
donc:
Sur l'intervalle [0;V2] : c(x)=x² est croissante et prend les valeurs comprises entre 0 et 2, entre 0 et 2, f(x) est croissante,
donc comme c(x) est décroissante sur [-√2;0] et que f(x) est croissante entre c(-√2) et c(0) (càd entre 0 et 2), la composée f(x²) est décroissante de f(2)=3 à f(0)=-1 voila en faite elle est pareille que celle donner non?
Réponse: Composé de fonction de fr, postée le 20-10-2009 à 20:21:18 (S | E)
Bonsoir, il vaut mieux rédiger dans l'ordre croissant des intervalles de x : (j'ai un peu amélioré la rédaction )
Sur [-√2;0], c(x) est décroissante de c(-√2) à c(0) c'est-à-dire de 2 à 0 et comme f(x) est croissante entre 0 et 2, la composée f(x²) est décroissante de f(2)=3 à f(0)=-1
Sur l'intervalle [0;V2] : c(x)=x² est croissante et prend les valeurs comprises entre 0 et 2, or f(x) est croissante entre 0 et 2, donc f(x²)est croissante de f(0)=-1 à f(2)=3
En effet, le sens de variation est le même que f, mais les valeurs aux bornes ne sont pas les même ...
A vous de faire la suite ...
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