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Message de emiliie posté le 12-10-2009 à 21:31:50 (S | E | F)
Bonjour,
je voudrais savoir comment on doit faire pour déduire que le produit de quatre entiers consécutifs + 1 est le carré d'un entier naturel.
Si quelqu'un peut m'aider je le remercie
Message de emiliie posté le 12-10-2009 à 21:31:50 (S | E | F)
Bonjour,
je voudrais savoir comment on doit faire pour déduire que le produit de quatre entiers consécutifs + 1 est le carré d'un entier naturel.
Si quelqu'un peut m'aider je le remercie
Réponse: Aide Devoir Maison de fr, postée le 12-10-2009 à 21:39:52 (S | E)
Bonsoir,
Cela revient à chercher à factoriser n(n+1)(n+2)(n+3) + 1 ...
Bonne recherche ...
Réponse: Aide Devoir Maison de emiliie, postée le 12-10-2009 à 21:42:50 (S | E)
D'accord merci je vais essayer.
Réponse: Aide Devoir Maison de emiliie, postée le 12-10-2009 à 21:56:38 (S | E)
Est ce que vous pourriez m'aider pour la factorisation de n(n+1)(n+2)(n+3)+ 1 s'il vous plaît . Je ne sais pas pourquoi je bloque.
Réponse: Aide Devoir Maison de fr, postée le 12-10-2009 à 21:58:04 (S | E)
Petite indication : pour être proche du nombre que l'on cherche, il convient de combiner 2 par 2 les termes de n(n+1)(n+2)(n+3) et ceci de façon astucieuse, c'est-à-dire en ne prenant pas les 2 termes les plus petits d'une part et les 2 termes les plus grands de l'autre, car les 2 nombres résultants seraient trop éloignés ...
Quelles combinaisons vous semblent plus judicieux ?
Réponse: Aide Devoir Maison de emiliie, postée le 12-10-2009 à 22:12:15 (S | E)
Il serait mieux de combiner n(n+3) avec (n+1)(n+2) non?
Réponse: Aide Devoir Maison de fr, postée le 12-10-2009 à 22:14:37 (S | E)
Vous vouliez dire combiner n avec (n+3) et (n+1) avec (n+2)
Il convient donc de développer ces 2 produits
Réponse: Aide Devoir Maison de emiliie, postée le 12-10-2009 à 22:16:40 (S | E)
Oui c'est ce que je voulais dire , merci
je vais essayer maintenant je vous dis après
Réponse: Aide Devoir Maison de emiliie, postée le 12-10-2009 à 22:22:13 (S | E)
Il faut développer ces deux produits à part ou bien à la suite ?
Réponse: Aide Devoir Maison de fr, postée le 12-10-2009 à 22:28:36 (S | E)
Chacun séparément, puis vous constaterez qu'ils ont une partie commune et il faudra chercher avec cela la factorisation (ne pas oublier le +1 à la fin ...)
Réponse: Aide Devoir Maison de emiliie, postée le 12-10-2009 à 22:32:09 (S | E)
Ils ont en commun n²+3n c'est ça ?
Réponse: Aide Devoir Maison de emiliie, postée le 12-10-2009 à 22:33:41 (S | E)
Et avec la factorisation , j'obtiens n(n+3)
Réponse: Aide Devoir Maison de fr, postée le 12-10-2009 à 22:39:00 (S | E)
Ce n'est pas la peine de re-factoriser le terme que vous venez de développer :
Vous avez obtenu (sauf erreur de ma part ou de la vôtre) :
(n²+3n)(n²+3n+2)+1
Cette forme est à rapprocher de :
A(A+2) + 1
Comment factoriseriez-vous A(A+2) + 1 ?
(si vous ne voyez pas, développez ...)
Réponse: Aide Devoir Maison de emiliie, postée le 12-10-2009 à 22:44:16 (S | E)
j'ai développé , et sa me donne :
A²+2A +1 c'est ça ?
Réponse: Aide Devoir Maison de fr, postée le 12-10-2009 à 22:45:08 (S | E)
Oui c'est juste ...
Cela ne vous rappelle rien ?
Réponse: Aide Devoir Maison de emiliie, postée le 12-10-2009 à 22:47:56 (S | E)
Oui , ça me rappelle une identité remarquable.
Ici l'identité remarquable est (A+1)²
Réponse: Aide Devoir Maison de fr, postée le 12-10-2009 à 22:55:14 (S | E)
C'est pour ainsi dire gagné, puisque vous vouliez démontrer que cette expression était le carré d'un entier naturel...
On a donc n(n+1)(n+2)(n+3) +1 = ... (je vous laisse compléter les ...)
Réponse: Aide Devoir Maison de emiliie, postée le 12-10-2009 à 23:00:45 (S | E)
cette expression était le carré d'un entier naturel
On a donc n(n+1)(n+2)(n+3) +1 = (n²+3n)(n²+3n+2)+1= A²+2A+1=(A+1)² je ne suis pas sûre que ce soit bon ce que je viens de compléter
Réponse: Aide Devoir Maison de fr, postée le 12-10-2009 à 23:07:41 (S | E)
Il faut remplacer A par sa valeur en fonction de n (à vous de faire ce rapprochement ...)
Dans votre rédaction vous pouvez dire (par exemple):
n(n+1)(n+2)(n+3) +1 = (n²+3n)(n²+3n+2)+1 or (n²+3n)(n²+3n+2)+1 est de la forme A(A+2) +1, avec A=... (à compléter) or A(A+2)+1=(A+1)², donc n(n+1)(n+2)(n+3) +1 = (...)²
ou alors, vous écrivez directement :
n(n+1)(n+2)(n+3) +1 = (n²+3n)(n²+3n+2)+1 = (...)*(...) + 2 (...) +1 = (... + 1)²
Réponse: Aide Devoir Maison de emiliie, postée le 12-10-2009 à 23:14:09 (S | E)
C'est donc :
n(n+1)(n+2)(n+3) +1 = (n²+3n)(n²+3n+2)+1 or (n²+3n)(n²+3n+2)+1 est de la forme A(A+2) +1, avec A= n²+3n or A(A+2)+1=(A+1)², donc n(n+1)(n+2)(n+3) +1 = (A+1)²
Réponse: Aide Devoir Maison de fr, postée le 12-10-2009 à 23:18:03 (S | E)
presque, mais il faut que le résultat final soit en fonction de n, (A n'est qu'un artifice de calcul pour aider le raisonnement ...) :
n(n+1)(n+2)(n+3) +1 = (n²+3n)(n²+3n+2)+1 or (n²+3n)(n²+3n+2)+1 est de la forme A(A+2) +1, avec A= n²+3n or A(A+2)+1=(A+1)², donc n(n+1)(n+2)(n+3) +1 = (n²+3n+1)²
Ensuite, il ne reste plus qu'à démontrer (facile) que n²+3n+1 est un entier naturel (car le produit d'entiers naturels est un entier naturel et la somme d'entiers naturels est un entier naturel ...)
Réponse: Aide Devoir Maison de emiliie, postée le 12-10-2009 à 23:23:38 (S | E)
Il faut démontrer que n²+3n+1 est un entier naturel avec une phrase ?
Je ne vois pas comment.
Réponse: Aide Devoir Maison de fr, postée le 12-10-2009 à 23:30:12 (S | E)
C'est simple : le produit de 2 entiers naturels est un entier naturel (voir le cours sur les entiers naturels), donc n étant un entier naturel, n*n et 3*n sont des entiers naturels ...
et la somme d'entiers naturels est un entier naturel, donc n²+3n+1 est un entier naturel
Réponse: Aide Devoir Maison de emiliie, postée le 12-10-2009 à 23:34:41 (S | E)
Ah oui c'est tout simple et moi je cherchais des choses compliquées.
La question est donc finie maintenant.
Merci de votre aide c'est très gentil
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