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Dm divisibilité dans Z
Message de titflorette posté le 08-10-2009 à 20:09:38 (S | E | F)
Bonjour,
J'ai un Dm de spécialité Maths à finir, mais je ne suis pas sûre de moi à 2 questions, et à un autre exercice. Voici l'énoncé :
Soit, a, b, d, et n des entiers naturels.
1) a & b c'est fait
2) a) Démontrer que, si d divise a et b, alors d divise 9a+7b et 5a+4b
b) Etudier la réciproque.( On cherche si d divise a et b)
Donc, pour la 2) a) J'ai fait :
S d divise a et b alors d divise u*a + v*b, d'après le théorème de la divisibilité dans R avec u=(9+7b/a) et v=( 5a/b+4)
On a donc :
u*a + v*b = (9+7b/a)a + (5a+4b)
u*a + v*b = 9a + 7b + 5a + 4b (= 14a + 11b)
Et pour b), j'ai fait :
On cherche à savoir si d divise 9a + 7b et 5a +4b alors d divise a et b
Si d divise 9a + 7b et 5a + 4b alors u(9a + 7b) + v(5a + 4b) d'après le théorème de la divisibilité dans Z.
On prend u = -1 et v = 2 d'où
-1(9a+7b) + 2(5a+4b) = -9a - 7b + 10a + 8b
= a + b
Voilà pour cet exercice. j'aimerai savoir si ce que j'ai fait convient ou pas car je ne suis pas sûre que la méthode soit parfaitement appropriée.
J'espère que quelqu'un pourra m'aider.
Message de titflorette posté le 08-10-2009 à 20:09:38 (S | E | F)
Bonjour,
J'ai un Dm de spécialité Maths à finir, mais je ne suis pas sûre de moi à 2 questions, et à un autre exercice. Voici l'énoncé :
Soit, a, b, d, et n des entiers naturels.
1) a & b c'est fait
2) a) Démontrer que, si d divise a et b, alors d divise 9a+7b et 5a+4b
b) Etudier la réciproque.( On cherche si d divise a et b)
Donc, pour la 2) a) J'ai fait :
S d divise a et b alors d divise u*a + v*b, d'après le théorème de la divisibilité dans R avec u=(9+7b/a) et v=( 5a/b+4)
On a donc :
u*a + v*b = (9+7b/a)a + (5a+4b)
u*a + v*b = 9a + 7b + 5a + 4b (= 14a + 11b)
Et pour b), j'ai fait :
On cherche à savoir si d divise 9a + 7b et 5a +4b alors d divise a et b
Si d divise 9a + 7b et 5a + 4b alors u(9a + 7b) + v(5a + 4b) d'après le théorème de la divisibilité dans Z.
On prend u = -1 et v = 2 d'où
-1(9a+7b) + 2(5a+4b) = -9a - 7b + 10a + 8b
= a + b
Voilà pour cet exercice. j'aimerai savoir si ce que j'ai fait convient ou pas car je ne suis pas sûre que la méthode soit parfaitement appropriée.
J'espère que quelqu'un pourra m'aider.
Réponse: Dm divisibilité dans Z de plumemeteore, postée le 08-10-2009 à 22:28:13 (S | E)
Bonjour TiFlorette.
Démontrer que, si d divise a et b, alors d divise 9a+7b et 5a+4b
il existe un entier k tel que kd = a et il existe un entier k' tel que k'd = b
9a+7b = 9kd+7k'd = d(9k+7k') ce qui montre que 9a+7b est divisible par d
même démarche pour 5a+4b
réciproque
si un nombre en divise deux autres, il divise également leur somme et leur différence
si d divise 9a+7b et 5a+4b
il divise 45a+35b (le quintuple du premier) et 45b+36b (le nonuple du deuxième), donc leur différence b.
d divise b, donc 7b et 4b
il divise 9a+7b - 7b et 5a+4b - 4b, autrement dit 9a et 5a, leur différence 4a et la différence 5a-4a = a !
Réponse: Dm divisibilité dans Z de taconnet, postée le 09-10-2009 à 07:54:28 (S | E)
Bonjour.
Voici ce que vous devez savoir.
Définition :
Si a et b sont deux entiers naturels, b n'étant pas nul, on dit que b divise a ou que b est un diviseur de a ou que a est un multiple de b s'il existe un entier q tel que a = bq.
Autrement dit, b est un diviseur de a si, dans la division euclidienne de a par b, le reste est nul.
Théorèmes : soit p un entier non nul.
1- Si p divise a et b alors il divise a + b;
2- Si p divise a et a + b, alors p divise b;
3- Si p divise a, alors p divise a * b.
Exercice : démontrer ces théorèmes.
Pour répondre à vos questions :
2) a) Démontrer que, si d divise a et b, alors d divise 9a+7b et 5a+4b.
1- On montre que si d divise a et b alors d divise aussi 9a + 7b.
Si d divise a alors d'après la définition, il existe un entier k tel que : a = k*d
Si d divise b alors d'après la définition, il existe un entier k' tel que : b = k'*d
Ainsi d divisant a divise aussi 9a (théorème 3) c'est à dire 9k*d
de même d divisant b divise aussi 7b (théorème 3) c'est à dire 7k'*d
et d'après le théorème 2, d divise 9k*d + 7k'd. En effet :
9a + 7b = 9k*d + 7k'*d = d(9k + 7k') et 9k + 7k' est un entier naturel.
2- Faites la même démonstration avec 5a + 4b
b) Étudiez la réciproque :
On procède de la même manière.
Si d divise 9a + 7b cela signifie qu'il existe un entier u tel que:
u*d = 9a + 7b
Si d divise 5a + 4b cela signifie qu'il existe un entier u' tel que:
u'*d = 5a + 4b
On est donc conduit à résoudre le système :
u*d = 9a + 7b
u'*d = 5a + 4b
dans lequel a et b doivent s'exprimer en fonction de u ,u', d
Pour que le problème soit possible, il faut bien entendu que a et b soient des entiers naturels.
je vous laisse faire la suite.
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