<< Forum maths || En bas
Fonction
Message de mariee posté le 26-09-2009 à 14:03:41 (S | E | F)
Bonjour, je voudrais savoir si ce que j'ai fait suffit à repondre à la question suivante ou s'il faut que j'utilise des réels.
L'exercice est le suivant:
Soit f une fonction définie sur R
Démontrer que:
Si f est une fonction paire croissantesur l'intervalle [o; + l'inf ],alors f est décroissante sur ]-l'inf ; O].
par hypothèse j'ai :
pour 0a < b , on f(a) < f(b) soit f(b) - f(a) > 0.
Voyons ce qui se passe pour :
a < b 0
f(a)= - f(a) et f(b)=-f(b) car la fct est paire.
Donc f(a) - f(b)= -f(a)-[-f(b)]=f(b)-f(a) qui est > 0 (voir au début)
Donc pour :a < b 0
on a : f(a) - f(b) > 0
donc f(a) > f(b).
On sait que si a < b avec f(a) > f(b) , alors la fct est décroissante.
Pour cela j'ai utiliser le théorème suivant:
Merci de vos réponses
Message de mariee posté le 26-09-2009 à 14:03:41 (S | E | F)
Bonjour, je voudrais savoir si ce que j'ai fait suffit à repondre à la question suivante ou s'il faut que j'utilise des réels.
L'exercice est le suivant:
Soit f une fonction définie sur R
Démontrer que:
Si f est une fonction paire croissantesur l'intervalle [o; + l'inf ],alors f est décroissante sur ]-l'inf ; O].
par hypothèse j'ai :
pour 0a < b , on f(a) < f(b) soit f(b) - f(a) > 0.
Voyons ce qui se passe pour :
a < b 0
f(a)= - f(a) et f(b)=-f(b) car la fct est paire.
Donc f(a) - f(b)= -f(a)-[-f(b)]=f(b)-f(a) qui est > 0 (voir au début)
Donc pour :a < b 0
on a : f(a) - f(b) > 0
donc f(a) > f(b).
On sait que si a < b avec f(a) > f(b) , alors la fct est décroissante.
Pour cela j'ai utiliser le théorème suivant:
Merci de vos réponses
Réponse: Fonction de polololo, postée le 26-09-2009 à 23:47:33 (S | E)
Bonsoir,
T'as fait une bonne démonstration mais malheureusment t'as commis une petite faute
,regarde le rappel ci-dessous:Fonctions paires:
Soit une fonction f définie sur Df. On dit que f est paire si :
Df est symétrique par rapport à 0;
pour tout x dans Df, f(-x) = f(x) et son graphe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Fonctions impaires:
Soit une fonction f définie sur Df. On dit que f est impaire si :
Df est symétriue par rapport à 0;
pour tout x dans Df, f(-x) = -f(x) et son graphe est symétrique par rapport à l'origine
Corrige ta faute.
Réponse: Fonction de allouz158, postée le 28-09-2009 à 04:34:22 (S | E)
il faut d'abord montrer que la fonction est paire en procédant comme suit:pour x élément de df -x élément de df et f(-x)=f(x) ce qui veut dire donc que cf est symétrique par l'axe des ordonnées donc tu t'inspire de cela pour conclure que pour f(x) croissant sur [b,+inf[ il est décroissant sur ]-inf,b]
Réponse: Fonction de mariejoa, postée le 28-09-2009 à 12:37:57 (S | E)
Bonjour,
Attention!
f(a)= - f(a) et f(b)=-f(b) car la fct est paire ceci est faux
Il faut écrire f(a)= f(-a) et f(b) =f(-b)
Si a < b <0 alors -a et -b sont positifs et -a>-b
Et comme f est croissante sur R+ f(-a)>f(-b) donc f(a) >f(b)
Et là on a le résultat en utilisant le théorème .
La fonction est paire et croissante sur R+ fait partie des données.
Réponse: Fonction de taconnet, postée le 28-09-2009 à 15:59:09 (S | E)
Bonjour.
Voici ce que vous devez savoir par coeur.
1 - Fonction stictement croissante sur un intervalle I.
Définition.
Soit une fonction f définie sur un intervalle I.
On dit que f est strictement croissante sur I si et seulement si pour tout réel a et tout réel b de I, on a :
2 - Fonction strictement décroissante sur un intervalle I.
Définition.
Soit une fonction f définie sur un intervalle I.
On dit que f est strictement décroissante sur I si et seulement si pour tout réel a et tout réel b de I, on a :
3 - Une propriété importante.
Dire que f est strictement croissante sur un intervalle I, c'est dire que pour tout réel a et tout réel b de I, f(a) et f(b) sont rangés dans le même ordre que a et b.
On dit alors qu'une fonction strictement croissante sur un intervalle I conserve l'ordre dans cet intervalle.
Dire que f est strictement décroissante sur un intervalle I, c'est dire que pour tout réel a et tout réel b de I, f(a) et f(b) sont rangés dans l'ordre inverse de a et b .
On dit alors qu'une fonction strictement décroissante sur un intervalle I change l'ordre dans cet intervalle.
Démonstration :
On choisit l'intervalle I = ] 0 ; +∞[ des réels strictement positifs.
Soient a et b deux réels de cet intervalle tels que
Dire que f est strictement croissante sur I , c'est dire d'après la définition que :
D'autre part la fonction est paire, on a donc f(a) = f(-a) et f(b) = f(-b)
On sait que a < b <══> -a > -b
-a et -b sont donc des réels de l'intervalle I' = ]- ∞ ; 0[
Or
l'image de -a est f(-a) = f(a)
et
l'image de - b est f(-b) = f(b)
et puisque l'on a f(a) < f(b) il s'ensuit que f(-a) < b(-b)
En conséquence :
-a > -b ══> f(-a) < f(-b)
ce qui montre par définition que sur l'intervalle ] - ∞ ; 0[ la fonction f est strictement décroissante
<< Forum maths
