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Aires de trois figures
Message de smallbby posté le 03-09-2009 à 16:16:11 (S | E | F)
Bonjour !
J'ai un soucis de compréhension sur cet exercice :
j'ai un quadrilatère (un carré ou un rectangle) et un disque. Ces 3 figures ont le même périmètre P.
Le problème est le suivant : quelle figure à le plus grand aire ?
Merci de vos réponses je suis vraiment bloqué sur ce sujet =/
Message de smallbby posté le 03-09-2009 à 16:16:11 (S | E | F)
Bonjour !
J'ai un soucis de compréhension sur cet exercice :
j'ai un quadrilatère (un carré ou un rectangle) et un disque. Ces 3 figures ont le même périmètre P.
Le problème est le suivant : quelle figure à le plus grand aire ?
Merci de vos réponses je suis vraiment bloqué sur ce sujet =/
Réponse: Aires de trois figures de enclus5, postée le 03-09-2009 à 16:50:09 (S | E)
Bonjour Smallbby,
Ton énoncé demande à être précisé.
Tu as UN quadrilatère ( carré OU rectangle) et UN disque. Cela ne fait que DEUX figures.
Veux-tu bien revoir ton énoncé ?
enclus5
Réponse: Aires de trois figures de fr, postée le 03-09-2009 à 17:03:17 (S | E)
Bonjour,
A périmètre égal, le disque aura toujours une aire plus grande que n'importe quelle autre figure ... (et ceci quelque soit la figure, même biscornue et quelque soit le nombre de côtés de la figure et même avec des côtés courbes ...)
En fait, le cercle est LA figure géométrique qui optimise le périmètre pour une aire donnée. Idem pour le volume d'une sphère, par rapport à n'importe quelle objet en 3 dimensions ...
Mais revenons à votre problème :
Les 3 figures sont peut-être le carré, le rectangle et le cercle ...
Pour la démontrastion, c'est facile :
- calculer l'aire d'un carré de périmètre P,
- comparez avec l'aire d'un rectangle de même périmètre : on considère la longueur d'un côté égale à x et on vérifiera que le rectangle de périmètre P ayant l'aire maximale est ... un carré
- calculer l'aire d'un cercle de périmètre P ... et comparez avec le carré
Réponse: Aires de trois figures de plumemeteore, postée le 04-09-2009 à 11:51:49 (S | E)
Bonjour.
Soit a le demi-périmètre.
Si a/2 + d est la longueur du rectangle, sa largeur est a/2 - d.
Son aire est (a/2 + d) * (a/2 - d) = a²/4 - d³.
Le côté du carré est a/2 et son aire a²/4.
Le rayon du disque est a/pi; son aire est pi * (a/pi)² = a²/pi.
pi < 4 -> a²/4 < a²/pi.
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