Dm intï¿½gration avec logarithme

Dm intégration avec logarithme (1)

<< Forum maths || En bas

Ce sujet est fermé. Vous ne pouvez pas poster de réponse.

Dm intégration avec logarithme
Message de ketchoupii posté le 26-04-2009 à 01:10:55
Bonjour ! besoin d'aide .. svp =)

Pour tout entier naturel n>1 , on pose :

In= intégrale de 1 à e² [ (ln x ) ^n] /x² dx

1) a l'aide d'une intégration par parties, calculer I( 1)

2) a. Démonter que I (n+1 ) = [[ - 2^ (n+1 )] / e² ] + (n+1 )In

b. En déduire les valeurs de I2 et I3

3) la courbe d'équation y = (ln x )² / x avec x E [1 ; e²]
, dans un repère orthonormal ( O ; i ; j ) tournant autour de l'axe ( O ; i ) engendre un solide de révolution . Calculer le volume de ce solide, en unités de volume.

Merci bien ..

-------------------
Modifié par bridg le 28-02-2010 17:55

Réponse: Dm intégration avec logarithme de ajl, postée le 26-04-2009 à 01:57:57

Bonsoir,
1/a. on pose u=lnx et v'=1/x² ainsi u'=1/x et v=-1/x
I(1)=int de1à e²(lnx/x²)dx=[-lnx/x]de 1 à e² - int de 1 à e² (-1/x²)dx = -2/e² +[1/x]de 1 à e²= -2/e²+1/e²-1

2/a- on pose u=(lnx)^n et v'=1/x² ainsi u'=n[(lnx)^(n-1)]/x et v= -1/x
I(n)=[-(lnx)^n/x]de 1 à e²+n[int de 1 à e²(lnx)^(n-1)/x= [-2^n/e²]+nI(n-1)

I(2)=-4/e²+2I(1)
I(3)=-8/e²+3I(2)

3)le volume engendré par la rotation autour de Oi de y=ln²x/x est :
intégrale de 1 à e² [pi.I(4)]dx que je te laisserai calculer.

Réponse: Dm intégration avec logarithme de dan1, postée le 26-04-2009 à 11:07:14
Bonjour
J'ai trouvé la solution proposée bonne sauf sur un point:
pour moi I(1) = -3/e² + 1, il semble qu'il y ait eu une erreur de signe dans la résolution précédente.
Allez courage!

Réponse: Dm intégration avec logarithme de taconnet, postée le 26-04-2009 à 12:18:18
Bonjour.

Vous devez calculer :

$\int_{1}^{e^2}\frac{lnx}{x^2}dx\\ Vous\; posez\\ lnx = u \; donc \; du = \frac{1}{x}dx\\ \frac{dx}{x^2} = dv \; donc\; v = -\frac{1}{x}\\ On \;obtient\; donc :\\ \int_{1}^{e^2}\frac{lnx}{x^2}dx = [-\frac{lnx}{x}]_{1}^{e^2} + \int_{1}^{e^2}\frac{1}{x^2}dx \\ soit\\ \int_{1}^{e^2}\frac{lnx}{x^2}dx =[-\frac{lnx}{x}]_{1}^{e^2} - [\frac{1}{x}]_{1}^{e^2} \\donc \\\int_{1}^{e^2}\frac{lnx}{x^2}dx = -\frac{3}{e^2}+ 1$

Réponse: Dm intégration avec logarithme de ketchoupii, postée le 26-04-2009 à 12:52:50
merci beaucoup pr ces réponses.. la 1) j'ai trouvé ca aussi =)
par contre , la 2 ) a. je ne comprends pas tout ..

moi j'arrive à I (n+1) = [( - (lnx) ^(n+1))/x ] 1 à e² + (n+1) * int de 1 à e² de [(ln x) ^n ] / x² dx

et là je suis bloquée..

Réponse: Dm intégration avec logarithme de taconnet, postée le 27-04-2009 à 19:20:23
Bonjour.

On vous donne :

$I_{n} =\Bigint_{1}^{e^2}\frac{lnx^n}{x^2}dx\\ vous \; en \; d\acute{e}duisez \; que :\\I_{n +1} =\Bigint_{1}^{e^2}\frac{lnx^{(n+1)}}{x^2}dx\\ en \; int\acute{e}grant\; I_{n +1} \; on \; obtient:\\ I_{n+1} =\Bigint_{1}^{e^2}\frac{lnx^{(n+1)}}{x^2}dx = [-\frac{1}{x}lnx^{(n+1)}]_{1}^{e^2} + (n+1)\Bigint_{1}^{e^2}\frac{lnx^n}{x^2}dx\\ donc\\ I_{n+1} =-\frac{2^{(n+1)}}{e^2} + (n+1)I_{n}$

Ce sujet est fermé, vous ne pouvez pas poster de réponse.