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Démontrer que 4 points sont cocycliques
Message de marquikat posté le 23-04-2009 à 20:24:14 (S | E | F)
"Soit ABC un triangle isocèle de sommet A et H le projeté orthogonal de A sur (BC). La perpendiculaire à (AB) passant par A coupe (BC) en D. Soit E le projeté orthogonal de D sur (AC)"
"1. Montrer que A,H,D et E sont cocycliques. Quel est son centre? Tracer ce cercle".
Voilà donc l'énoncé de mon exercice. Je sais que A,H,D et E sont cocycliques car lorsque je trace les médiatrices (du triangle AED) des côtés (AE), (ED) et (AD), celles-ci se croisent en un point, qui est le centre du cercle circonscrit, que j'ai appelé M. Le centre du cercle est donc M. J'ai tracé mon cercle et j'obtiens une jolie figure. Or, il ne suffit pas uniquement de faire des dessins mais de DÉMONTRER. Et c'est là que je demande votre aide. J'aimerai que vous puissiez me donner les étapes de cette démonstration, mais sans m'indiquer LA démonstration. Il faut que je parvienne à la rédiger moi-même.
Merci d'avance pour votre aide !!!
Message de marquikat posté le 23-04-2009 à 20:24:14 (S | E | F)
"Soit ABC un triangle isocèle de sommet A et H le projeté orthogonal de A sur (BC). La perpendiculaire à (AB) passant par A coupe (BC) en D. Soit E le projeté orthogonal de D sur (AC)"
"1. Montrer que A,H,D et E sont cocycliques. Quel est son centre? Tracer ce cercle".
Voilà donc l'énoncé de mon exercice. Je sais que A,H,D et E sont cocycliques car lorsque je trace les médiatrices (du triangle AED) des côtés (AE), (ED) et (AD), celles-ci se croisent en un point, qui est le centre du cercle circonscrit, que j'ai appelé M. Le centre du cercle est donc M. J'ai tracé mon cercle et j'obtiens une jolie figure. Or, il ne suffit pas uniquement de faire des dessins mais de DÉMONTRER. Et c'est là que je demande votre aide. J'aimerai que vous puissiez me donner les étapes de cette démonstration, mais sans m'indiquer LA démonstration. Il faut que je parvienne à la rédiger moi-même.
Merci d'avance pour votre aide !!!
Réponse: Démontrer que 4 points sont cocycliques de adamgo, postée le 23-04-2009 à 21:16:08 (S | E)
C'est très bien de vouloir trouver seul.
Est-ce que tu as appris qu'un angle droit est inscrit dans un demi cercle? Si oui,essaye de trouver 2 angles droits qui seraient inscrits dans le même demi cercle!
Réponse: Démontrer que 4 points sont cocycliques de toufa57, postée le 23-04-2009 à 21:25:39 (S | E)
Bonjour,
Si H est le projeté orthogonal de A sur [BC],comment est l'angle AHC?
donc AHD? Que peux-tu conclure ?
Si E est le projeté orthogonal de D sur [AC],comment est l'angle AED?Que peux-tu dire alors?
Réponds d'abord à ces questions..
Réponse: Démontrer que 4 points sont cocycliques de dan1, postée le 23-04-2009 à 21:50:50 (S | E)
Bonjour
Pour bien résoudre un tel problème reprend chaque donnée (ce sont les hypothèses) et déduis certaines conséquences, pour t'orienter ici celles relatives aux angles droits. Relis alors ton cours sur ces points déduits concernant la notion de cocyclique; tu devrais alors savoir comment rédiger une réponse satisfaisante.
Bon courage!
Réponse: Démontrer que 4 points sont cocycliques de marquikat, postée le 24-04-2009 à 14:53:40 (S | E)
Bonjour !
Merci pour toutes vos réponses qui m'ont beaucoup aidée !
J'ai rédigé une démonstration et j'aimerai que vous me disiez ce que vous en pensez (est-ce convaincant?)
Voilà :
"Données :
• Le triangle ABC est isocèle.
• H est le projeté orthogonal de A sur (BC)
• E est le projeté orthogonal de D sur (AC)
Démonstration :
• Nous savons que H est le projeté orthogonal de A sur (BC) et que E est le projeté orthogonal de D sur (AC) ; nous pouvons donc en déduire que le triangle ADE est rectangle en E.
• Les médiatrices du triangle ADE sont concourantes en M, centre du cercle circonscrit. Les points A, D et E sont donc cocycliques.
• Le triangle AHD est également inscrit dans le cercle de centre M puisqu’il a la même hypoténuse que ADE. Nous pouvons donc en déduire que H se situe lui aussi sur le cercle circonscrit de centre M.
Conclusion :
• Les points A, H, D et E sont cocycliques.
• Le centre du cercle circonscrit est le milieu de l’hypoténuse des triangles ADE et AHD, c’est-à-dire M."
Réponse: Démontrer que 4 points sont cocycliques de adamgo, postée le 24-04-2009 à 16:12:03 (S | E)
20/20!
Réponse: Démontrer que 4 points sont cocycliques de marquikat, postée le 24-04-2009 à 16:15:44 (S | E)
Merciii !!!
Réponse: Démontrer que 4 points sont cocycliques de marquikat, postée le 24-04-2009 à 16:20:09 (S | E)
Mais comment pourrait-on prouver que le triangle AHE est isocèle (sans utiliser la figure)? Je pense qu'on pourrait dire que "si dans un triangle, deux des éléments parmi hauteurs, médianes, médiatrices, bissectrices sont confondus, alors ce triangle est isocèle." Mais je ne sais pas si je suis dans la bonne voie. Pourriez-vous me conseiller?
Réponse: Démontrer que 4 points sont cocycliques de taconnet, postée le 24-04-2009 à 16:55:33 (S | E)
Bonjour.
Vous pouvez remarquer que, même si la droite (AD) n'est pas perpendiculaire au côté [AB] du triangle isocèle BAC, les points A , H , E , D sont encore cocycliques. Vérifiez alors sur une figure que le triangle AHE n'est pas isocèle.
Dans le cas particulier où la droite (AD) est perpendiculaire au côté [AD] alors le triangle AHE est isocèle.
Puisque vous avez montré que les points A ,H , E , D sont cocycliques il faut évidemment penser aux angles inscrits.
Considérez les angles inscrits
Montrez qu'ils ont le même complément en considérant les triangles rectangles BAD et DEC.
Conclure.
Réponse: Démontrer que 4 points sont cocycliques de fr, postée le 24-04-2009 à 17:29:33 (S | E)
Bonjour,
Juste une petite précision de rédaction : il est inutile voire malvenu de préciser que les points A, D et E sont cocycliques : 3 points quelconques sont TOUJOURS cocycliques !
Par contre, ce qui est intéressant dans le cadre de la démonstration, c'est de définir le centre du cercle circonscrit au triangle ADE, c'est-à-dire que M est milieu du segment [AD]
Ensuite, le milieu de [AD] est aussi centre du cercle circonscrit au triangle AHD
Pour conclure, comme les 2 cercles circonscrits ont le même centre M et au moins un point commun (ici 2 puisque A et D appartiennent aux 2 cercles), les 2 cercles circonscrits sont confondus ... et A,H, D et E cocycliques
