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Équation complexe
Message de himai posté le 01-01-2009 à 15:14:23 (S | E | F)
Bonjour,
J'ai un exercice à faire, j'ai réussi à faire la 1ère question mais pas la deuxième...
1)Résoudre dans C z²-2z+4=0
Je trouve z1 = 1-V3i
z2 = 1+V3i
2)Résoudre dans C l'équation z²+(2-(1/2)i)z-i = 0 sachant qu'elle possède une racine réelle x et une racine imaginaire pure yi
Merci d'avance et bonne année!
Message de himai posté le 01-01-2009 à 15:14:23 (S | E | F)
Bonjour,
J'ai un exercice à faire, j'ai réussi à faire la 1ère question mais pas la deuxième...
1)Résoudre dans C z²-2z+4=0
Je trouve z1 = 1-V3i
z2 = 1+V3i
2)Résoudre dans C l'équation z²+(2-(1/2)i)z-i = 0 sachant qu'elle possède une racine réelle x et une racine imaginaire pure yi
Merci d'avance et bonne année!
Réponse: Équation complexe de fr, postée le 01-01-2009 à 17:30:47 (S | E)
Bonjour himai et bonne année.
Pour la seconde équation, on peut s'aider de l'indication donnée, à savoir qu'une des racines est réelle et l'autre imaginaire pur : on peut alors raisonner dans l'espace réel en ramenant l'équation à une équation dans R.
Il suffit de remplacer z par x dans l'équation et de ne considérer que la partie réelle (ou la partie imaginaire) de l'équation ... on obtient alors une équation du second degré (ou du premier degré) dont les racines sont évidentes. Ensuite, il convient de vérifier laquelle des 2 racines satisfait à l'équation initiale.
Ensuite pour trouver la racine imaginaire pure : remplacer z par iy et considérer la partie réelle (ou la partie imaginaire) de l'équation ainsi obtenue, ensuite, vérifier quelle est la racine qu'il faut garder ...
Pourquoi peut-on procéder ainsi ?
Uniquement parce que l'on cherche des racines réelles ou imaginaires pures !
Pour qu'un nombre complexe soit nul, il faut et il suffit que la partie réelle ET la partie imaginaire du nombre complexe soient nulles.
Comme x est réel, la partie réelle et la partie imaginaire sont exprimables en fonction de x ...
Idem en remplaçant z par iy, on obtient alors un nombre complexe qui pour qu'il soit nul doit annuler sa partie réelle et sa partie imaginaire (et comme y est réel, on peut séparer les 2 équations ...)
Réponse: Équation complexe de taconnet, postée le 02-01-2009 à 07:54:25 (S | E)
Bonjour.
Une simple factorisation met en évidence les racines de cette équation.
En effet en développant et en ordonnant le premier membre de cette équation on obtient :
D'où les deux racines l'une réelle et l'autre imaginaire pure.
Réponse: Équation complexe de himai, postée le 02-01-2009 à 12:55:45 (S | E)
Euh, j'ai un peu de mal à suivre mais je vais tout reprendre... Merci à vous !
Réponse: Équation complexe de amine58, postée le 03-01-2009 à 00:06:36 (S | E)
Bonjour, pour la 2 questions remplace z par x tu developpes l'egalité et tu trouves que x=-2: de meme maniere tu remplaces z par iy tu developpes l'egalité et tu trouves que y=1/2: donc les solutions sont -2 et(1/2)i
Réponse: Équation complexe de himai, postée le 07-01-2009 à 19:26:27 (S | E)
Merci,
Si je remplace z par x est-ce que je garde les "i" ?
