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Barycentres
Message de charlielphj posté le 20-11-2008 à 18:26:35 (S | E | F)
Bonjour, ayant un DS de mathématiques demain portant en partie sur les barycentres, j'ai emprunté un ancien devoir à une amie et un exercice me pose problème :
Soit ABC un triangle équilatéral et soit G le centre de gravité du triangle ABC
1° Soit J le barycentre des points pondérés (A;1),(B;1)(C;2)
a) exprimer le vecteur AJ en fonction des vecteurs AB et AC
b) Montrer que les points G, J et C sont alignés.
J'ai réussi le a) mais pas le b et impossible de le faire.
Quelqu'un pourrait-il m'indiquer le chemin à suivre?
Merci
Message de charlielphj posté le 20-11-2008 à 18:26:35 (S | E | F)
Bonjour, ayant un DS de mathématiques demain portant en partie sur les barycentres, j'ai emprunté un ancien devoir à une amie et un exercice me pose problème :
Soit ABC un triangle équilatéral et soit G le centre de gravité du triangle ABC
1° Soit J le barycentre des points pondérés (A;1),(B;1)(C;2)
a) exprimer le vecteur AJ en fonction des vecteurs AB et AC
b) Montrer que les points G, J et C sont alignés.
J'ai réussi le a) mais pas le b et impossible de le faire.
Quelqu'un pourrait-il m'indiquer le chemin à suivre?
Merci
Réponse: Barycentres de iza51, postée le 20-11-2008 à 20:32:56 (S | E)
Bonjour,
pour tout M, on a 4vec(MJ)=vec(MA)+vec(MB)+2vec(MC) car J=barycentre de ...
avec M=C, on obtient 4vec(CJ)=vec(CA)+vec(CB)
or vec(CA)+vec(CB)=2vec(CC') où C' est le milieu de [AB]
donc 4vec(CJ)=2vec(CC')
vecteurs colinéaires
d'où l'alignement des points C J et C'
d'autre part les points C, G et C' sont alignés
donc ...
Réponse: Barycentres de charlielphj, postée le 20-11-2008 à 21:12:43 (S | E)
cependant j'avoue ne pas comprendre pourquoi M=C, car le reste j'ai comprend mais je ne vois pas comment on trouve M+C et l'égalité qui en découle 4vec(CJ)=vec(CA)+vec(CB).Encore merci de votre aide
Réponse: Barycentres de iza51, postée le 20-11-2008 à 21:38:37 (S | E)
la formule que j'ai donnée est valable pour n'importe quel point M (c'est une propriété du barycentre et on peut la démontrer avec la relation de Chasles)
elle est valable en particulier pour le point C
J=barycentre de( A,1), (B,1)(C, 2)
on a les égalités vectorielles (pas le temps d'écrire vecteur à chaque fois ..)
MA + MB + 2MC = MJ+JA+MJ+JB+2MJ+2JC
MA + MB + 2MC = 4MJ+JA+JB+2JC
MA + MB + 2MC = 4MJ car JA+JB+2JC=0 puisque J est barycentre de ( A,1), (B,1)(C, 2)
ce que je viens d'écrire avec M, j'aurais pu l'écrire avec C
ou avec n'importe quel autre point!
