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Exercice de maths
Message de prestigeparis posté le 04-11-2008 à 14:43:35 (S | E | F)
Bonjour!
J'ai un exercice de maths sur lequel je bloque depuis quelques jours...
Le but du problème est d'étudier si les nombres suivants sont premiers ou non.(n étant un entier naturel)
Partie A: Où l'on montre que tous les nombres A(n), pour n>=5, sont des nombres composés.
1.Calculer A(n)pour n=5;6;7;8.Obtient-on des nombres premiers?
2. On considère la fonction polynôme A, définie pour x∈R, par A(x)=x^4-20x²+4.
a)Vérifier que A(x)=(x²-2)²-16x².
b)En déduire que A(x)= P(x)*Q(x) où P et Q sont des fonctions polynômes de degré 2.
c) Démontrer que les équations P(x)=1 et Q(x)=1 n'ont pas de solutions entières.
d)Conclure
J'ai répondu à toutes les questions sauf à la d) car je n'ai pas vraiment compris comment toutes les autres questions et surtout la c) nous montre que A(n) est un nombre composé.
Partie B: Où l'on montre que tout nombre de la forme n^4+64 est composé.
1.Calculer B(n) pour n =0;1;2;3. Obtient-on des nombres premiers?
2.On considère la fonction polynôme B, définie pour x∈R, par B(x)=x^4+64.
a)Vérifier que B(x)=(x²+4x+8)(x²-4x+8)
b)En vous inspirant de la démarche de la partie A, prouver le résultat annoncé.
J'ai fait la 1. et 2.a) mais pas la b).
Pouviez vous m'aider à comprendre cet exercice. Merci d'avance!
Message de prestigeparis posté le 04-11-2008 à 14:43:35 (S | E | F)
Bonjour!
J'ai un exercice de maths sur lequel je bloque depuis quelques jours...
Le but du problème est d'étudier si les nombres suivants sont premiers ou non.(n étant un entier naturel)
Partie A: Où l'on montre que tous les nombres A(n), pour n>=5, sont des nombres composés.
1.Calculer A(n)pour n=5;6;7;8.Obtient-on des nombres premiers?
2. On considère la fonction polynôme A, définie pour x∈R, par A(x)=x^4-20x²+4.
a)Vérifier que A(x)=(x²-2)²-16x².
b)En déduire que A(x)= P(x)*Q(x) où P et Q sont des fonctions polynômes de degré 2.
c) Démontrer que les équations P(x)=1 et Q(x)=1 n'ont pas de solutions entières.
d)Conclure
J'ai répondu à toutes les questions sauf à la d) car je n'ai pas vraiment compris comment toutes les autres questions et surtout la c) nous montre que A(n) est un nombre composé.
Partie B: Où l'on montre que tout nombre de la forme n^4+64 est composé.
1.Calculer B(n) pour n =0;1;2;3. Obtient-on des nombres premiers?
2.On considère la fonction polynôme B, définie pour x∈R, par B(x)=x^4+64.
a)Vérifier que B(x)=(x²+4x+8)(x²-4x+8)
b)En vous inspirant de la démarche de la partie A, prouver le résultat annoncé.
J'ai fait la 1. et 2.a) mais pas la b).
Pouviez vous m'aider à comprendre cet exercice. Merci d'avance!
Réponse: Exercice de maths de iza51, postée le 04-11-2008 à 14:53:26 (S | E)
partie A) donne les factorisations que tu as obtenu
je vais m'en servir pour t'expliquer le d)
Réponse: Exercice de maths de prestigeparis, postée le 04-11-2008 à 14:56:20 (S | E)
A(x)=(x²-2)²-16x²
A(x)=(x²-4x-2)(x²+4x-2)
Réponse: Exercice de maths de iza51, postée le 04-11-2008 à 15:02:07 (S | E)
alors A(n)=(n²-4n-2)(n²+4n-2)
rappel: la somme de deux entiers relatifs est un entier relatif; idem pour le produit!
Or n est un entier relatif donc n²-4n -2 est ...
de plus il est différent de ...
idem pour n²+4n-2
que peux tu dire du produit ? conséquence pour A(n)
Réponse: Exercice de maths de prestigeparis, postée le 04-11-2008 à 15:12:36 (S | E)
Je reprends ce
que tu as dit:
Or n est un entier relatif donc n²-4n -2 est aussi un entier
de plus il est différent de 1
donc A(n) est un entier relatif.
Je ne sais pas si c'est bon...
Réponse: Exercice de maths de iza51, postée le 04-11-2008 à 15:32:16 (S | E)
n²-4n -2 est aussi un entier
de plus il est différent de 1
faire la même chose pour l'autre facteur
ensuite A(n) est le produit de deux ....
Réponse: Exercice de maths de prestigeparis, postée le 04-11-2008 à 15:39:30 (S | E)
n²-4n-2 est un entier
de plus il est différent de 1
n²+4n-2 est aussi un entier
il est aussi différent de 1
A(n) est le produit de deux entier différents de 1 donc il n'est pas premier.
Réponse: Exercice de maths de prestigeparis, postée le 04-11-2008 à 15:50:26 (S | E)
est ce que c'est ça?
Réponse: Exercice de maths de iza51, postée le 04-11-2008 à 15:51:37 (S | E)
et voilà pour la partie 1)
Réponse: Exercice de maths de prestigeparis, postée le 04-11-2008 à 16:01:28 (S | E)
Merci pour ton aide! Je vais faire la deuxième partie et si j'ai un problème je viendrais te demander(si tu veux bien)!
Réponse: Exercice de maths de prestigeparis, postée le 04-11-2008 à 16:50:48 (S | E)
Pour la question 2b de la partie B j'ai essayé de faire P(x)=(x²+4x+8)=1 mais cela ne me donne aucune solution pareil pour Q(x)=(x²-4x+8)=1. Est ce que j'ai fais une erreur dans mon calcul ou est ce que ce n'est pas comme ça qu'il faut faire?
Réponse: Exercice de maths de iza51, postée le 04-11-2008 à 17:34:00 (S | E)
quel est le problème?
Réponse: Exercice de maths de prestigeparis, postée le 04-11-2008 à 19:04:52 (S | E)
Dans la première partie j'avais trouvé des solutions pour chaque équation, tandis que pour la deuxième, les équations n'ont pas de solutions. Comment faire pour dire que P(x)=(x²+4x+8)=1 n'a pas de solutions entières comme dans la première partie? Je ne sais pas si vous avez mieux compris mon problème!
Réponse: Exercice de maths de iza51, postée le 04-11-2008 à 20:28:10 (S | E)
dans la première partie,les solutions trouvées ne sont pas entières
donc il est impossible de trouver un entier n solution de n²-4n-2=1 et il est aussi impossible de trouver un entier n solution n²+4n-2=1
c'est pourquoi le produit des nombres (n²-4n-2)(n²+4n-2) forme une décomposition de A(n) en produit de deux entiers dont la valeur absolue est supérieure à 2
on en conclut que A(n) n'est pas premier
dans la deuxième partie, x²+4x+8=1 et x²-4x+8=1 n'ont pas de solutions dans R
donc il est impossible de trouver un entier n solution de ...
non il n'y a pas de pb (dans les deux cas, il n'y a pas de solution dans N; ce qui se passe dans R n'a pas d'importance!)
Réponse: Exercice de maths de prestigeparis, postée le 05-11-2008 à 14:45:32 (S | E)
Merci de m'avoir aider à finir cet exercice: maintenant j'ai bien compris!
