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Fonctions
Message de soso7584 posté le 01-11-2008 à 18:15:21 (S | E | F)
Bonjour,
Je n'ai pas compris une question de cette exercice:
Soit h la fonction définie sur R par h(x)= (x-1)²/x²+1.
Soit f la fonction définie sur R par f(x)= x/x²+1.
Déterminer le tableau de variations de la fonction h à partir du tableau de variatons de la fonction f.
J'ai remarqué que les variations des fonctions étaient inverses, c'est-à-dire que lorsque la f(x) est croissante, h(x) est décroissante. Mais je n'arrive pas à exprimer le tableau de variation de h(x) en fonction de celui de f(x).
Merci d'avance.
Message de soso7584 posté le 01-11-2008 à 18:15:21 (S | E | F)
Bonjour,
Je n'ai pas compris une question de cette exercice:
Soit h la fonction définie sur R par h(x)= (x-1)²/x²+1.
Soit f la fonction définie sur R par f(x)= x/x²+1.
Déterminer le tableau de variations de la fonction h à partir du tableau de variatons de la fonction f.
J'ai remarqué que les variations des fonctions étaient inverses, c'est-à-dire que lorsque la f(x) est croissante, h(x) est décroissante. Mais je n'arrive pas à exprimer le tableau de variation de h(x) en fonction de celui de f(x).
Merci d'avance.
Réponse: Fonctions de taconnet, postée le 01-11-2008 à 18:41:50 (S | E)
Bonjour.
Développez (x - 1)²
Écrire ensuite h(x) = a - b/(x² + 1) ( a et b deux constantes à déterminer)
Connaissant le tableau de variations de f , vous en déduirez celui de h
Réponse: Fonctions de soso7584, postée le 01-11-2008 à 20:14:01 (S | E)
Re-bonsoir.
Alors, je ne comprends pas d'où viennent ces deux constantes?
En fait, on m'a donné h(x))=(x-1)²/(x²+1).
1. La première question était déterminer les réels a, b et c tels que h(x)= a+ (bx+c)/(x²+1).
Je n'ai pas réussi, j'ai fait (x-1)²/(x²+1)=a+(bx+c)/(x²+1).
Mais ça ne m'a rien donné.
2. Dans la question 2, on demandait de montrer que h peut s'écrire comme la composée de deux fonctions dont l'une est une fonction affine.
J'ai fait ceci: n=x²+1.
m=a+(bx/x).
x.............par n........... donne x²+1.......par m...... a+(bx/x²+1)
X........par m...... a+-bx/X)
x.............................par h(x).....................a+(bx/x²+1)
(...... signifient les les flèches).
J'espère que c'est ça?
3.Soit f la fonction défini sur R par f(x)= x/(x²+1). Tracer la courbe représentative de la fonction f à l'aide de la calculatrice. Par lecture graphique, donner le tableau de variations de la fonction f.
J'ai réussi cette question.
4. Déterminer le tableau de variations de la fonction h à partir du tableau de variations dela fonction f. Expliquer la démarche utilisée.
Et pour cette question j'ai constaté que les sens de variations des deux fonctions étaient inversées. Mais je n'arrive pas à découvrir l tableade variation de h en fonction decelui de f. J'ai fait le tableau de h indépendamment.
Merci d'avance, bonne soirée.
Réponse: Fonctions de iza51, postée le 01-11-2008 à 21:08:34 (S | E)
bonjour
- pour le 1) avez vous développé (x-1)² comme Taconnet vous l'a conseillé?
ensuite vous divisez par x²+1
indication on peut écrire un quotient comme la somme de deux quotients
[par exemple (x+1) /(3+x)= (x+3-2) /(x+3) =(x+3)/(x+3) -2/(x+3) =1 - 2/(x+3) ]
- pour écrire h comme composée de fonctions
autre exemple: avec g(x)= (x+1) /(3+x)=1 - 2/(x+3)
pour écrire la fonction g comme une composée, on est obligé d'utiliser une écriture de g(x) dans laquelle le "x" n'apparait qu'une seule fois
on décompose donc à l'aide de la formule g(x)= 1 - 2/(x+3)
pour passer de x à g(x),
-on ajoute 3
-puis on inverse
-puis on multiplie par -2
-et enfin on ajoute 1 La "décomposition" vient de ce type de raisonnement
fonction u: x → x+3 (ajoute 3)
fonction v: x → 1/x (inverse)
fonction w: x → -2x+1 (multiplie par -2 et puis ajoute 1)
x → x+3=t → 1/t =X → -2X+1= (-2/t) +1 = -2/(x+3) +1=g(x)
g est la composée w o v o u
A vous
pour le tableau de variations, il faut utiliser le fait que h est la composée de ... et de ... et les variations de ces deux fonctions ..
Réponse: Fonctions de taconnet, postée le 01-11-2008 à 21:17:26 (S | E)
Bien entendu on peut procéder par identification, mais je vous ai proposé une méthode plus simple.
en effet, développons (x - 1)² = x² - 2x + 1
ainsi
donc
h(x) = 1 - 2f(x)
Réponse: Fonctions de iza51, postée le 01-11-2008 à 21:43:21 (S | E)
Bonsoir Taconnet
personne n'a parlé de méthode par identification; j'ai dit qu'il fallait suivre votre conseil et j'ai donné un autre exemple utilisant ce conseil
Ce que j'explique ensuite, c'est une méthode pour la suite de l'exercice
Ne serait-il pas mieux de laisser l'élève trouver seul la réponse ?
bonne soirée, iza
Réponse: Fonctions de tou1977, postée le 02-11-2008 à 09:18:52 (S | E)
Bonjour,
C bon maintenant, ona donc la dérivée de h=-2 fois la dérivée de f.
Réponse: Fonctions de soso7584, postée le 02-11-2008 à 15:43:36 (S | E)
Merci à tous. Pour moi l'essentiel est d'avoir compris le sens de l'exercice et la méthode utilisée. Il n'y a auncun intérêt à trouver un résultat sans comprendre le résultat obtenu. En tout cas merci, et c'est une bonnée idée iza51 d'avoir pris un autre exemple. Mais je remercie aussi tout le monde et merci à taconnet également !!
Réponse: Fonctions de soso7584, postée le 02-11-2008 à 15:45:21 (S | E)
Et je me permets juste de rajouter quelque chose, pour la question 2, j'ai compris tout ce que vos avez fait iza51, mais la question demandait une fonction composée de seulement 2 fonctions. Je vais essayer de chercher. Merci encore.
Réponse: Fonctions de iza51, postée le 02-11-2008 à 16:29:55 (S | E)
Bonjour,
oui la fonction que j'ai donné en exemple, se décompose en trois fonctions
dans ton exemple, la formule qui définit la fonction h et qui convient pour la décomposition (le "x" n'apparait qu'1 seul fois!) est h(x)= 1 - 2 f(x)
ici deux fonctions suffisent pour décomposer
