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Equation différentielle 1er ordre
Message de mychel posté le 26-10-2008 à 20:59:47 (S | E | F)
bonjour jai un exercice d'equation différentielle du premier odre et je n'arrive pas a le resoudre:
soit l'EDL suivant:
2
xy'+2y =-------
x(x+1)
TAF:
trouver la solution particulière f telle que
f(1)=ln2
svp aidez moi.
-------------------
Modifié par lucile83 le 26-10-2008 21:03
titre
Message de mychel posté le 26-10-2008 à 20:59:47 (S | E | F)
bonjour jai un exercice d'equation différentielle du premier odre et je n'arrive pas a le resoudre:
soit l'EDL suivant:
2
xy'+2y =-------
x(x+1)
TAF:
trouver la solution particulière f telle que
f(1)=ln2
svp aidez moi.
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Modifié par lucile83 le 26-10-2008 21:03
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Réponse: Equation différentielle 1er ordre de iza51, postée le 27-10-2008 à 07:49:20 (S | E)
Bonjour,
voici ce que je propose:
On suppose de a est une fonction continue définie sur un intervalle I.
Toute équation différentielle de la forme y + a(x).y=0 admet pour solution générale
y =constante . e^(-A(x)) , où A est une primitive de a sur I
ici, l'équation différentielle est y' +(2/x)*y =0 ; a est continue sur I=]0; +∞[
on choisit A(x)= 2 ln(x)
alors la solution générale de l'équation sans second membre est g définie par
on recherche une solution de l'équation (avec second membre)avec la méthode de la variation de la constante
on la cherche sous la forme f(x)= h(x).(1/x²)
f est dérivable sur I et
f est solution de l'équation différentielle donc pour tout x dans I,
alors
alors
alors
alors
conclusion: la solution générale de l'équation différentielle est donnée par
on cherche alors la solution f vérifiant la condition initiale f(1)=ln(2)
f(1)=2 ln(2)+k donc (constante )= k =-ln(2)
ainsi la solution cherchée est la fonction f définie sur ]0; +∞[ par
