[Maths]Exercice non compris (1)
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[Maths]Exercice non compris
Message de juju17 posté le 12-09-2008 à 17:14:42 (S | E | F)
Bonjour, alors voila j'ai un exercice à faire mais malheureusement après l'avoir lu et relu je ne comprends pas l'exercice ou plutôt je ne comprends pas ce qu'il faut que je fasse merci de me dire cela si vous comprenez l'exercice ci-dessous:
Supposons que √2 s’écrive sous la forme irréductible a/b où a et b sont des
entiers naturels.
1-Montrer que dans ce cas a²=2b²
2-a)Montrer que le carré d’un nombre pair 2n (n € IN) est un nombre pair
b) Montrer que le carré d’un nombre impair est toujours impair
3-Des questions a et b déduire que a est pair
4-Soit a=2k avec le k € IN
a)Montrer que b²=2k²
b) Que peut-on en déduire quant à la parité de b ?
5- Expliquer pourquoi ceci est en contradiction avec l’hypothèse faite au début.
6- Que peut-on en déduire sur le nombre √2 ?
Réponse: [Maths]Exercice non compris de taconnet, postée le 12-09-2008 à 17:40:22 (S | E)
Bonjour.
On ne vous a pas demandé "brutalement" de montrer que √2 n'est pas rationnel.
Au contraire on vous donne des indications précieuses, que vous devez suivre pas à pas.
1- On suppose que √2 est rationnel.
Donc il existe deux nombres entiers positifs tels que √2 = a/b
avec a/b étant irréductible
C'est à dire
a = b√2 <══> a² = 2b²
Remarque:
Si deux nombres positifs sont égaux leurs carrés le sont aussi.
2- Montrer que le carré d'un nombre pair est pair.
En effet posons n = 2p (p est un entier positif)
D'après la remarque précédente
n = 2p <══> n² = 4p² = 2(2p²) qui est bien un nombre pair.
A vous de continuer.......
Réponse: [Maths]Exercice non compris de juju17, postée le 12-09-2008 à 18:28:54 (S | E)
Mais pour le 2b si je prend 3, qui est impair cela me donne:
n=3p ( p est un nombre impair)
n²=6p² =donc il n’est pas impair, mais pair!
Pour le 3 on ne peut pas dire si a est pair si nous n'avons pas d'indication sur a!
....
Réponse: [Maths]Exercice non compris de taconnet, postée le 12-09-2008 à 18:37:40 (S | E)
D'une manière générale, un nombre impair positif s'écrit :
n = 2p + 1 ( avec p = 0,1,2,3,4,5,........)
Réponse: [Maths]Exercice non compris de juju17, postée le 12-09-2008 à 18:49:24 (S | E)
Cela donne: n²=4p²+1 merci
3-Des questions 1 et 2 déduire que a est pair
Pour en deduire que a est pair et pas b?
Réponse: [Maths]Exercice non compris de taconnet, postée le 12-09-2008 à 18:54:41 (S | E)
C'est faux !!
(2n + 1)² ≠ 4n² + 1
Pensez aux identités remarquables
Réponse: [Maths]Exercice non compris de juju17, postée le 12-09-2008 à 18:59:26 (S | E)
4n²+4n+1= 4(n²+n)+1
Réponse: [Maths]Exercice non compris de taconnet, postée le 12-09-2008 à 19:08:13 (S | E)
donc
(2n + 1)² = 4n² + 4n + 1 = 2(2n² + 2n) + 1
si on pose 2n² + 2n = k, on a bien 2k + 1 nombre impair.
Conclusion :
Vous avez démontré que:
1- Si un nombre est pair sont carré est pair
2- Si un nombre est impair son carré est impair.
Avec cela vous devez répondre facilement à la question 3
Réponse: [Maths]Exercice non compris de juju17, postée le 12-09-2008 à 19:18:37 (S | E)
a est positif car a=2b²?
Réponse: [Maths]Exercice non compris de juju17, postée le 12-09-2008 à 19:34:42 (S | E)
ps: Je viens de voir: Joyeux anniversaire!!!
Réponse: [Maths]Exercice non compris de taconnet, postée le 12-09-2008 à 19:50:29 (S | E)
Merci.
Il ne s'agit pas de signe, mais de parité.
Réponse: [Maths]Exercice non compris de juju17, postée le 12-09-2008 à 19:53:49 (S | E)
désolé pour mon manque de vocabulaire mais qu'est ce que la parité?
Réponse: [Maths]Exercice non compris de taconnet, postée le 12-09-2008 à 19:59:24 (S | E)
Voici un lien explicatif
Lien Internet
)
Réponse: [Maths]Exercice non compris de juju17, postée le 12-09-2008 à 20:05:55 (S | E)
...
Réponse: [Maths]Exercice non compris de TravisKidd, postée le 13-09-2008 à 05:09:03 (S | E)
Chaque fraction peut s'écrire dans une forme irreductible. Alors si rac(2) est rationnel, rac(2) peut s'écrire comme a/b, où a et b sont des entiers qui n'ont pas de facteur (sauf 1) en commun. Alors a et b ne peuvent pas être pairs tous les deux (puisqu'ils aurait donc 2 en commun).
Or si rac(2) = a/b, alors 2 = a2/b2.
Donc a2 = 2b2.
Alors a2 est pair, ce qui veut dire que a est pair. (POURQUOI?)
Puisque a est pair, alors a/2 est entier. Soit k = a/2, afin que a = 2k.
De plus, puisque a est pair, alors b doit donc être impair. (POURQUOI?)
Alors b+1 est paire. Soit m = (b+1)/2 (un entier), alors b = 2m-1.
Nous avons maintenant (2k)2 = 2(2m-1)2. (POURQUOI?)
On developpe, et obtient: 4k2 = 8m2 - 8m + 2,
ou bien 4(k2 - 2m2 + 2m) = 2,
ou bien 2(k2 - 2m2 + 2m) = 1.
Mais cela veut dire que 1 est pair !!!!
On sait que 1 est impair, alors on a mal fait quelque part. On vérifie les étapes, et l'on conclut donc que c'était en supposant que rac(2) soit rationnel que l'on a dû mal faire. Alors rac(2) est irrationnel. CQFD
