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[Maths]Dm terminal
Message de mulute posté le 31-01-2008 à 21:23:13 (S | E | F)
bonjour j'ai un dm de math est ce quelqu'un pourrait m'aider ?
En tout cas je vous remercie d'avance.
Partie A :
on pose, pour n supérieur ou égal à 1, Un= 1+ 1/1! + 1/2! +...+ 1/n! et Vn = Un + 1/n*n!
1) calculer U1, V1, U2, V2, U3, et V3
2) montrer que (Un) est croissante et que (Vn) est décroissante.
3) étudier lim(n tend vers +infini) 1/(n*n!). en déduire que les suites (Un) et (Vn) sont adjacentes
4) on note l leur limite commune. en utilisant U6 et V6, déterminer un encadrement de l d'amplitude inférieure à 10-3. Que peut on alors conjecturer concernant la valeur de la limite l ?
Je mettrais la partie B plus tard
Pour la question 1)j'ai trouvé :- U1= 2
- V1= 3
- U2= 2,5
- V2= 2,75
- U3= 2,66
- V3= 2,65
2)*Un+1= 1+ 1/1! + 1/2! +...+ 1/n!+ 1/(n+1)!
Un= 1+ 1/1! + 1/2! +...+ 1/n!
Un+1 plus grand que Un donc Un est croissante
*Vn = Un + 1/(n*n!)
Vn+1 = Un+1 + 1/((n+1)*(n+1)!)
Donc Vn plus grand que Vn+1
3)* lim 1/(n*n!) quand n tend vers + l'infini
Lim n*n!(quand n tend vers + l'infini)= + infini
Donc lim 1/n*n!(quand n tend vers + l'infini) =- l'infini
Mais je ne sais pas comment faire pour en déduire que les 2 suites sont adjacentes
4) je n'ai pas trouvé
Merci de me dire si mes résultats sont corrects.
Je vous remercie d'avance.
-------------------
Modifié par magstmarc le 01-02-2008 14:17
Exposants + indices
Erreur dans la limite.
Message de mulute posté le 31-01-2008 à 21:23:13 (S | E | F)
bonjour j'ai un dm de math est ce quelqu'un pourrait m'aider ?
En tout cas je vous remercie d'avance.
Partie A :
on pose, pour n supérieur ou égal à 1, Un= 1+ 1/1! + 1/2! +...+ 1/n! et Vn = Un + 1/n*n!
1) calculer U1, V1, U2, V2, U3, et V3
2) montrer que (Un) est croissante et que (Vn) est décroissante.
3) étudier lim(n tend vers +infini) 1/(n*n!). en déduire que les suites (Un) et (Vn) sont adjacentes
4) on note l leur limite commune. en utilisant U6 et V6, déterminer un encadrement de l d'amplitude inférieure à 10-3. Que peut on alors conjecturer concernant la valeur de la limite l ?
Je mettrais la partie B plus tard
Pour la question 1)j'ai trouvé :- U1= 2
- V1= 3
- U2= 2,5
- V2= 2,75
- U3= 2,66
- V3= 2,65
2)*Un+1= 1+ 1/1! + 1/2! +...+ 1/n!+ 1/(n+1)!
Un= 1+ 1/1! + 1/2! +...+ 1/n!
Un+1 plus grand que Un donc Un est croissante
*Vn = Un + 1/(n*n!)
Vn+1 = Un+1 + 1/((n+1)*(n+1)!)
Donc Vn plus grand que Vn+1
3)* lim 1/(n*n!) quand n tend vers + l'infini
Lim n*n!(quand n tend vers + l'infini)= + infini
Donc lim 1/n*n!(quand n tend vers + l'infini) =
Mais je ne sais pas comment faire pour en déduire que les 2 suites sont adjacentes
4) je n'ai pas trouvé
Merci de me dire si mes résultats sont corrects.
Je vous remercie d'avance.
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Modifié par magstmarc le 01-02-2008 14:17
Exposants + indices
Erreur dans la limite.
Réponse: [Maths]Dm terminal de lagouv, postée le 31-01-2008 à 21:51:39 (S | E)
Alors pour commencer , deux suites sont adjacentes si l'une est croissante, l'autre décroissante, et si lim V-U = 0
Cela répond à la fin de la question 3.
Ensuite on dit que lim V = lim U = l . Tu calcules u6 et V6 comme demandé.
Tu sais que V est décroissante et de limite l ,
donc V1>V2>V3>V4>V5>V6>...> lim V = l donc en particulier l < V6
De meme U est croissante
donc u1
et voilà comment tu obtients ton encadrement. Et la conjecture devrait découlé des valeurs de u6 et v6 qui devrait surement être assez proches.
Voilà...
Bonjour.
Définition:
Soit U et V deux suites définies dans N.
Dire que U et V sont adjacentes, c'est dire que
· l'une est croissante
· l'autre est décroissante
· lim (V-U)=0
Voici une autre définition:
Deux suites réelles Un et Vn sont dites adjacentes si elles vérifient les propriétés suivantes :
1- Un est une suite croissante.
2- Vn est une suite décroissante.
3- Pour tout n, Un ≤ Vn
4- Vn - Un ──> 0 si n ──> ∞
Important
Théorème:
Deux suites adjacentes convergent, et elles ont la même limite!
Il suffit donc de déterminer la limite d'une des deux suites.
Aidez-vous de ces définitions pour terminer votre exercice.
Réponse: [Maths]Dm terminal de magstmarc, postée le 01-02-2008 à 14:17:07 (S | E)
Hello,
Attention, si on peut affirmer sans dommage ici que Un+1 > Un (on rajoute à chaque fois un nombre strictement positif au terme précédent), par contre la comparaison de Vn et Vn+1 n'est pas immédiate.
Une bonne méthode est de calculer Vn+1 - Vn et d'étudier son signe.
Bonne continuation
Réponse: [Maths]Dm terminal de mulute, postée le 03-02-2008 à 16:45:43 (S | E)
voila la partie 2:
Soit n entier fixé (n plus grand ou égal a 1). On pose, pour x appartient à[0;1], f(x)=(1+(x/1!)+(x^2/2!)+...+(xn/n!)e^-x
1)a) Calculer f(0) et f(1)
b) montrer que f est dérivable sur [0;1] et que f'(x)=-((xn)/n!)e^-x. En déduire que Un plus petit ou égal a e
2)On pose, pour x appartient[0;1], g(x)= f(x)+(x/n!)
a) calculer G'(x) et montrer que g est croissante sur [0;1]
b) en déduire que e-(e/n!) plus petit ou égal a Un
3) déduire des questions précédentes la valeur exacte de l
Merci d'avance
Réponse: [Maths]Dm terminal de mulute, postée le 03-02-2008 à 16:52:27 (S | E)
j'ai trouver f(0)= 1
Réponse: [Maths]Dm terminal de mulute, postée le 03-02-2008 à 17:01:19 (S | E)
pour f(1) je n'arrive pas à trouver le résultat je sais comment faire mais je suis bloqué dans les calculs.
Et je n'arrrive pas à calculer la dérivée de f
