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Question de signe et de rigueur
Message de michael01 posté le 04-10-2007 à 14:12:50
Bonjour,
J'ai une question à vous poser, qui, depuis quelque temps me préoccupe vraiment. Je suis très rigoureux en mathématique et j'évite d'employer certains abus. Alors, voilà je me lance àl'eau pour vous poser cette question.
Mon professeur de mathématique nous demande de trouver la distance parcourue par une voiture. La calculette donne comme réponse finale 1625,45847521365m.
Bien entendu, telle précision ne sert à rien et le professeur veut limiter la distance parcourue à 3 chiffres après la virgule.
Voici ou se pose le problème: il écrit x (où x équivaut à la distance parcourue) égal 1625,458m. Je ne suis en rien d'accord avec cela.
D'accord, 1625,458 est déjà très précis pour une distance parcourue par une voiture mais ça reste une valeur ARRONDIE. Dès lors, pourquoi employer le signe égal et non pas le signe "approximativement égal" qui s'écrit comme un égal mais avec une tilde. Ce ne serait pas mauvais d'écrire que X égal 1625,458m? Moi je pense que si et je compte bien vous le démontrer. Si j'avais limité le nombre de décimales à 2 après la virgule, j'aurais obtenu 1625,46 et j'aurais écrit comme le prof: x égal à 1625,46m. Or , x n'a qu'une seule et même valeur et on peut donc bien démontrer que x égal 1625,458447521365 (avleur exacte) n'est ni égal à 1625,458 (valeur arrondie à 10-3 près fournie par le professeur) ni égal à 1625,46( valeur arrondie à 10-2 près par moi).
Dès lors, et j'en viens à la conclusion, pourquoi toujours écrire égal lorsqu'il s'agit d'une approximation?
Par exemple, dans un autre énoncé ou il était demandé de calculer un pourcentage de personnes malades, la caulatrice fournie un pourcentage de 16,2645874585% et le prof dit que le pourcentage de personnes malades est de 16,26%. Or c'est faux, il est d'approximativement 16,26%.
J'aimerais vous demander votre avis et savoir ce qu'il en est exactement en mathématique du signe égal qui remplace le approximativement égal, s'il est toléré, ect.
Merci de m'aider.
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Modifié par lucile83 le 19-01-2009 19:25
Topic remonté par erreur.
Message de michael01 posté le 04-10-2007 à 14:12:50
Bonjour,
J'ai une question à vous poser, qui, depuis quelque temps me préoccupe vraiment. Je suis très rigoureux en mathématique et j'évite d'employer certains abus. Alors, voilà je me lance àl'eau pour vous poser cette question.
Mon professeur de mathématique nous demande de trouver la distance parcourue par une voiture. La calculette donne comme réponse finale 1625,45847521365m.
Bien entendu, telle précision ne sert à rien et le professeur veut limiter la distance parcourue à 3 chiffres après la virgule.
Voici ou se pose le problème: il écrit x (où x équivaut à la distance parcourue) égal 1625,458m. Je ne suis en rien d'accord avec cela.
D'accord, 1625,458 est déjà très précis pour une distance parcourue par une voiture mais ça reste une valeur ARRONDIE. Dès lors, pourquoi employer le signe égal et non pas le signe "approximativement égal" qui s'écrit comme un égal mais avec une tilde. Ce ne serait pas mauvais d'écrire que X égal 1625,458m? Moi je pense que si et je compte bien vous le démontrer. Si j'avais limité le nombre de décimales à 2 après la virgule, j'aurais obtenu 1625,46 et j'aurais écrit comme le prof: x égal à 1625,46m. Or , x n'a qu'une seule et même valeur et on peut donc bien démontrer que x égal 1625,458447521365 (avleur exacte) n'est ni égal à 1625,458 (valeur arrondie à 10-3 près fournie par le professeur) ni égal à 1625,46( valeur arrondie à 10-2 près par moi).
Dès lors, et j'en viens à la conclusion, pourquoi toujours écrire égal lorsqu'il s'agit d'une approximation?
Par exemple, dans un autre énoncé ou il était demandé de calculer un pourcentage de personnes malades, la caulatrice fournie un pourcentage de 16,2645874585% et le prof dit que le pourcentage de personnes malades est de 16,26%. Or c'est faux, il est d'approximativement 16,26%.
J'aimerais vous demander votre avis et savoir ce qu'il en est exactement en mathématique du signe égal qui remplace le approximativement égal, s'il est toléré, ect.
Merci de m'aider.
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Modifié par lucile83 le 19-01-2009 19:25
Topic remonté par erreur.
Réponse: Question de signe et de rigueur de TravisKidd, postée le 04-10-2007 à 14:47:07
Je pense que vous vous inquietez trop!
Ici il s'agit d'une solution finale, c'est à dire que trouver les 3 (ou 2, ou 10, selon la consigne) bons chiffres après la virgule est l'essentiel de la solution. On ne va plus utiliser ce nombre, alors pas de souci en considerant toute valeur arrondie comme "essentiellement égale".
En principe vous avez raison, mais pourvu que tout le monde comprenne que c'est un arrondissement, l'usage du signe égal au lieu de "approximativement égal" ne devrait causer aucun problème.
Réponse: Question de signe et de rigueur de michael01, postée le 04-10-2007 à 14:56:28
Je pense quand même que c'est mauvais. En fait on prend un arrondi et on considere ça comme une valeur exacte...reprenons cet exemple: si la distance vaut 1426,3654785456m et qu'on vous demande la distance qu'a parcourue la voiture vous direz 1426,365m, admettons.
Maintenant si je vous aurez demandé un arrondi à 3 décimales de la distance qu'a parcourue la voiture, vousm'aurez également dit 1426,265.
C'est donc que la valeur 1426,365 est un arrondi de la valeur exacte et non pas la valeur exacte. Dès lors, écrire distance parcourue par la voiture égal 1426,365 eststrictement mauvais...enfin pour ma part, merci pour votre première réponse et j'attends des manifestations d'autres membres si possible.
Réponse: Question de signe et de rigueur de michael01, postée le 04-10-2007 à 15:12:42
Ce n'est pas que je n'ai pas confiance, mais il me reste un doute
Réponse: Question de signe et de rigueur de TravisKidd, postée le 04-10-2007 à 15:38:42
Votre Honneur, l'état m'accuse d'avoir conduit une voiture à une vitesse de 200km/h ! Mais ils ne peuvent pas prouver que la vitesse n'était, en fait, 199,999 km/h. Il faut donc m'acquitter !
Réponse: Question de signe et de rigueur de michael01, postée le 04-10-2007 à 15:41:42
re traviskid...non c'est pas ça mais c'est parce qu'on écrit le signe égal au lieu du signe approximativement égal, et ça se fait toujours alors que c'est mauvais.
Si je te dis que la distance est de 1245,874521456325m c'est qu'elle est approximativement égale à 1245,875m et qu'elle n'est pas égale à 1245,875m...je suis d'accord, il y a peu de différence, mais ce peu fait qu'on n'a pas le droit de mettre égal...
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Modifié par bridg le 04-10-2007 15:54
Réponse: Question de signe et de rigueur de lucile83, postée le 04-10-2007 à 15:57:29
Bonjour,
Je suis curieuse et .....
Lien Internet
Comment sinon accepter que le taux de naissance par femme soit de 1,6 par exemple? on ne va quand même pas couper les bébés en 2
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Modifié par magstmarc le 04-10-2007 16:11
Là, il faudrait même les couper en 5 et prendre 3 petits bouts
Mais c'est un problème différent : ici on calcule une moyenne ("nombre d'enfants" divisé par "nombre de femmes")
Réponse: Question de signe et de rigueur de magstmarc, postée le 04-10-2007 à 16:04:03
Hello michael01 et Travis.et Lucile 
Michael01, tu as entièrement raison.
En Mathématiques, quand on écrit "=", c'est que c'est rigoureusement égal, et donc, par exemple, on n'a pas le droit d'écrire que 1/3 = 0,3333333. (et même si on rajoute autant de 3 qu'on veut )
Le premier nombre est un rationnel non décimal, le deuxième est un décimal. Si on accepte que "=" et "à peu près égal" veulent dire la même chose, alors toute la théorie des ensembles de nombres ne veut plus rien dire
Traviskid, je comprends ton point de vue, bien évidemment lorsqu'on résout des problèmes concrets on va donner un résultat arrondi. Mais il est quand même indispensable, dans ce cas, et au nom de la cohérence, d'écrire :
A ≈ 0,33 (et non pas "=")
ou "A vaut 0,33 environ"
ou "une valeur approchée de A est 0,33" (on peut préciser : arrondi, tropncature, à quel ordre...si le problème le nécessite)
Dans un tableau de valeurs, si la valeur est approchée, il faut le signaler également, car penser que c'est une valeur exacte peut conduire à des raisonnements faux 
(on pourrait ainsi penser qu'un triangle est rectangle alors qu'il ne l'est pas, ou le contraire)
Conclusion : Michael, rien ne t'empêche de demander (très poliment 
) à ton professeur, quand il écrit "=" et que c'est une valeur approchée, si c'est "=" ou "≈" qu'il faut écrire dans ce cas . Je pense qu'il rectifiera de lui-même sans se sentir offensé.
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Modifié par magstmarc le 04-10-2007 16:04
Note finale : même les professeurs se trompent parfois, surtout en fin de journée
mais s'ils sont de bonne foi ils l'admettent...si c'est dit gentiment 
Réponse: Question de signe et de rigueur de michael01, postée le 04-10-2007 à 16:13:58
Bonjour,
Lavis d'un spécialiste me fait très plaisir. Donc, c'est mauvais.
J'ai deux question à vous poser.
La première, quand on trouve une distance parcourue par une voiture de 1254,478546521m et qu'on dit que la distance vaut 1254,479m, c'est faux. Mais comment peut-on trouver une valeur de 1254,4785466521m pour une voiture (en effet, on entre dans mes millionniemes de mm, on a déjà du mal à mesurer les mm, comment mesurer les millionnieme?)
La deuxième, faut-il écire quand on note une approximation: Ainsi la distance parcourue en km est approximativement égale à 1625,458 à 10-4 près" ou "est égale à 1625,458 à 10-4 près".
Merci dem'aider une dernière fois
Réponse: Question de signe et de rigueur de TravisKidd, postée le 04-10-2007 à 16:46:56
A prouver ou réfuter:
Si A ≈ B et B ≈ C, alors A ≈ C.
Bon courage!
Réponse: Question de signe et de rigueur de michael01, postée le 04-10-2007 à 17:29:33
svp, puis avoir réponse à ces deux questions
Réponse: Question de signe et de rigueur de magstmarc, postée le 04-10-2007 à 21:47:45
Pour michael01,
"comment peut-on trouver une valeur de 1254,4785466521m pour une voiture" : par un calcul comportant une division dont le résultat est non décimal (exemple de 1/3 plus haut), ou un radical.
"faut-il écrire quand on note une approximation: Ainsi la distance parcourue en km est approximativement égale à 1625,458 à 10-4 près" ou "est égale à 1625,458 à 10-4 près".
La deuxième formulation est suffisante. Dans "à 10-4 près" il y a déjà l'idée de l'approximation, et plus encore : si a est une approximation de x à 10-4 près, cela nous informe que |x-a|<= 10-4 (inférieur ou égal)
Donc, dans ton exemple, si tu donnes le résultat avec 3 décimales, ce serait plutôt à 10-3 près.
Si le résultat est arrondi, c'est qu'on a tenu compte du chiffre suivant et pris le nombre à 3 décimales le plus proche. L'approximation réelle est alors encore meilleure : 5. 10-4 (la moitié de 10-3)
Pour Travis :
Tu es en train de te demander si "à peu près égal" est une relation d'équivalence ?
(Pas vraiment je pense )Si on fixe la précision (disons à 10-4 près par exemple) alors clairement non.
Sinon, c'est plus compliqué et j'ai déjà pris ma dose max d'aspirine
. Je pencherais pour "non" quand même.Mais ça me rappelle un autre problème :
Je ressemble à Sophie, qui ressemble à Hélène (on est en Maths ==> noms grecs
)Les amis d'Hélène trouvent qu'elle ressemble à Angelina Jolie.
Question : est-ce que je ressemble à Angelina Jolie ?
....
Hélas...
Réponse: Question de signe et de rigueur de michael01, postée le 04-10-2007 à 21:57:22
L'approximation réelle est alors encore meilleure : 5. 10-4 (la moitié de 10-3)
???? Je ne comprends pas...l'approximation n'est-elle pas à 10-3 près? Je comprends pas pourquoi à la moitié de 10-3
Réponse: Question de signe et de rigueur de magstmarc, postée le 04-10-2007 à 23:45:25
Exemple : pi ≈ 3,14159265...
Une approximation de pi à 10-3 près est 3,141 (celle par défaut) et une autre est 3,142. (par excès)
Pour ces deux approximations "a", j'ai bien |pi - a| < 10-3 (ici je peux mettre < strictement, je n'aurai jamais l'égalité car pi n'est pas décimal)
Mais si je prends la "meilleure" des deux, la plus proche de pi, c'est-à-dire l'arrondi : ici c'est 3,142.
pi est plus proche de 3,142 que de 3,141.
Donc, la distance de "pi" à 3,142 est inférieure à la moitié de l'amplitude de l'intervalle [3,141 ; 3,142]
Cette amplitude étant de 10-3, la moitié est 5 x 10-4
et donc |pi - 3,142| < 5 x 10-4
J'espère que j'ai été claire 
_____________________________________________________________________________________________
Pour détendre l'atmosphère : comment retenir quelques décimales de pi ? ...comptez les lettres avec moi
En Français : "Que j'aime à faire apprendre ce nombre utile aux sages !
Immortel Archimède, artiste, ingénieur
Qui de ton jugement peut priser la valeur ?
Pour moi ton problème eut de pareils avantages."
(on peut trouver la suite facilement sur internet je pense)
In English :
"How I want a drink, alcoholic of course 
After those long chapters the heavy lectures involving quantum mechanics" 
Il y en a plein d'autres...
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Modifié par magstmarc le 06-10-2007 16:46
Travis Réponse: Question de signe et de rigueur de TravisKidd, postée le 05-10-2007 à 16:38:44
La notion de transitivité des approximations peut avoir des applications plus serieuses, par exemple la notion de comité parmi les cours de differents états.
Une cour dans un état A accepte un jugement (par exemple une déclaration de mariage) d'une cour d'un autre état pourvu qu'il ait été issué selon des règles "substantivement semblables" à celles suivies par A. Or A et B suivent des règles substantivement semblables, comme le font B et C.
Peut-on, ou bien doit-on, dire donc que A et C suivent des règles substantivement semblables? Et sinon? Est-ce qu'une cour dans C doit accepter les jugements non-semblables de A, considerant qu'une cour dans B les accepterait, et la cour dans C doit accepter les jugements des cours de B?
Pas toujours banal, ce jeu.
Quant aux mnémotechniques pour se rappeler des chiffres de pi en englais, y voici un lien: Lien Internet
(En particulier notez que c'est "after the heavy lectures" et non "after those long chapters".)
Réponse: Question de signe et de rigueur de michael01, postée le 06-10-2007 à 16:32:49
Donc si on me dit par exemple calculez la distance parcourue par une voiture, que ma calculatrice me donne 1625,45214562325m que j'arrondis à 1625,45m, je dois dire que la distance parcourue est d'approximativement 1625,45m?
Si je dis qu'elle est de 1625,45m, le prof peut il me compter mauvais?
Demême, si dans une classe de 13 personnes j'ai 5 filles, que j'écris que la proportion de filles égale 5/13 égale 38,46%, c'est mauvais aussi?
On est obligé de dire que la proportion de filles est approximativement égale à 36,46%?
Merci de me rep.
Réponse: Question de signe et de rigueur de magstmarc, postée le 06-10-2007 à 17:01:14
"je dois dire que la distance parcourue est d'approximativement 1625,45m?" oui
"Si je dis qu'elle est de 1625,45m, le prof peut-il me compter mauvais?" il peut rajouter "environ" ou barrer ton signe "=" mais ça m'étonnerait qu'il t'enlève des points pour ça
(ça dépend si c'est un devoir qui porte sur la capacité à mener à bien un calcul ou sur la précision mathématique)"On est obligé de dire que la proportion de filles est approximativement égale à 36,46%?" oui, mais comme plus haut, tu ne seras sûrement pas pénalisé si tu écris "=".
Notons toutefois que dans beaucoup d'examens il y a quelques points prévus pour le soin, la précision, l'orthographe, la rigueur...on peut perdre un point dans cette catégorie si on écrit systématiquement "=" au lieu de "≈"
Réponse: Question de signe et de rigueur de michael01, postée le 06-10-2007 à 17:26:00
Salut (ou plutôt bonjour, je n'oserais point tutoyer un professeur
)Pour tout vous dire, j'ai appris ce signe sur une fiche mathématique venant du net...jamais avant les professeurs du secondaires ne m'en avaient parlé et pis encore, ils écrivaient eux-mêmes égal au lieu d'approximativement égal.
Arrivé à l'université, la même chose s'est produire puisque lorsqu'il fallait calculer des proportions ou distances (que ce soit en économie ou en math) jamais le signe approximativement n'était écrit.
Je vous donne un exemple. Une fois, mon prof d'unif calculait une proportion et il a écrit 5/13 égal 38,46%.
Il y a peu de temps je me suis dit "oui mais si 5/13 égal 0,38461538... et que 0,3846 est différent de 0,38461538 alors 5/13 ne peut pas être égal à 0,3846" et c'est là que j'ai découvert l'existence du signe "approximativement".
Notez cependant que même en physique, lorsque je trouve une valeur de 1452,1247844545m le prof note x la distance parcourue et met x égal 1452,12 m...alors que s'il voulait arrondir, il devrait mettre x est approximativement égal à 1452,12m"...ok, ça se joue dans les millièmes...mais la distance parcourue n'a pas pu être à la fois de 1452,1247844545 et de 1452,12...1452,12 reste une valeur approchée et n'est en aucun cas la distance parcourue...même si on écrit de facon mauvaise x égal 1452,12...
dites moi si j'ai raison. Bien à vous. Michael
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Modifié par magstmarc le 06-10-2007 17:37 Tu as raison. Mais que cela ne t'empêche pas de faire les calculs pour autant
Remarque qu'en Physique, on est moins pointilleux sur le "=" car on ne travaille de toute façon qu'avec des valeurs mesurées, donc approchées. Le nombre de chiffres significatifs donne alors la précision attendue.
