ln et log (1)

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ln et log
Message de vivianne posté le 30-07-2007 à 11:22:55
Bonjour,
Est-ce quelqu’un pourrait m’expliquer les log ?
En fait je ne comprends pas la différence entre les logarithmes népériens ln et les log. Ils ont les mêmes propriétés de calculs algébriques. Peut-être ont-ils une utilité différente?
Il me semble que log 10 est un logarithme décimal de base 10. Mais c’est quoi une base ?

Merci pour votre aide.

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Modifié par webmaster le 27-01-2008 21:01

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Modifié par mariebru le 20-04-2009 12:48

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Réponse: ln et log de magstmarc, postée le 30-07-2007 à 12:12:41
Hello vivianne,

Tous les logarithmes ont les mêmes domaines de définition et les mêmes propriétés intéressantes (log d'un produit = somme des logs, ...)
Ce qui les différencie c'est leur base.

*Le logarithme décimal, ou en base 10, noté souvent simplement log :
(très utilisé en physique/chimie, par exemple pour décibels, pH, ...)
-il est tel que log 10 = 1
-c'est la fonction inverse de x--> 10^x


*Le logarithme népérien (de John Napier), ou naturel, ou en base e, noté ln :
(très utilisé par les matheux car il a l'avantage d'être une primitive de x-->1/x)
-il est tel que ln e = 1
-c'est la fonction inverse de x--> e^x (fonction exponentielle)


*Ce sont les plus utilisés; mais on peut aussi utiliser le logarithme en base 2 par exemple.
On le note log₂ et il est tel que log₂ 2 = 1. C'est la fonction inverse de x--> 2^x.

Et pour n'importe quel nombre a>0 : log_a (logarithme en base a) est tel que log_a a = 1 et est la fonction inverse de x--> a^x (fonction exponentielle en base a)

On passe d'un logarithme à l'autre en multipliant par une constante.
Ainsi log_a x (log en base a de x) = (lnx)/(lna)

A quoi ça sert ?
Par exemple, si je me retrouve avec une équation du genre 15^x = 20, je peux utiliser le logarithme que je veux :
Prenons le ln par exemple
ln(15^x) = ln20
xln15 = ln20
x=ln20/ln15
et je prends ma calculette si je veux une valeur approchée

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Modifié par magstmarc le 30-07-2007 12:22

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Modifié par magstmarc le 30-07-2007 15:53

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Réponse: ln et log de vivianne, postée le 01-08-2007 à 10:25:39
Si j'ai bien compris,

15^x=20
log15^x = log20
x= (log20 / log15) = ln20 / ln15

Quand on passe du log au ln, la constante c'est x.

Si je reprends ton exemple, ln20/ln15 =

Mais si je veux passer du ln3 (par exemple) au log, je suppose que la base du ln c'est e, d'où
ln3 / lne = ?

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Réponse: ln et log de magstmarc, postée le 01-08-2007 à 15:46:23
Je reprends ton post en partie

'Si 15^x=20
log(15^x) = log20
x= (log20 / log15) = ln20 / ln15'
J'ai rajouté des parenthèses là où il y avait une ambiguïté, sinon c'est ça.
Effectivement log20/log15 = ln 20/ln 15 = log_a20/log_a15 , quel que soit a>0, parce que log_a (x) se déduit de lnx en multipliant par une constante.

'Quand on passe du log au ln, la constante c'est x.' ==> non, parce que x n'est pas une constante
Si j'appelle la constante 'k' comme toute constante qui se respecte ::
Soit un certain réel a>0
On sait que : Pour tout x>0, log_a(x) = k ln(x)
On en déduit (en prenant x=a)log_a(a) = k ln(a)
Mais par définition : log_a(a) = 1
Donc k = 1/ln(a)

'ln20/ln15 =log₁₅(20)' : juste (quoique, bon courage pour trouver la touche log₁₅ sur ta calculatrice : donc en pratique on va plutôt utilser ln 20/ln 15)

'Mais si je veux passer du ln3 (par exemple) au log, je suppose que la base du ln c'est e, d'où
ln3 / lne = log_e(3)'
Là, je ne comprends pas bien ce que tu veux dire par ln3, normalement ça veut dire ln(3), mais peut-être voulais-tu dire log₃
log est une fonction , ln(3) est un nombre, on ne peut pas 'passer' de l'un à l'autre
ln(3) c'est un nombre, connu, irrationnel, on peut en avoir une valeur approchée avec la calculatrice, qui suffit amplement quand on en a besoin pour résoudre un problème pratique.

Par contre ta phrase 'ln(3)/ln(e) = log_e(3)' est juste parce que ln(e) = 1 et log_e c'est la fonction ln mais bon, tout ça ça ne fait jamais que ln(3).
Mais si, pour une raison quelconque, tu as besoin de la fonction logarithme en base 3, ce qui m'étonnerait :
Pour tout x>0, log₃(x)= ln(x)/ln(3)

Ce qui explique pourquoi on ne raisonne quasiment qu'en ln ou log (base 10)

Le log décimal (base 10) est pratique avec les puissances de 10
log (10ⁿx) = log(x) + nlog(10) = log(x) + n
Ce qui permet de faire 'tenir' sur le même graphique des grandeurs dont une serait 1 milliard de fois plus grande que l'autre, par exemple. (En Physique/Chimie : signal, concentration d'un produit...)

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Modifié par magstmarc le 01-08-2007 15:52

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Réponse: ln et log de ahmed007, postée le 05-08-2007 à 16:16:22
log15/log20=ln15/ln20 parce que on a simplifié par la constante (le numerateur et le dénominateur) qui n'est pas x mais c'est 1/ln10

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Réponse: ln et log de vivianne, postée le 06-08-2007 à 11:51:36
à vous deux. J'ai compris

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