DM 1ère spé

Bonjour, j'espère que vous allez bien.

J'ai un DM de maths à rendre pour lundi. Cela fait plusieurs jours que j'essaie mais je ne suis pas très douée en maths, et j'ai vraiment du mal. Si quelqu'un peut m'aider, j'en serai très reconnaisante. 

Voici l'énoncé : 

Mes réponses sont en bleu.

Partie A: Des exemples.

En remplaçant les pointillés par des signes + et un seul signe =, comment obtenir une égalité dans :

a) 4 + 5 + 6 = 7 + 8

b) 9 + 10 + 11 + 12 = 13 + 14 + 15

Partie B: En fixant la place du signe d'égalité.

On cherche à construire des égalités analogues, du type n+(n+1)+...+(n+p) = (n+p+1)+...(n+k)

où n, p et k sont des entiers naturels non nuls.

1)Quelles valeurs de n, p et k correspondent égalités trouvées partie A ?

a) n= 4, p=2, k=4

b) n=9, p=3, k=6

2) Cas où il y a un terme de moins droite du signe d'égalité qu'à gauche.

a) Combien de termes comprend la somme n+(n+1)+...+(n+p) ?

Je pense qu'il y a (p+1) termes mais je ne sais pas comment justifier

b) Montrer que n+ (n+1)+...+(n+p) = ((p+1)(2n+p))/2

somme des n : n*(p+1) 

donc n+(n+1)+...+(n+p)

= n*(p+1) + (p(p+1))/2

= np+n+(p(p+1))/2 =(2np + 2n + p(p+1))/2

= (2n(p+1) + p(p+1))/2

= ((p+1)(2n+p))/2

c) Exprimer en fonction de et p le dernier terme de la somme située à droite du signe d'égalité, sachant qu'elle contient un terme moins que celle située gauche du signe d'égalité.

d) En déduire la somme des termes situés à droite du signe d'égalité.

e) Montrer que l'égalité a lieu si et seulement si n=p².

f) Ecrire deux nouvelles égalités analogues à celles de la partie A.

3) Cas où il y a deux termes de moins à droite du signe d'égalité qu'à gauche.

a) En suivant la même démarche qu'à la question 2 de la partie B, montrer que l'on doit avoir n=(p(p-2))/2

b) Trouver deux égalités de ce type.

c) Justifier qu'une telle égalité ne peut avoir lieu qu'avec un nombre impair de termes de chaque côté du signe d'égalité.

Merci d'avance à ceux qui vont me répondre