Une équation de récurrence

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Une équation de récurrence
Message de integrator posté le 12-05-2021 à 17:18:37 (S | E | F)
Bonjour à tous,

Résoudre l'équation de récurrence $a_{n+2}-a_{n}=\frac{1}{a_{n+1}}$ connaissance que $n\geq 1$ et $a_1=a_2=1$ .

Merci beaucoup!

Avec respect,

Integrator

Réponse : Une équation de récurrence de hicham15, postée le 13-05-2021 à 01:22:00 (S | E)
Bonjour;

Ton équation implique : $a_{n+1}a_{n+2} - a_{n}a_{n+1}= 1$ pour tout n>=1.

Notons $(u_{n})_{n\geq1}$ la suite définie par : $u_{n}=a_{n}a_{n+1}$ pour tout n>=1.

(Un) est une suite arithmétique, par calcul simple on trouve $u_{n}=n$ pour tout n>=1

Donc pour tout n>=1, on a $a_{n}a_{n+1}=n$ d'où $a_{n+1}=\frac{n}{a_{n}}$

Par récurrence, tu peux montrer que ta suite $(a_{n})_{n\geq1}$ est donneé par : $a_{1}=a_{2}=1$ et

$a_{n+1}=\frac{produit\qquad des \qquad nombres\qquad pairs \qquad de\qquad 2 \qquad jusqu'a\qquad n}{produit\qquad des \qquad nombres\qquad impairs \qquad de\qquad 1 \qquad jusqu'a\qquad n-1}\qquad\qquad pour\qquad n \qquad pair$

$a_{n+1}=\frac{produit\qquad des \qquad nombres\qquad impairs \qquad de\qquad 1 \qquad jusqu'a\qquad n}{produit\qquad des \qquad nombres\qquad pairs \qquad de\qquad 2 \qquad jusqu'a\qquad n-1}\qquad\qquad pour\qquad n \qquad impair\qquad(superieur \:a \:1\:bien \:sur)$

I hope this will help you.

Have a good day.

Hisham

Réponse : Une équation de récurrence de integrator, postée le 13-05-2021 à 06:55:52 (S | E)
Hello "hicham",

I came to the same result ... and so if Lien internet
then what expression does it have

Lien internet
?

Thank you very much!

Integrator

Réponse : Une équation de récurrence de hicham15, postée le 14-05-2021 à 01:30:34 (S | E)
Hello;

Sorry, I'm afraid I didn't understand your question very well.

Are you really looking for the expression of a(n) + a(n+1)?

I think there are two cases :

*n is an odd number (then n+1 is an even number): you use the expressions we've already got.

*n is an even number( then n+1 is an odd number ) : idem.

Have a good one.

Réponse : Une équation de récurrence de integrator, postée le 14-05-2021 à 08:02:50 (S | E)
Hello,

The solution given by the "WolframAlpha" computer program is:

Lien internet

What do you think about this answer?

Réponse : Une équation de récurrence de hicham15, postée le 15-05-2021 à 15:36:51 (S | E)
Hello

I can't see the picture...Also, I don't have access to the website ( because I'm not a member ).

Have a nice day.

Réponse : Une équation de récurrence de integrator, postée le 16-05-2021 à 06:59:39 (S | E)
Hello "hicham",

I edited my last post to see the answer given by "WolframAlpha" ...

All the best,

Integrator

Réponse : Une équation de récurrence de hicham15, postée le 18-05-2021 à 00:56:27 (S | E)
hello

There is always a problem with the link. ( the message "Sorry, this page does not exist on the Wolfram|Alpha site.")

Anyway, as I said before, you can use the expressions we've already got.
A toi de montrer ce que le site a trouvé...

See you in another post.
Have a good one.

Réponse : Une équation de récurrence de integrator, postée le 18-05-2021 à 06:48:03 (S | E)
Hello "hicham",

I think that some moderator modifies my post .... On other forums this does not happen ....On the "WolframAlpha" site type a(n)a(n + 1)=n where n in N and You will see there the expression of a(n)....

All the best,

Integrator

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